Bài toán mặt cầu với chóp có cạnh bên vuông góc đáy – cách giải và bài tập có đáp án chi tiết - Tự Học 365

Bài toán mặt cầu với chóp có cạnh bên vuông góc đáy – cách giải và bài tập có đáp án chi tiết

Bài toán mặt cầu v ớ i chóp có cạnh bên vuông góc đáy – cách giải và bài tập có đáp án chi tiết

Bài toán mặt cầu vi chóp có cạnh bên vuông góc đáy – cách giải và bài tập có đáp án

Phương pháp, định hướng giải

image16

Xét khối chóp S.ABCS.ABCSA(ABC)SA(ABC). Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCS.ABC.

Dựng tâm. Dựng trục đường tròn ngoại tiếp d của tam giác ABCABC, thì d//SAd//SA

Trong mặt phẳng (SA;d)(SA;d), dựng đường trung trực ΔΔ của SA. Tâm I của mặt cầu là giao điểm của d và ΔΔ.

Tính bán kính RR của mặt cầu

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABCΔABC.

Gọi E là trung điểm của SA.

Xét ΔAOIΔAOI vuông tại O

Ta có R2=AI2=OA2+OI2=OA2+AE2=OB2+(SA2)2.R2=AI2=OA2+OI2=OA2+AE2=OB2+(SA2)2.

với OA=Rd là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy.

Khi đó: RS.ABC=SA24+R2d.

Tổng quát: Cho khối chóp S.A1A2...AnSAAA1A2. Gọi Rd là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác AA1A2...An thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp R của khối chóp S.A1A2...An được tính theo công thức: R=SA24+R2d.

Bài tập trắc nghiệm mặt cầu, khối cầu có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a, AC=a3. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng

A. R=a32.  B. R=a.  C. R=a52.              D. R=a72.

Lời giải chi tiết

image17

+ Ta có ^SB;(ABC)=^SBA=600SA=tan600.AB=a3.

Tam giác ABC vuông tại AAB2+AC2=BC2BC=2a.

+ Hình chóp S.ABC có chiều cao h=a3; bán kính Rday=BC2=a

Bán kính mặt cầu cần tính là R=a2+(a3)24=a72.

Chọn D.

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều có diện tích bằng a23. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Diện tích tam giác SBC bằng 2a2. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là

A. R=a576.  B. R=a32. C. R=5a2.              D. R=a343.

Lời giải chi tiết

image20

+ Đặt AB=xSΔABC=x234=a23x=2a.

Gọi H là trung điểm của BCAHBCSABC

Suy ra BC(SAH)BCSHSΔSBC=12SH.BC=2a2

12SH.2a=2a2SH=2aSA=SH2AH2=a.

+ Hình chóp S.ABC có chiều cao h=SA=a; bán kính Rday=2a33

Bán kính mặt cầu cần tính là R=(2a3)23+a24=a576.

Chọn A.

Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA=2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác SBD là tam giác đều. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng

A. 43a3.  B. 43a3. C. 6a3.              D. 2a3.

Lời giải chi tiết

image21

+  Đặt AB=xBD=x2SB=SA2+AB2=x2+2a2

Tam giác SBD đều SB=BDx2=x2+2a2x=a2

+ Hình chóp S.ABCD có chiều cao h=a2; bán kính Rday=a

Bán kính mặt cầu cần tính là R=a2+(a2)24=a62.

Vậy thể tích khối cầu là V=4π3.(a62)3=6a3. Chọn C.

Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh a, SA vuông góc với đáy và SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 300. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng

A. a.  B. a3.  C. a2. D. 2a.

Lời giải chi tiết

Ta có {SABCABBCCB(SAB)(^SC;(SAB))=(^SC;SB)=^CSB

Tam giác SBC vuông tại Btan^CSB=BCSBSB=a3

Tam giác SAB vuông tại ASA=SB2AB2=a2

Vậy h=SA=a2;Rd=BD2=AB22=a22 nên R=a.

Chọn A.

Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,AB=a,^ACB=300. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 450. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng

A. a54.  B. a52. C. a32.              D. a22.

Lời giải chi tiết

Ta có SA(ABC)(^SB;(ABC))=(^SB;AB)=SBA=450.

Tam giác SAB vuông tại A, có ^SBA=450SA=AB=a.

Tam giác ABC vuông tại A, có sin^ACB=ABACAC=2a.

Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABCRΔABC=AC2=a.

Vậy bán kính mặt cầu cần tính là

R=R2ΔABC+SA24=a2+a24=a52. Chọn B.

Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (SCD)(ABCD) bằng 450. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD bằng a62. Diện tích tam giác SAB bằng

A. a22.  B. a24. C. a2.              D. 2a2.

Lời giải chi tiết

CD(SAD)(^(SCD);(ABCD))=(^SD;AD)=SDA=450.

