Bài toán Tìm 2 điểm liên quan đến yếu tố đối xứng, yếu tố khoảng cách

Bài toán Tìm 2 điểm liên quan đến yếu tố đối xứng, yếu tố khoảng cách.

þ Tìm 2 điểm đối xứng:

Gọi $A\left( a;f\left( a \right) \right)$ và $B\left( b;f\left( b \right) \right)$ $\left( a\ne b \right)$ là hai điểm thuộc đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$.

§ Hai điểm $A,B$ đối xứng qua $I\left( \alpha ;\beta  \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   a+b=2\alpha   \\   f\left( a \right)+f\left( b \right)=2\beta   \\\end{array} \right..$

§ Hai điểm $A,B$ đối xứng qua trục tung $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   a=-b  \\   f\left( a \right)=f\left( b \right)  \\\end{array} \right..$

þ Tìm 2 điểm $A,B$thuộc 2 nhánh của đồ thị sao cho độ dài $AB$ ngắn nhất

Bài toán: Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}\left( C \right)$. Tìm 2 điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị $\left( C \right)$ sao cho $A{{B}_{\min }}$.

Cách giải: Ta phân tích: $y=\frac{a}{c}+\frac{k}{cx+d}$ trong đó $y=\frac{-d}{c}$ là tiệm cận đứng của (C)

Gọi $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ lần lượt là 2 điểm thuộc 2 nhánh của $\left( C \right)$ ta có: ${{x}_{1}}<-\frac{d}{c}<{{x}_{2}}$

Đặt ${{x}_{1}}=\frac{-d}{c}-\alpha ,\,{{x}_{2}}=\frac{-d}{c}+\beta \left( \alpha ,\beta >0 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   {{y}_{1}}=\frac{a}{c}-\frac{k}{c.\alpha }  \\   {{y}_{2}}=\frac{a}{c}+\frac{k}{c.\alpha }  \\\end{array} \right.\Rightarrow A{{B}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{2}}$

$={{\left( \alpha +\beta  \right)}^{2}}+\frac{{{k}^{2}}}{{{c}^{2}}}{{\left( \frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta } \right)}^{2}}={{\left( \alpha +\beta  \right)}^{2}}\left( 1+\frac{{{k}^{2}}}{{{c}^{2}}}.\frac{1}{{{\left( \alpha .\beta  \right)}^{2}}} \right)$

Do ${{\left( \alpha +\beta  \right)}^{2}}\ge 4\alpha \beta$ và $1+\frac{{{k}^{2}}}{{{c}^{2}}}.\frac{1}{{{\left( \alpha .\beta  \right)}^{2}}}\ge 2\sqrt{\frac{{{k}^{2}}}{{{c}^{2}}}.\frac{1}{{{\left( \alpha .\beta  \right)}^{2}}}}=2\frac{\left| k \right|}{c}.\frac{1}{\alpha .\beta }$

Do đó $A{{B}^{2}}\ge 4\alpha .\beta .2\frac{\left| k \right|}{c}.\frac{1}{\alpha .\beta }=\frac{8\left| k \right|}{c}$. Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   \alpha =\beta   \\   \frac{\left| k \right|}{c}.\frac{1}{\alpha \beta }=1  \\\end{array} \right.$

Bài tập trắc nghiệm đồ thị hàm số có Lời giải chi tiết

Lời giải chi tiết

a) Gọi $A\left( a;b \right)$ và $B\left( -a;-b \right)$ là 2 điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ $O\left( 0;0 \right)$.

Vì $A,B$ đều thuộc đồ thị $\left( C \right)$ nên ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   b={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}-4a+3  \\   -b={{\left( -a \right)}^{3}}-3{{\left( -a \right)}^{2}}-4\left( -a \right)+3  \\\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   b={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}-4a+3  \\   -b=-{{a}^{3}}-3{{a}^{2}}+4a+3  \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   b={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}-4a+3  \\   0=-6{{a}^{2}}+6  \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   a=1;b=-3  \\   a=-1;b=3  \\\end{array} \right.$

Vậy 2 điểm $A,B$ cần tìm là: $A\left( 1;-3 \right):B\left( -1;3 \right)$ hoặc ngược lại.

b) Gọi $A\left( a;b \right)$ và $B\left( -a;b \right)$ là 2 điểm đối xứng nhau qua trục $Oy$.

Vì $A,B$ đều thuộc đồ thị $\left( C \right)$ nên ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   b={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}-4a+3  \\   b={{\left( -a \right)}^{3}}-3{{\left( -a \right)}^{2}}-4\left( -a \right)+3  \\\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   b={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}-4a+3  \\   b=-{{a}^{3}}-3{{a}^{2}}+4a+3  \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   b={{a}^{3}}-3{{a}^{2}}-4a+3  \\   0=2{{a}^{3}}-8a  \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   a=b=0\Rightarrow A\equiv B\,\,\left( loai \right)  \\   a=2;b=-9  \\   a=-2;b=-9  \\\end{array} \right.$

Vậy 2 điểm $A,B$ cần tìm là: $A\left( 2;-9 \right);B\left( -2;-9 \right)$ hoặc ngược lại.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y=\frac{x-3}{2x-2}=\frac{\frac{1}{2}\left( 2x-2 \right)-2}{2x-2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{x-1}$

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x=1.$

Gọi $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ lần lượt là 2 điểm thuộc 2 nhánh của $\left( C \right)$ ta có: ${{x}_{1}}<1<{{x}_{2}}$

