Bài toán liên quan đến quãng đường, vận tốc, gia tốc và thời gian - Ứng dụng tích phân

Bài toán liên quan đến quãng đường, vận tốc, gia tốc và thời gian - Ứng dụng tích phân

Với bài toán chuyển động giả sử vận tốc tức thời của vật là $v\left( t \right)$ thì $v\left( t \right)=s'\left( t \right)$

Gia tốc tức thời của vật: $a\left( t \right)=v'\left( t \right)=s''\left( t \right)$

Do đó quãng đường vật đi được từ thời điểm ${{t}_{1}}$ đến ${{t}_{2}}$ là $S=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{v\left( t \right)dt.}$

Vận tốc tức thời của vật: $v\left( t \right)=\int{a\left( t \right)dt}$

Lời giải:

Khi vật dừng hẳn thì $v=0\Rightarrow -4t+20=0\Leftrightarrow t=5\left( s \right).$

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian trên là: $S\left( t \right)=\int\limits_{0}^{5}{v\left( t \right)dt=\int\limits_{0}^{5}{\left( -4t+20 \right)dt=50}}$m.

Chọn A.

Lời giải:

Ta có: ${{v}_{02}}=24\,\,\left( m/s \right)$ do đó khi gặp chướng ngại vật vật có vận tốc là $24\,\,m/s$

Khi đó ${{v}_{1}}\left( t \right)=2t+12=24\Leftrightarrow t=6\,\,\left( s \right)$

Vật dừng lại khi ${{v}_{2}}\left( t \right)=24-6t=0\Leftrightarrow {{t}_{2}}=4\,\,\left( s \right)$

Quãng đường vật đi được là: $s=\int\limits_{0}^{6}{{{v}_{1}}\left( t \right)dt}+\int\limits_{0}^{4}{{{v}_{2}}\left( t \right)dt=\int\limits_{0}^{6}{\left( 2t+12 \right)dt}+\int\limits_{0}^{4}{\left( 24-6t \right)dt}}=156\text{ }m.$

Chọn B.

Lời giải:

Ta có: $v\left( t \right)=\int{a\left( t \right)dt=\int{\left( {{t}^{2}}+3t \right)dt=\frac{{{t}^{3}}}{3}}+\frac{3{{t}^{2}}}{2}}+C$

Khi đó ${{v}_{0}}=v\left( 0 \right)=C=16\Rightarrow v\left( t \right)=\frac{{{t}^{3}}}{3}+\frac{3{{t}^{2}}}{2}+16$

Khi đó quãng đường đi được bằng: $s\left( t \right)=\int\limits_{0}^{4}{v\left( t \right)dt=\int\limits_{0}^{4}{\left( \frac{{{t}^{3}}}{3}+\frac{3{{t}^{2}}}{2}+16 \right)dt}}$

$\left. \left( \frac{{{t}^{4}}}{12}+\frac{{{t}^{3}}}{2}+16t \right) \right|_{0}^{4}=\frac{352}{3}\,\,\left( m \right).$ Chọn B.

Lời giải:

Quãng đường xe đi được trong 12 s đầu là: ${{s}_{1}}=\int\limits_{0}^{12}{2tdt=144\text{ }m.}$

Sau khi đi được 12 s vật đạt vận tốc $v=24\,\,m/s,$ sau đó vận tốc của vật có phương trình $v=24-12t$

Vật dừng hẳn sau $2\text{ }s$ kể từ khi phanh.

Quãng đường vật đi được từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là: ${{s}_{2}}=\int\limits_{0}^{2}{\left( 24-12t \right)dt=24\text{ }m.}$

Vậy tổng quãng đường ô tô đi được là $s={{s}_{1}}+{{s}_{2}}=144+24=168\text{ }m.$ Chọn A.

Lời giải:

Vận tốc của vật được tính theo công thức $v\left( t \right)=10+{{t}^{2}}-7t\,\,\left( m/s \right).$

Suy ra quãng đường vật đi được tính theo công thức $S\left( t \right)=\int{v\left( t \right)dt=\frac{{{t}^{3}}}{3}-\frac{7}{2}{{t}^{2}}+10t\,\,\left( m \right).}$

Ta có ${S}'\left( t \right)={{t}^{2}}-7t+10\Rightarrow {S}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-7t+10=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t=2 \\  & t=5 \\ \end{align} \right..$

Suy ra $\left\{ \begin{align}  & S\left( 0 \right)=0 \\  & S\left( 2 \right)=\frac{26}{6} \\  & S\left( 5 \right)=\frac{25}{6} \\  & S\left( 6 \right)=6 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \underset{\left[ 0;6 \right]}{\mathop{Max}}\,S\left( t \right)=S\left( 2 \right)=\frac{26}{3}.$ Chọn D.

