Xét khối chóp S.ABCS.ABC có SA⊥(ABC)SA⊥(ABC). Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCS.ABC.
Dựng tâm. Dựng trục đường tròn ngoại tiếp d của tam giác ABCABC, thì d//SAd//SA
Trong mặt phẳng (SA;d)(SA;d), dựng đường trung trực ΔΔ của SA. Tâm I của mặt cầu là giao điểm của d và ΔΔ.
Tính bán kính RR của mặt cầu
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABCΔABC.
Gọi E là trung điểm của SA.
Xét ΔAOIΔAOI vuông tại O
Ta có R2=AI2=OA2+OI2=OA2+AE2=OB2+(SA2)2.R2=AI2=OA2+OI2=OA2+AE2=OB2+(SA2)2.
với OA=Rd là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy.
Khi đó: RS.ABC=√SA24+R2d.
Tổng quát: Cho khối chóp S.A1A2...An có SA⊥AA1A2. Gọi Rd là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác AA1A2...An thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp R của khối chóp S.A1A2...An được tính theo công thức: R=√SA24+R2d.
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a, AC=a√3. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng
A. R=a√32. B. R=a. C. R=a√52. D. R=a√72. |
Lời giải chi tiết
+ Ta có ^SB;(ABC)=^SBA=600⇒SA=tan600.AB=a√3.
Tam giác ABC vuông tại A⇒AB2+AC2=BC2⇒BC=2a.
+ Hình chóp S.ABC có chiều cao h=a√3; bán kính Rday=BC2=a
⇒ Bán kính mặt cầu cần tính là R=√a2+(a√3)24=a√72.
Chọn D.
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều có diện tích bằng a2√3. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Diện tích tam giác SBC bằng 2a2. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là
A. R=a√576. B. R=a√32. C. R=5a2. D. R=a√343. |
Lời giải chi tiết
+ Đặt AB=x→SΔABC=x2√34=a2√3⇒x=2a.
Gọi H là trung điểm của BC⇒AH⊥BC mà SA⊥BC
Suy ra BC⊥(SAH)⇒BC⊥SH⇒SΔSBC=12SH.BC=2a2
⇒12SH.2a=2a2⇒SH=2a⇒SA=√SH2−AH2=a.
+ Hình chóp S.ABC có chiều cao h=SA=a; bán kính Rday=2a√33
⇒ Bán kính mặt cầu cần tính là R=√(2a√3)23+a24=a√576.
Chọn A.
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA=√2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác SBD là tam giác đều. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng
A. 43a3. B. 4√3a3. C. √6a3. D. √2a3. |
Lời giải chi tiết
+ Đặt AB=x→BD=x√2 và SB=√SA2+AB2=√x2+2a2
Tam giác SBD đều ⇒SB=BDx√2=√x2+2a2→x=a√2
+ Hình chóp S.ABCD có chiều cao h=a√2; bán kính Rday=a
⇒ Bán kính mặt cầu cần tính là R=√a2+(a√2)24=a√62.
Vậy thể tích khối cầu là V=4π3.(a√62)3=√6a3. Chọn C.
Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh a, SA vuông góc với đáy và SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 300. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng
A. a. B. a√3. C. a√2. D. 2a. |
Lời giải chi tiết
Ta có {SA⊥BCAB⊥BC⇒CB⊥(SAB)⇒(^SC;(SAB))=(^SC;SB)=^CSB
Tam giác SBC vuông tại B⇒tan^CSB=BCSB⇒SB=a√3
Tam giác SAB vuông tại A⇒SA=√SB2−AB2=a√2
Vậy h=SA=a√2;Rd=BD2=AB√22=a√22 nên R=a.
Chọn A.
Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,AB=a,^ACB=300. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 450. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng
A. a√54. B. a√52. C. a√32. D. a√22. |
Lời giải chi tiết
Ta có SA⊥(ABC)⇒(^SB;(ABC))=(^SB;AB)=⌢SBA=450.
Tam giác SAB vuông tại A, có ^SBA=450⇒SA=AB=a.
Tam giác ABC vuông tại A, có sin^ACB=ABAC⇒AC=2a.
Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC là RΔABC=AC2=a.
Vậy bán kính mặt cầu cần tính là
R=√R2ΔABC+SA24=√a2+a24=a√52. Chọn B.
Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 450. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD bằng a√62. Diện tích tam giác SAB bằng
A. a22. B. a24. C. a2. D. 2a2. |
Lời giải chi tiết
Vì CD⊥(SAD)⇒(^(SCD);(ABCD))=(^SD;AD)=⌢SDA=450.
Tam giác SAD vuông tại A, có ^SDA=450⇒SA=AD=x.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABCD là RABCD=AC2=x√22.
Bán kính mặt cầu là R=√R2ABCD+SA24=x√32.
Mà RS.ABCD=a√62⇒x√32=a√62⇔x=a√2.
Vậy SΔSAB=x22=a2. Chọn C.
Bài tập 7: Cho mặt cầu (S) có bán kính R=√3 đi qua điểm A cố định. Xét các điểm B,C,D thuộc (S) sao cho AB,AC,AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng
A. 83. B. 4. C. 43. D. 8. |
Lời giải chi tiết
Vì A,B,C,D thuộc (S)⇒(S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Tứ diện ABCD có chiều cao h=AD; đáy là tam giác ABC.
