Xét khối chóp $S.ABC$ có $SA=SB=SC.$ Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABC$ (Hình chóp đều là một trường hợp đặc biệt của dạng toán này).
Dựng tâm. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì ta có $SO\bot \left( ABC \right).$ Trong mặt phẳng $\left( SAO \right)$ dựng đường trung trực của SA cắt SO tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABC$.
Tính bán kính $R$ của mặt cầu.
Gọi E là trung điểm của AB.
Hai tam giác vuông SOA và SEI đồng dạng.
Suy ra $\frac{SO}{SE}=\frac{SA}{SI}\Leftrightarrow R=SI=\frac{SE.SA}{SO}=\frac{S{{A}^{2}}}{2SO}.$
Vậy $R=\frac{S{{A}^{2}}}{2SH}.$
Tổng quát: Cho khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ có $S.{{A}_{1}}=S{{A}_{2}}...S{{A}_{n}}=\ell $ và có chiều cao $SO=h$ thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp R của khối chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ được tính theo công thức: $R=\frac{{{\ell }^{2}}}{2SO}=\frac{{{\ell }^{2}}}{2h}.$
Ví dụ 1: Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có $AB=a,SA=a\sqrt{2}$ bằng
A. $\frac{4\sqrt{5}\pi {{a}^{3}}}{75}.$ B. $\frac{4\sqrt{15}\pi {{a}^{3}}}{25}.$ C. $\frac{4\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{25}.$ D. $\frac{4\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{75}.$ |
Lời giải
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC\xrightarrow{{}}SO\bot \left( ABC \right)$
Gọi M là trung điểm của $BC\Rightarrow OA=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
Tam giác SAO vuông tại $O\Rightarrow SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\frac{a\sqrt{15}}{3}$
Vậy $SA=a\sqrt{2};SO=\frac{a\sqrt{15}}{3}\xrightarrow{{}}R=\frac{a\sqrt{15}}{5}\Rightarrow V=\frac{4\sqrt{15}\pi {{a}^{3}}}{25}.$
Chọn B.
Mở rộng với bài toán hình chóp tam giác đều. Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng a, với giả thiết
Cạnh bên $SA=b$ thì $R=\frac{\sqrt{3}.{{b}^{2}}}{2\sqrt{3{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}}.$
Cạnh bên SA hợp với đáy một góc $\alpha $ thì $R=\frac{\sqrt{3}}{3.\sin 2\alpha }a.$ Mặt bên tạo với mặt đáy một góc $\beta $ thì $R=\frac{\sqrt{3}\left( 4+{{\tan }^{2}}\beta \right)}{12\tan \beta }a.$ Góc $\widehat{SAB}=\varphi $ thì $R=\frac{\sqrt{3}.a}{4\sqrt{-\cos \varphi .\cos 3\varphi }}.$ Góc $\widehat{ASB}=\gamma $ thì $R=\frac{\sqrt{3}.a}{4\sqrt{\sin \frac{\gamma }{2}.\sin \frac{3\gamma }{2}}}.$ |
Ví dụ 2: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại $A,AB=a\sqrt{2}.$ Các cạnh bên $SA=SB=SC.$ Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng \[\left( ABC \right)\] bằng ${{45}^{0}}.$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ bằng
A. $\frac{a\sqrt{2}}{4}.$ B. $\frac{a}{2}.$ C. $\frac{a\sqrt{2}}{2}.$ D. $a.$ |
Lời giải
Gọi O là trung điểm $BC\Rightarrow O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$
\[\Rightarrow SO\bot \left( ABC \right)\Rightarrow \left( \widehat{SA;\left( ABC \right)} \right)=\widehat{\left( SA;OA \right)}=\widehat{SAO}={{45}^{0}}\]
Tam giác ABC vuông cân tại $A\xrightarrow{{}}BC=AB\sqrt{2}=2a$
Tam giác SAO vuông cân tại $O\xrightarrow{{}}SO=OA=\frac{BC}{2}=a$
Vậy $SO=a;SA=OA\sqrt{2}=a\sqrt{2}\xrightarrow{{}}R=a.$
Chọn D.
