R=√x2+r2R=√x2+r2 với
r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
x=SO2−r22h:Sx=SO2−r22h:S là đỉnh hình chóp, O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, h là chiều cao khối chóp.
Bài tập 1: Cho hình chóp đều S.ABCS.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng 2a√33.2a√33. Gọi D là điểm đối xứng của B qua C. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCS.ABCbằng
A. a√376.a√376. B. a√357.a√357. C. a√367.a√367. D. a√397.a√397. |
Lời giải chi tiết
Hình vẽ tham khảo
Vì C là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABDΔABD nên r=BC=ar=BC=a
Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC)⇒H(ABC)⇒H là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABCΔABC
Tam giác SHC vuông tại H, có SC=2a√33;HC=a√33⇒SH=√SC2−HC2=aSC=2a√33;HC=a√33⇒SH=√SC2−HC2=a
Vậy r=h=ar=h=a và SC=2a√33SC=2a√33 nên R=a√376.R=a√376. Chọn A.
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D,AB=AD=a và CD=2a. Cạnh bên SD vuông góc với đáy, SD=a. Gọi E là trung điểm của CD. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCEbằng
A. a√118. B. a√114. C. a√116. D. a√112. |
Lời giải chi tiết
Vì E là trung điểm DC⇒ΔEBC vuông tại E
Gọi M là trung điểm của BC
⇒M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EBC
Xét hình chóp S.BCE có S là đỉnh, M là tâm đáy, chiều cao h=SD và bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy r=BC2=a√22
ΔBCD vuông cân tại B⇒DM=√BD2+BM2=a√102
ΔSDM vuông tại D⇒SM=√SD2+DM2=a√142
Áp dụng công thức, ta được R=√(SM2−r22.SD)2+r2=a√112. Chọn D.
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CD. Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN.
A. R=a√376. B. R=a√298. C. R=5a√312. D. R=a√9312. |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trung điểm của AD⇒SH⊥AD
⇒SH⊥(ABCD). Gọi E là trung điểm của MN, dựng đường thẳng d qua E song song với SH, trên d lấy điểm I sao cho IS=IC⇒I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.CMN⇒IS=IC=IM=IN=R.
Ta có: CE=MN2=a√24⇒IE=√R2−a28;SH=a√32
HE2=(34CD)2+(14AD)2=5a28
Lại có R2−HE2=(SH−IE)2⇔R2−5a28=(a√32−√R2−a28)2⇒R=a√9312. Chọn D.
Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,SA=2a và vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CD. Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN.
A. R=a√34. B. R=3a√24. C. R=3a√34. D. R=a√22. |
Lời giải chi tiết
Gọi E là trung điểm của MN, dựng đường thẳng d qua E song song với SA, trên d lấy điểm I sao cho IS=IC⇒I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chópS.CMN⇒IS=IC=IM=IN=R.
Ta có: CE=MN2=a√24⇒IE=√R2−a28;SA=2a
AE2=(34CD)2+(34AD)2=9a28
Lại có R2−AE2=(SA−IE)2
⇔R2−9a28=(2a−√R2−a28)2⇒R=3a√34.
Chọn C.
Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a,AD=2a. Mặt bên (SAD) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CD. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN.
A. R=2a√33. B. R=2a√63. C. R=a√134. D. R=a√36. |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trung điểm của AD⇒SH⊥AD
⇒SH⊥(ABCD). Gọi E là trung điểm của MN, dựng đường thẳng d qua E song song với SH, trên d lấy điểm I sao cho IS=IC⇒I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chópS.CMN⇒IS=IC=IM=IN=R.
Ta có: CE=MN2=a√54⇒IE=√R2−5a216;SH=a√3
HE2=(34CD)2+(14AD)2=13a216
Lại có R2−HE2=(SH−IE)2 ⇔R2−13a216=(a√3−√R2−5a216)2⇒R=2a√33.
Chọn A.
Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm đối xứng của C qua AB và mặt bên (SAB) tạo với đáy góc 600. Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
A. R=a√9112. B. R=a√21712. C. R=a√9115. D. R=a√27312. |
Lời giải chi tiết
Gọi H là đối xứng của C quaAB⇒CH⊥AB.
O là trung điểm của CH
⇒OH=CO=a√32;^SOH=600
Suy ra SH=OHtan600=3a2
Gọi E là trọng tâm tam giác ABC, dựng đường thẳng d qua E song song với SH, trên d lấy điểm I sao cho IS=IC⇒I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chópS.CMN
⇒IS=IC=IM=IN=R.
có: CE=2CO3=a√33⇒IE=√R2−a33;HE=2CE=2a√33z
Lại có R2−HE2=(SH−IE)2 ⇔R2−4a23=(3a2−√R2−a23)2⇒R=a√21712.
Chọn B.
TOÁN LỚP 12