Đặt ${{x}_{1}}=1-a,\,{{x}_{2}}=1+b\,\,\left( a,b>0 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   {{y}_{1}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{a}  \\   {{y}_{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{b}  \\\end{array} \right.\Rightarrow A{{B}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{2}}$

$={{\left( a+b \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)}^{2}}={{\left( a+b \right)}^{2}}\left( 1+\frac{1}{{{\left( ab \right)}^{2}}} \right).$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   {{\left( a+b \right)}^{2}}\ge 4ab  \\   1+\frac{1}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}\ge 2\sqrt{\frac{1}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}}=\frac{2}{ab}  \\\end{array} \right.\Rightarrow A{{B}^{2}}\ge 4ab.\frac{2}{ab}=8\Rightarrow AB\ge 2\sqrt{2}.$

Dấu $''=''$ xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   a=b  \\   \frac{1}{ab}=1  \\\end{array} \right.\Leftrightarrow a=b=1\Rightarrow A\left( 0;\frac{3}{2} \right),B\left( 2;-\frac{1}{2} \right).$

Lời giải chi tiết

Gọi $A\left( a;-{{a}^{3}}+3a+2 \right);B\left( b;-{{b}^{3}}+3b+2 \right)\,\,\left( a\ne b \right)$ là 2 điểm thuộc đồ thị hàm số đã cho và đối xứng nhau qua điểm $I\left( -1;3 \right)$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   a+b=2{{x}_{1}}=-2  \\   -{{a}^{3}}+3a+2-{{b}^{3}}+3b+2=2{{y}_{1}}=6  \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   a+b=-2  \\   -\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}} \right)+3\left( a+b \right)=2  \\\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   a+b=-2  \\   {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=-8  \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   a+b=-2  \\   {{\left( a+b \right)}^{3}}-3ab\left( a+b \right)=-8  \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   a+b=-2  \\   ab=0  \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   a=0;b=-2  \\   a=-2;b=0  \\\end{array} \right.$

Vậy $\left( 0;2 \right)$ và $\left( -2;4 \right)$ là cặp điểm cần tìm. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Gọi $A\left( a;\frac{-{{a}^{3}}}{3}+{{a}^{2}}+3a-\frac{11}{3} \right)$ và $B\left( b;\frac{-{{b}^{3}}}{3}+{{b}^{2}}+3b-\frac{11}{3} \right)\,\,\left( a\ne b \right)$ là 2 điểm thuộc đồ thị và chúng đối xứng nhau qua trục tung.

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   a=-b  \\   \frac{-{{a}^{3}}}{3}+{{a}^{2}}+3a-\frac{11}{3}=\frac{-{{b}^{3}}}{3}+{{b}^{2}}+3b-\frac{11}{3}  \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   a=-b  \\   \frac{-{{a}^{3}}}{3}+{{a}^{2}}+3a-\frac{11}{3}=\frac{{{a}^{3}}}{3}+{{a}^{2}}-3a-\frac{11}{3}  \\\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   a=-b  \\   \frac{-2{{a}^{3}}}{3}-6a=0  \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   a=-b  \\   \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   a=0  \\   a=\pm 3  \\\end{array} \right.  \\\end{array} \right.$

Với $a=0\Rightarrow b=0\Rightarrow A\equiv B$ (loại).

Với $a=\pm 3\Rightarrow b=\mp 3\Rightarrow A\left( 3;\frac{16}{3} \right);B\left( -3;\frac{16}{3} \right)$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Gọi hai điểm thỏa mãn đề bài là $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)  \\   B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)  \\\end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   {{x}_{A}}=-{{x}_{B}}  \\   {{y}_{A}}={{y}_{B}}  \\\end{array} \right.\Rightarrow {{x}_{A}}\ne 0.$

Khi đó ta có $-x_{A}^{2}+4{{x}_{A}}+2=-{{\left( -{{x}_{A}} \right)}^{2}}+4\left( -{{x}_{A}} \right)+2\Leftrightarrow 4{{x}_{A}}=-4{{x}_{A}}\Leftrightarrow {{x}_{A}}=0\left( L \right).$

Suy ra không tồn tại hai điểm thỏa mãn đề bài. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y=\frac{3x+6}{x+1}=\frac{3\left( x+1 \right)+3}{x+1}=3+\frac{3}{x+1}$

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x=-1.$

Gọi $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ lần lượt là 2 điểm thuộc 2 nhánh của $\left( C \right)$ ta có: ${{x}_{1}}<-1<{{x}_{2}}$

Đặt ${{x}_{1}}=-1-a,{{x}_{2}}=-1+b\,\,\left( a,b>0 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   {{y}_{1}}=3-\frac{3}{a}  \\   {{y}_{2}}=3+\frac{3}{b}  \\\end{array} \right.\Rightarrow A{{B}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)}^{2}}$

$={{\left( a+b \right)}^{2}}+9{{\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)}^{2}}={{\left( a+b \right)}^{2}}\left( 1+\frac{9}{{{\left( ab \right)}^{2}}} \right)$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   {{\left( a+b \right)}^{2}}\ge 4ab  \\   1+\frac{9}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}\ge 2\sqrt{\frac{9}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}}=\frac{6}{ab}  \\\end{array} \right.\Rightarrow A{{B}^{2}}\ge 4ab.\frac{6}{ab}=24\Rightarrow AB\ge 2\sqrt{6}.$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   a=b  \\   \frac{9}{ab}=1  \\\end{array} \right.\Leftrightarrow a=b=3$. Chọn C.