Ví dụ 3: Cho hình chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng 1, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$ bằng $\frac{\sqrt{6}}{4}$. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng
A. $\frac{25\pi }{12}.$ B. $\frac{25\pi }{24}.$ C. $\frac{5\pi }{12}.$ D. $\frac{5\pi }{24}.$ |
Lời giải
Gọi O là tâm tam giác $ABC,M$ là trung điểm BC
\[\Rightarrow SO\bot \left( ABC \right);OA=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3};OM=\frac{1}{2}OA=\frac{\sqrt{3}}{6}\]
Kẻ $OH\bot SM\left( H\in SM \right)\xrightarrow{{}}OH\bot \left( SBC \right)$
Ta có $d\left( A;\left( ABC \right) \right)=3.OH\Rightarrow OH=\frac{\sqrt{6}}{4}:3=\frac{\sqrt{6}}{12}$
Tam giác SMO vuông tại M có $\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{O}^{2}}}+\frac{1}{O{{M}^{2}}}\Rightarrow SO=\frac{\sqrt{3}}{6}$
Vậy \[SO=\frac{\sqrt{3}}{6};SA=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}}=\frac{\sqrt{15}}{6}\xrightarrow{{}}R=\frac{5\sqrt{3}}{12}\]
Diện tích mặt cầu cần tính là $S=4\pi {{R}^{2}}=\frac{25\pi }{12}.$ Chọn A.
Ví dụ 4: Cho ba tia $Sx,Sy,Sz$ không đồng phẳng và $\widehat{xSy}={{120}^{0}};\widehat{ySz}={{60}^{0}};\widehat{zSx}={{90}^{0}}.$ Trên các tia $Sx,Sy,Sz$ lấy lần lượt các điểm $A,B,C$ sao cho $SA=SB=SC=a.$ Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
A. $R=\frac{a}{2}.$ B. $R=a.$ C. $R=a\sqrt{2}.$ D. $R=a\sqrt{3}.$ |
Lời giải
Tam giác SAB có $Ab=\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}-2SA.SB.\cos \widehat{ASB}}=a\sqrt{3}$
Tam giác SAC vuông cân tại $S\xrightarrow{{}}AC=SA\sqrt{2}=a\sqrt{2}$
Suy ra $A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}\xrightarrow{{}}\Delta ABC$ vuông tại C
Gọi O là trung điểm của $AB\xrightarrow{{}}SO\bot \left( ABC \right)$
Tam giác SAO vuông tại $O\Rightarrow SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\frac{a}{2}$
Vậy $SO=\frac{a}{2};SA=a\xrightarrow{{}}R=\frac{S{{A}^{2}}}{2SO}=a.$ Chọn B.
Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc ${{60}^{0}}.$ Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABCD$ là
A. $\frac{4\pi {{a}^{3}}}{3}.$ B. $\frac{2\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}}{9}.$ C. $\frac{8\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}}{9}.$ D. $\frac{8\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}}{27}.$ |
Lời giải
Gọi O là tâm hình vuông $ABCD\xrightarrow{{}}SO\bot \left( ABCD \right)$.
Do đó $\widehat{SB;\left( ABCD \right)}=\widehat{\left( SB;OB \right)}=\widehat{SBO}={{60}^{0}}.$
Tam giác SBO vuông tại O, có \[\left\{ \begin{matrix} SB=\frac{OB}{\cos \widehat{SBO}}\text{ } \\ SO=OB.\tan \widehat{SBO} \\\end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} SB=a\sqrt{2}\text{ } \\ SO=\frac{a\sqrt{6}}{2} \\\end{matrix} \right..\]
Suy ra bán kính mặt cầu cần tính là $R=\frac{S{{B}^{2}}}{2SO}={{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}:\left( 2.\frac{a\sqrt{6}}{3} \right)=\frac{a\sqrt{6}}{3}.$
Vậy diện tích khối cầu cần tính là $V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi .{{\left( \frac{a\sqrt{6}}{3} \right)}^{2}}=\frac{8\pi {{a}^{3}}\sqrt{6}}{27}.$ Chọn D.
