Bài toán mặt cầu của hình chóp có các cạnh bên bằng nhau - Tự Học 365

Bài toán mặt cầu của hình chóp có các cạnh bên bằng nhau

Bài toán mặt cầu của hình chóp có các cạnh bên bằng nhau

Bài toán mặt cầu của hình chóp có các cạnh bên bằng nhau

Phương pháp giải bài toán mặt cầu của hình chóp

Xét khối chóp S.ABCSA=SB=SC. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC (Hình chóp đều là một trường hợp đặc biệt của dạng toán này).

 Dựng tâm. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì ta có SO(ABC). Trong mặt phẳng (SAO) dựng đường trung trực của SA cắt SO tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.

 Tính bán kính R của mặt cầu.

Gọi E là trung điểm của AB.

Hai tam giác vuông SOA và SEI đồng dạng.

Suy ra SOSE=SASIR=SI=SE.SASO=SA22SO.

Vậy R=SA22SH.

 Tổng quát: Cho khối chóp S.A1A2...AnS.A1=SA2...SAn= và có chiều cao SO=h thì bán kính mặt cầu ngoại tiếp R của khối chóp S.A1A2...An được tính theo công thức: R=22SO=22h.

Bài tập trắc nghiệm của mặt cầu của hình chóp có đáp án chi tiết

Ví dụ 1: Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều S.ABCAB=a,SA=a2 bằng

A. 45πa375.  B. 415πa325. C. 43πa325.              D. 43πa375.

Lời giải

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABCSO(ABC)

Gọi M là trung điểm của BCOA=23AM=23.a32=a33

Tam giác SAO vuông tại OSO=SA2OA2=a153

Vậy SA=a2;SO=a153R=a155V=415πa325.

Chọn B.

Mở rộng với bài toán hình chóp tam giác đều. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, với giả thiết

Cạnh bên SA=b thì R=3.b223b2a2. 

Cạnh bên SA hợp với đáy một góc α thì R=33.sin2αa.

Mặt bên tạo với mặt đáy một góc β thì $R=\frac{\sqrt{3}\left( 4+{{\tan }^{2}}\beta  \right)}{12\tan \beta }a.$

Góc ^SAB=φ thì R=3.a4cosφ.cos3φ.

Góc ^ASB=γ thì R=3.a4sinγ2.sin3γ2.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,AB=a2. Các cạnh bên SA=SB=SC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 450. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng

A. a24.  B. a2. C. a22.              D. a.

Lời giải

Gọi O là trung điểm BCO  là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC

SO(ABC)(^SA;(ABC))=^(SA;OA)=^SAO=450

Tam giác ABC vuông cân tại ABC=AB2=2a

Tam giác SAO vuông cân tại OSO=OA=BC2=a

Vậy SO=a;SA=OA2=a2R=a.

Chọn D.

Ví dụ 3: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 1, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng 64. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng

A. 25π12.  B. 25π24. C. 5π12. D. 5π24.

Lời giải

Gọi O là tâm tam giác ABC,M là trung điểm BC

SO(ABC);OA=23AM=23.32=33;OM=12OA=36

Kẻ OHSM(HSM)OH(SBC)

Ta có d(A;(ABC))=3.OHOH=64:3=612

Tam giác SMO vuông tại M có 1OH2=1SO2+1OM2SO=36

Vậy SO=36;SA=SO2+OA2=156R=5312

Diện tích mặt cầu cần tính là S=4πR2=25π12. Chọn A.

Ví dụ 4: Cho ba tia Sx,Sy,Sz không đồng phẳng và ^xSy=1200;^ySz=600;^zSx=900. Trên các tia Sx,Sy,Sz lấy lần lượt các điểm A,B,C sao cho SA=SB=SC=a. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

A. R=a2.  B. R=a.  C. R=a2.  D. R=a3.

Lời giải

Tam giác SAB có Ab=SA2+SB22SA.SB.cos^ASB=a3

Tam giác SAC vuông cân tại SAC=SA2=a2

Suy ra AC2+BC2=AB2ΔABC vuông tại C

Gọi O là trung điểm của ABSO(ABC)

Tam giác SAO vuông tại OSO=SA2OA2=a2

Vậy SO=a2;SA=aR=SA22SO=a. Chọn B.

Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 600. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD

A. 4πa33.  B. 2πa369. C. 8πa369.              D. 8πa3627.

Lời giải

Gọi O là tâm hình vuông ABCDSO(ABCD).

Do đó ^SB;(ABCD)=^(SB;OB)=^SBO=600.

Tam giác SBO vuông tại O, có {SB=OBcos^SBO SO=OB.tan^SBO{SB=a2 SO=a62.

Suy ra bán kính mặt cầu cần tính là R=SB22SO=(a2)2:(2.a63)=a63.

Vậy diện tích khối cầu cần tính là V=43πR3=43π.(a63)2=8πa3627. Chọn D.

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCDAC=2a, mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 450. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCDbằng

A. 24a.  B. a2. C. 324a.              D. a4.

Lời giải

Gọi M là trung điểm BCOMBCBC(SMO).

Do đó ^(SBC);(ABCD)=^(SM;MO)=^SMO=450.

Vì ABCD là hình vuông có AC=2aAB=a2

Tam giác SMO vuông cân tại OSO=OM=a22

Tam giác SAO vuông tại OSA=SO2+OA2=a62

Vậy SA=a62;SO=a22R=324a. Chọn C.

Ví dụ 7: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD bằng 3a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCDbằng

A. R=5612a.  B. R=533a. C. R=5312a.              D. R=563a.

Lời giải

Ta có AD//BCAD//(SBC)d(SB;AD)=d(A;(SBC))

Gọi O là tâm hình vuông ABCDSO(ABCD).

Gọi M là trung điểm BC; kẻ OHSM(HSM)

OH(SBC)d(A;(SBC))=2.OHOH=a32

Tam giác SMO vuông, có 1OH2=1SO2+1OM2SO=a3

Vậy SO=a3;SA=SO2+OA2=a5R=R=563a.

Chọn D.

Ví dụ 8: Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9, tính thể tích V của khối chóp có thể tích lớn nhất

A. V=144.  B. V=576. C. V=5762. D. V=1446.

Lời giải

Xét mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Gọi O là tâm hình vuông ABCDSO(ABCD)

Bán kính mặt cầu (S)R=SA22hSA2=18h (*)

Đặt AB=xVS.ABCD=13.SO.SABCD=h.x23

Tam giác SAO vuông tại OSA2=SO2+OA2=h2+x22

Thay vào (*), ta được h2+x22=18hx2=36h2h2

Do đó V=h3.(36h2h2)=12h223h3casioVmax=576. Chọn B.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12