Bài toán mặt cầu, khối cầu và Hình chóp bất kì (bài toán Tổng quát – Nâng cao) - Tự Học 365

Bài toán mặt cầu, khối cầu và Hình chóp bất kì (bài toán Tổng quát – Nâng cao)

Bài toán mặt cầu

Bài toán mặt cầu, khối cầu và Hình chóp bất kì (bài toán Tổng quát – Nâng cao)

Công thức tìm nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là

 R=x2+r2R=x2+r2 với

r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

x=SO2r22h:Sx=SO2r22h:S là đỉnh hình chóp, O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, h là chiều cao khối chóp.

Bài tập trắc nghiệm mặt cầu, khối cầu và hình chóp bất kì có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Cho hình chóp đều S.ABCS.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng 2a33.2a33. Gọi D là điểm đối xứng của B qua C. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCS.ABCbằng

A. a376.a376.  B. a357.a357. C. a367.a367.              D. a397.a397.

Lời giải chi tiết

Hình vẽ tham khảo

Vì C là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABDΔABD nên r=BC=ar=BC=a

Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC)H(ABC)H là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABCΔABC

Tam giác SHC vuông tại H, có SC=2a33;HC=a33SH=SC2HC2=aSC=2a33;HC=a33SH=SC2HC2=a

Vậy r=h=ar=h=aSC=2a33SC=2a33 nên R=a376.R=a376. Chọn A.

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D,AB=AD=aCD=2a. Cạnh bên SD vuông góc với đáy, SD=a. Gọi E là trung điểm của CD. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCEbằng

A. a118.  B. a114. C. a116.              D. a112.

Lời giải chi tiết

Vì E là trung điểm DCΔEBC vuông tại E

Gọi M là trung điểm của BC

M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EBC

Xét hình chóp S.BCES là đỉnh, M là tâm đáy, chiều cao h=SD và bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy r=BC2=a22

ΔBCD vuông cân tại BDM=BD2+BM2=a102

ΔSDM vuông tại DSM=SD2+DM2=a142

Áp dụng công thức, ta được R=(SM2r22.SD)2+r2=a112. Chọn D.

Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CD. Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN.

A. R=a376.  B. R=a298. C. R=5a312.              D. R=a9312.

Lời giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của ADSHAD

SH(ABCD). Gọi E là trung điểm của MN, dựng đường thẳng d qua E song song với SH, trên d lấy điểm I sao cho IS=ICI là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.CMNIS=IC=IM=IN=R.

Ta có: CE=MN2=a24IE=R2a28;SH=a32

HE2=(34CD)2+(14AD)2=5a28

Lại có R2HE2=(SHIE)2R25a28=(a32R2a28)2R=a9312. Chọn D.

Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,SA=2a và vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CD. Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN.

A. R=a34. B. R=3a24. C. R=3a34.              D. R=a22.

Lời giải chi tiết

Gọi E là trung điểm của MN, dựng đường thẳng d qua E song song với SA, trên d lấy điểm I sao cho IS=ICI  là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chópS.CMNIS=IC=IM=IN=R.

Ta có: CE=MN2=a24IE=R2a28;SA=2a

AE2=(34CD)2+(34AD)2=9a28

Lại có R2AE2=(SAIE)2

R29a28=(2aR2a28)2R=3a34.

Chọn C.

Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a,AD=2a. Mặt bên (SAD) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CD. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN.

A. R=2a33.  B. R=2a63. C. R=a134.              D. R=a36.

Lời giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của ADSHAD

SH(ABCD). Gọi E là trung điểm của MN, dựng đường thẳng d qua E song song với SH, trên d lấy điểm I sao cho IS=ICI  là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chópS.CMNIS=IC=IM=IN=R.

Ta có: CE=MN2=a54IE=R25a216;SH=a3

HE2=(34CD)2+(14AD)2=13a216

Lại có R2HE2=(SHIE)2 R213a216=(a3R25a216)2R=2a33.

Chọn A.

Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng (ABC) là điểm đối xứng của C qua AB và mặt bên (SAB) tạo với đáy góc 600. Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

A. R=a9112.  B. R=a21712. C. R=a9115.              D. R=a27312.

Lời giải chi tiết

Gọi H là đối xứng của C quaABCHAB.

O là trung điểm của CH

OH=CO=a32;^SOH=600

Suy ra SH=OHtan600=3a2

Gọi E là trọng tâm tam giác ABC, dựng đường thẳng d qua E song song với SH, trên d lấy điểm I sao cho IS=ICI  là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chópS.CMN

IS=IC=IM=IN=R.

có: CE=2CO3=a33IE=R2a33;HE=2CE=2a33z

Lại có R2HE2=(SHIE)2 R24a23=(3a2R2a23)2R=a21712.

Chọn B.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12