Tam giác SAD vuông tại A, có ^SDA=450SA=AD=x.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABCD là RABCD=AC2=x22.

Bán kính mặt cầu là R=R2ABCD+SA24=x32.

RS.ABCD=a62x32=a62x=a2.

Vậy SΔSAB=x22=a2. Chọn C.

Bài tập 7: Cho mặt cầu (S) có bán kính R=3 đi qua điểm A cố định. Xét các điểm B,C,D thuộc (S) sao cho AB,AC,AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng

A. 83.  B. 4.  C. 43. D. 8.

Lời giải chi tiết

A,B,C,D thuộc (S)(S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Tứ diện ABCD có chiều cao h=AD; đáy là tam giác ABC.

Đặt AB=a,AC=b,AD=ch=cRday=BC2=a2+b22

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là

R=(a2+b22)2+c24=a2+b2+c22=3a2+b2+c2=12

Ta có 12=a2+b2+c233(abc)2abc8VABCD=abc643. Chọn C.

 

Bài toán tổng quát: Tứ diện ABCD, AB,AC,AD đôi một vuông góc và AB=a,AC=b,AD=cthì bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là R=a2+b2+c22 
Bài tập 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,^BAD=600 và các cạnh bên SA=SB=SD,^BSD=900. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABCD

A. R=6a4.  B. R=6a2. C. R=3a4.              D. R=2a4.

Lời giải chi tiết

SA=SB=SD và ΔABD đều cạnh aS.ABD là hình chóp tam giác đều.

Mặt khác ^BSD=900SBSDSA,SB,SD đôi một vuông góc và bằng a22.

Áp dụng công thức giải nhanh, ta được RS.ABD=SA2+SB2+SD22=R=a64. Chọn A.

Bài tập 9: Cho ba tia Ox,Oy,Oz đôi một vuông góc với nhau. Gọi C là điểm cố định trên Oz, đặt OC=1, các điểm A,B thay đổi trên Ox,Oy sao cho OA+OB=OC. Giá trị bé nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OACB bằng

A. Rmin=64.  B. Rmin=63. C. Rmin=6.              D. Rmin=62.

Lời giải chi tiết

Đặt OA=a,OB=b với a,b>0 suy ra OA+OB=OCa+b=1.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OACB (OA,OB,OC đôi một vuông góc) là

R=OA2+OB2+OC22=a2+b2+12=12a2+(1a)2+1=122a22a+2

Dễ thấy a2a+1=(a12)2+3434a2a+132R22.32=64.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=12. Vậy giá trị bé nhất cần tìm là 64. Chọn A.

Bài tập 10: Cho lăng trụ đứng ABC.ABC, cạnh AB=AC=a,BC=a3,AA=2a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCC bằng

A. R=a.  B. R=a5. C. R=a3. D. R=a2.

Lời giải chi tiết

Dễ thấy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCC cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ ABC.ABC hay là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp A.ABC.

Sử dụng công thức tính nhanh, ta được R=r2+h24=(RΔABC)2+AA24.

Ta có cos^BAC=AB2+AC2BC22.AB.AC=a2+a23a22a2=12^BAC=1200.

RΔABC=BC2sin^BAC=a32.sin1200=a. Khi đó R=(RΔABC)2+AA24=a2. Chọn D.

Bài tập 11: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,AB=a. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC)(ABC) bằng 600. Thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.ABC bằng

A. 55πa38.  B. 55πa36. C. 33πa36.              D. 33πa38.

Lời giải chi tiết

Ta có {AABCABBCBC(AABB){(ABC)(AABB)=AB(ABC)(AABB)=AB 

^(ABC);(ABC)=(^AB;AB)=^ABA=600AA=AB.tan600=a3

Tam giác ABC vuông cân tại B,RΔABC=AC2=a22.

Suy ra bán kính mặt cầu là R=R2ΔABC+AA24=a52.

Vậy thể tích khối cầu cần tính là V=43πR3=43π.(a52)3=55πa36. Chọn B.

Bài tập 12: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác vuông,AB=BC=a. Biết góc giữa hai mặt phẳng (ACC)(ABC) bằng 600. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.ABC bằng

A. a22.  B. a2. C. a32.              D. a33.

Lời giải chi tiết

Kẻ BHAC(HAC), kẻ HKAC(KAC).

Ta có BH(ACC){BHACHKACAC(BHK)

Khi đó ^(ACC);(ABC)=^(HK;BK)=^BKH=600.

Tam giác ABC vuông cân tại BBH=AC2=a22.

Tam giác BHK vuông tại H, có sin^BHK=BHBKBK=a63.

Tam giác ABC vuông tại B,BK là đường cao

1BK2=1AB2+1BC21AB2=12a2AB=a2.

Tam giác AAB vuông tại A,AA=AB2AB2=(a2)2a2=a.

Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là R=R2ΔABC+AA24=(a22)2+a24=a32. Chọn C.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12