Ví dụ 6: Cho hình chóp $S.ABCD$ có $AC=2a,$ mặt bên $\left( SBC \right)$ tạo với mặt đáy $\left( ABCD \right)$ một góc ${{45}^{0}}.$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$bằng
A. \[\frac{\sqrt{2}}{4}a.\] B. \[\frac{a}{2}.\] C. \[\frac{3\sqrt{2}}{4}a.\] D. $\frac{a}{4}.$ |
Lời giải
Gọi M là trung điểm $BC\Rightarrow OM\bot BC\Rightarrow BC\bot \left( SMO \right)$.
Do đó $\widehat{\left( SBC \right);\left( ABCD \right)}=\widehat{\left( SM;MO \right)}=\widehat{SMO}={{45}^{0}}.$
Vì ABCD là hình vuông có $AC=2a\xrightarrow{{}}AB=a\sqrt{2}$
Tam giác SMO vuông cân tại $O\Rightarrow SO=OM=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Tam giác SAO vuông tại $O\Rightarrow SA=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$
Vậy $SA=\frac{a\sqrt{6}}{2};SO=\frac{a\sqrt{2}}{2}\xrightarrow{{}}R=\frac{3\sqrt{2}}{4}a.$ Chọn C.
Ví dụ 7: Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD bằng $\sqrt{3}a.$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$bằng
A. $R=\frac{5\sqrt{6}}{12}a.$ B. $R=\frac{5\sqrt{3}}{3}a.$ C. $R=\frac{5\sqrt{3}}{12}a.$ D. $R=\frac{5\sqrt{6}}{3}a.$ |
Lời giải
Ta có $AD//BC\Rightarrow AD//\left( SBC \right)\Rightarrow d\left( SB;AD \right)=d\left( A;\left( SBC \right) \right)$
Gọi O là tâm hình vuông $ABCD\xrightarrow{{}}SO\bot \left( ABCD \right)$.
Gọi M là trung điểm $BC;$ kẻ $OH\bot SM\left( H\in SM \right)$
$\Rightarrow OH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=2.OH\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Tam giác SMO vuông, có $\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{O}^{2}}}+\frac{1}{O{{M}^{2}}}\Rightarrow SO=a\sqrt{3}$
Vậy $SO=a\sqrt{3};SA=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}}=a\sqrt{5}\xrightarrow[{}]{}R=R=\frac{5\sqrt{6}}{3}a.$
Chọn D.
Ví dụ 8: Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9, tính thể tích V của khối chóp có thể tích lớn nhất
A. $V=144.$ B. $V=576.$ C. $V=576\sqrt{2}.$ D. $V=144\sqrt{6}.$ |
Lời giải
Xét mặt cầu $\left( S \right)$ ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$
Gọi O là tâm hình vuông $ABCD\xrightarrow{{}}SO\bot \left( ABCD \right)$
Bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ là $R=\frac{S{{A}^{2}}}{2h}\Leftrightarrow S{{A}^{2}}=18h\text{ (*)}$
Đặt $AB=x\xrightarrow{{}}{{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SO.{{S}_{ABCD}}=\frac{h.{{x}^{2}}}{3}$
Tam giác SAO vuông tại $O\Rightarrow S{{A}^{2}}=S{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}={{h}^{2}}+\frac{{{x}^{2}}}{2}$
Thay vào (*), ta được ${{h}^{2}}+\frac{{{x}^{2}}}{2}=18h\xrightarrow{{}}{{x}^{2}}=36h-2{{h}^{2}}$
Do đó $V=\frac{h}{3}.\left( 36h-2{{h}^{2}} \right)=12{{h}^{2}}-\frac{2}{3}{{h}^{3}}\xrightarrow{casio}{{V}_{\max }}=576.$ Chọn B.
TOÁN LỚP 12