Đặt AB=a,AC=b,AD=c⇒h=c và Rday=BC2=√a2+b22
⇒ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là
R=√(√a2+b22)2+c24=√a2+b2+c22=√3⇒a2+b2+c2=12
Ta có 12=a2+b2+c2≥33√(abc)2⇔abc≤8→VABCD=abc6≤43. Chọn C.
Bài toán tổng quát: Tứ diện ABCD, AB,AC,AD đôi một vuông góc và AB=a,AC=b,AD=cthì bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là R=√a2+b2+c22 |
Bài tập 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,^BAD=600 và các cạnh bên SA=SB=SD,^BSD=900. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABCD là
A. R=√6a4. B. R=√6a2. C. R=√3a4. D. R=√2a4. |
Lời giải chi tiết
Vì SA=SB=SD và ΔABD đều cạnh a→S.ABD là hình chóp tam giác đều.
Mặt khác ^BSD=900⇒SB⊥SD⇒SA,SB,SD đôi một vuông góc và bằng a√22.
Áp dụng công thức giải nhanh, ta được RS.ABD=√SA2+SB2+SD22=R=a√64. Chọn A.
Bài tập 9: Cho ba tia Ox,Oy,Oz đôi một vuông góc với nhau. Gọi C là điểm cố định trên Oz, đặt OC=1, các điểm A,B thay đổi trên Ox,Oy sao cho OA+OB=OC. Giá trị bé nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OACB bằng
A. Rmin=√64. B. Rmin=√63. C. Rmin=√6. D. Rmin=√62. |
Lời giải chi tiết
Đặt OA=a,OB=b với a,b>0 suy ra OA+OB=OC⇔a+b=1.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OACB (OA,OB,OC đôi một vuông góc) là
R=√OA2+OB2+OC22=√a2+b2+12=12√a2+(1−a)2+1=12√2a2−2a+2
Dễ thấy a2−a+1=(a−12)2+34≥34⇒√a2−a+1≥√32⇒R≥√22.√32=√64.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=12. Vậy giá trị bé nhất cần tìm là √64. Chọn A.
Bài tập 10: Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′, cạnh AB=AC=a,BC=a√3,AA′=2a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB′C′C bằng
A. R=a. B. R=a√5. C. R=a√3. D. R=a√2. |
Lời giải chi tiết
Dễ thấy tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AB′C′C cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ ABC.A′B′C′ hay là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp A′.ABC.
Sử dụng công thức tính nhanh, ta được R=√r2+h24=√(RΔABC)2+A′A24.
Ta có cos^BAC=AB2+AC2−BC22.AB.AC=a2+a2−3a22a2=−12⇒^BAC=1200.
⇒RΔABC=BC2sin^BAC=a√32.sin1200=a. Khi đó R=√(RΔABC)2+A′A24=a√2. Chọn D.
Bài tập 11: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,AB=a. Góc giữa hai mặt phẳng (A′BC) và (ABC) bằng 600. Thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A′B′C′ bằng
A. 5√5πa38. B. 5√5πa36. C. 3√3πa36. D. 3√3πa38. |
Lời giải chi tiết
Ta có {AA′⊥BCAB⊥BC⇒BC⊥(AA′B′B) và {(A′BC)∩(AA′B′B)=A′B(ABC)∩(AA′B′B)=AB
⇒^(A′BC);(ABC)=(^A′B;AB)=^A′BA=600⇒AA′=AB.tan600=a√3
Tam giác ABC vuông cân tại B, có RΔABC=AC2=a√22.
Suy ra bán kính mặt cầu là R=√R2ΔABC+A′A24=a√52.
Vậy thể tích khối cầu cần tính là V=43πR3=43π.(a√52)3=5√5πa36. Chọn B.
Bài tập 12: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông,AB=BC=a. Biết góc giữa hai mặt phẳng (ACC′) và (AB′C′) bằng 600. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A′B′C′ bằng
A. a√22. B. a2. C. a√32. D. a√33. |
Lời giải chi tiết
Kẻ B′H⊥A′C′(H∈A′C′), kẻ HK⊥AC′(K∈AC′).
Ta có B′H⊥(ACC′)⇒{B′H⊥AC′HK⊥AC′⇒AC′⊥(B′HK)
Khi đó ^(ACC′);(AB′C′)=^(HK;B′K)=^B′KH=600.
Tam giác A′B′C′ vuông cân tại B′⇒B′H=A′C′2=a√22.
Tam giác B′HK vuông tại H, có sin^B′HK=BHB′K⇒B′K=a√63.
Tam giác AB′C′ vuông tại B′, có B′K là đường cao
⇒1B′K2=1AB′2+1B′C′2⇒1AB′2=12a2⇒AB′=a√2.
Tam giác AA′B vuông tại A′, có AA′=√AB′2−A′B′2=√(a√2)2−a2=a.
Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là R=√R2ΔABC+AA′24=√(a√22)2+a24=a√32. Chọn C.
TOÁN LỚP 12