Xét khối chóp S.ABC có SA=SB=SC. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC (Hình chóp đều là một trường hợp đặc biệt của dạng toán này).
Dựng tâm. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì ta có SO⊥(ABC). Trong mặt phẳng (SAO) dựng đường trung trực của SA cắt SO tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.
Tính bán kính R của mặt cầu.
Gọi E là trung điểm của AB.
Hai tam giác vuông SOA và SEI đồng dạng.
Suy ra SOSE=SASI⇔R=SI=SE.SASO=SA22SO.
Vậy R=SA22SH.
Tổng quát: Cho khối chóp S.A1A2...An có S.A1=SA2...SAn=ℓ và có chiều cao SO=h thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp R của khối chóp S.A1A2...An được tính theo công thức: R=ℓ22SO=ℓ22h.
Ví dụ 1: Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều S.ABC có AB=a,SA=a√2 bằng
A. 4√5πa375. B. 4√15πa325. C. 4√3πa325. D. 4√3πa375. |
Lời giải
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC→SO⊥(ABC)
Gọi M là trung điểm của BC⇒OA=23AM=23.a√32=a√33
Tam giác SAO vuông tại O⇒SO=√SA2−OA2=a√153
Vậy SA=a√2;SO=a√153→R=a√155⇒V=4√15πa325.
Chọn B.
Mở rộng với bài toán hình chóp tam giác đều. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, với giả thiết
Cạnh bên SA=b thì R=√3.b22√3b2−a2.
Cạnh bên SA hợp với đáy một góc α thì R=√33.sin2αa. Mặt bên tạo với mặt đáy một góc β thì $R=\frac{\sqrt{3}\left( 4+{{\tan }^{2}}\beta \right)}{12\tan \beta }a.$ Góc ^SAB=φ thì R=√3.a4√−cosφ.cos3φ. Góc ^ASB=γ thì R=√3.a4√sinγ2.sin3γ2. |
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,AB=a√2. Các cạnh bên SA=SB=SC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 450. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng
A. a√24. B. a2. C. a√22. D. a. |
Lời giải
Gọi O là trung điểm BC⇒O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC
⇒SO⊥(ABC)⇒(^SA;(ABC))=^(SA;OA)=^SAO=450
Tam giác ABC vuông cân tại A→BC=AB√2=2a
Tam giác SAO vuông cân tại O→SO=OA=BC2=a
Vậy SO=a;SA=OA√2=a√2→R=a.
Chọn D.
Ví dụ 3: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 1, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng √64. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng
A. 25π12. B. 25π24. C. 5π12. D. 5π24. |
Lời giải
Gọi O là tâm tam giác ABC,M là trung điểm BC
⇒SO⊥(ABC);OA=23AM=23.√32=√33;OM=12OA=√36
Kẻ OH⊥SM(H∈SM)→OH⊥(SBC)
Ta có d(A;(ABC))=3.OH⇒OH=√64:3=√612
Tam giác SMO vuông tại M có 1OH2=1SO2+1OM2⇒SO=√36
Vậy SO=√36;SA=√SO2+OA2=√156→R=5√312
Diện tích mặt cầu cần tính là S=4πR2=25π12. Chọn A.
Ví dụ 4: Cho ba tia Sx,Sy,Sz không đồng phẳng và ^xSy=1200;^ySz=600;^zSx=900. Trên các tia Sx,Sy,Sz lấy lần lượt các điểm A,B,C sao cho SA=SB=SC=a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
A. R=a2. B. R=a. C. R=a√2. D. R=a√3. |
Lời giải
Tam giác SAB có Ab=√SA2+SB2−2SA.SB.cos^ASB=a√3
Tam giác SAC vuông cân tại S→AC=SA√2=a√2
Suy ra AC2+BC2=AB2→ΔABC vuông tại C
Gọi O là trung điểm của AB→SO⊥(ABC)
Tam giác SAO vuông tại O⇒SO=√SA2−OA2=a2
Vậy SO=a2;SA=a→R=SA22SO=a. Chọn B.
Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 600. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là
A. 4πa33. B. 2πa3√69. C. 8πa3√69. D. 8πa3√627. |
Lời giải
Gọi O là tâm hình vuông ABCD→SO⊥(ABCD).
Do đó ^SB;(ABCD)=^(SB;OB)=^SBO=600.
Tam giác SBO vuông tại O, có {SB=OBcos^SBO SO=OB.tan^SBO⇒{SB=a√2 SO=a√62.
Suy ra bán kính mặt cầu cần tính là R=SB22SO=(a√2)2:(2.a√63)=a√63.
Vậy diện tích khối cầu cần tính là V=43πR3=43π.(a√63)2=8πa3√627. Chọn D.
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có AC=2a, mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 450. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCDbằng
A. √24a. B. a2. C. 3√24a. D. a4. |
Lời giải
Gọi M là trung điểm BC⇒OM⊥BC⇒BC⊥(SMO).
Do đó ^(SBC);(ABCD)=^(SM;MO)=^SMO=450.
Vì ABCD là hình vuông có AC=2a→AB=a√2
Tam giác SMO vuông cân tại O⇒SO=OM=a√22
Tam giác SAO vuông tại O⇒SA=√SO2+OA2=a√62
Vậy SA=a√62;SO=a√22→R=3√24a. Chọn C.
Ví dụ 7: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD bằng √3a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCDbằng
A. R=5√612a. B. R=5√33a. C. R=5√312a. D. R=5√63a. |
Lời giải
Ta có AD//BC⇒AD//(SBC)⇒d(SB;AD)=d(A;(SBC))
Gọi O là tâm hình vuông ABCD→SO⊥(ABCD).
Gọi M là trung điểm BC; kẻ OH⊥SM(H∈SM)
⇒OH⊥(SBC)⇒d(A;(SBC))=2.OH⇒OH=a√32
Tam giác SMO vuông, có 1OH2=1SO2+1OM2⇒SO=a√3
Vậy SO=a√3;SA=√SO2+OA2=a√5→R=R=5√63a.
Chọn D.
Ví dụ 8: Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9, tính thể tích V của khối chóp có thể tích lớn nhất
A. V=144. B. V=576. C. V=576√2. D. V=144√6. |
Lời giải
Xét mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Gọi O là tâm hình vuông ABCD→SO⊥(ABCD)
Bán kính mặt cầu (S) là R=SA22h⇔SA2=18h (*)
Đặt AB=x→VS.ABCD=13.SO.SABCD=h.x23
Tam giác SAO vuông tại O⇒SA2=SO2+OA2=h2+x22
Thay vào (*), ta được h2+x22=18h→x2=36h−2h2
Do đó V=h3.(36h−2h2)=12h2−23h3casio→Vmax=576. Chọn B.
TOÁN LỚP 12