Lời giải:

Khi bắt đầu tiếp đất vật chuyển động được quãng đường là $s=162\,\,m$

Ta có: $S=\int\limits_{0}^{{{t}_{0}}}{\left( 10t-{{t}^{2}} \right)dt=\left. \left( 5t-\frac{{{t}^{3}}}{3} \right) \right|_{0}^{{{t}_{0}}}=5t_{0}^{2}-\frac{t_{0}^{3}}{3}}$ (trong đó ${{t}_{0}}$ là thời điểm vật tiếp đất)

Cho $5t_{0}^{2}-\frac{t_{0}^{3}}{3}=162\Rightarrow {{t}_{0}}=9$ (Do $v\left( t \right)=10t-{{t}^{2}}\Rightarrow 0\le t\le 10)$

Khi đó vận tốc của vật là: $v\left( 9 \right)=10.9-{{9}^{2}}=9\text{ }\left( m/p \right).$ Chọn B.

Lời giải:

Quãng đường chất điểm A đi được cho đến khi hai chất điểm gặp nhau là:

$S=\int\limits_{0}^{25}{\left( \frac{1}{100}{{t}^{2}}+\frac{13}{30}t \right)dt=\frac{375}{2}\,\,m.}$

Vận tốc của chất điểm B tại thời điểm $t\left( s \right)$ tính từ lúc B xuất phát là: ${{v}_{B}}\left( t \right)=at.$

Quãng đường chất điểm B đi được cho đến khi 2 chất điểm gặp nhau là:

\[S=\int\limits_{0}^{10}{atdt}=\left. \frac{a{{t}^{2}}}{2} \right|_{0}^{10}=\frac{225}{2}a\left( m \right).\] Suy ra $\frac{225}{2}a=\frac{375}{2}\Leftrightarrow a=\frac{5}{3}$

Vậy vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là: ${{v}_{B}}\left( 15 \right)=15a=25\,\,\left( m/s \right).$ Chọn A.

Lời giải:

Quãng đường chất điểm A đi được cho đến khi hai chất điểm gặp nhau là:

$S=\int\limits_{0}^{15}{\left( \frac{1}{180}{{t}^{2}}+\frac{11}{8}t \right)dt=75\,\,m.}$

Vận tốc của chất điểm B tại thời điểm $t\left( s \right)$ tính từ lúc B xuất phát là: ${{v}_{B}}\left( t \right)=at.$

Quãng đường chất điểm B đi được cho đến khi 2 chất điểm gặp nhau là:

\[S=\int\limits_{0}^{10}{atdt}=\left. \frac{a{{t}^{2}}}{2} \right|_{0}^{10}=50a\,\,\left( m \right).\] Suy ra $50a=75\Leftrightarrow a=1,5$

Vậy vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là: ${{v}_{B}}\left( 10 \right)=10a=15\,\,\left( m/s \right).$ Chọn B.

Lời giải:

Dựa vào đồ thị ta tính được phương trình vận tốc của vật

Từ 0 đến 3 giây: ${{v}_{1}}\left( t \right)=-\frac{9}{4}{{t}^{2}}+9t\,\,\left( km/h \right).$

Từ 3 giây trở đi: ${{v}_{2}}\left( t \right)=\frac{27}{4}\,\,\left( km/h \right).$

Suy ra quãng đường vật đi được trong 4 giây sẽ bằng $s=\int\limits_{0}^{3}{\left( -\frac{9}{4}{{t}^{2}}+9t \right)dt}+\int\limits_{3}^{4}{\frac{27}{4}dt=27\,\,\left( km \right).}$

Chọn A. 

Lời giải:

Dựa vào đồ thị ta tính được PT vận tốc là $v\left( t \right)=a{{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+8$

Do parabol $\left( P \right)$ qua điểm $\left( 1;0 \right)\Rightarrow a=-32\Rightarrow v\left( t \right)=-32{{t}^{2}}+32t\,\,\left( km/h \right).$

Suy ra quãng đường đi được trong 45 phút bằng $0,75\,\,\left( h \right)$ là $S=\int\limits_{0}^{0,75}{\left( -32{{t}^{2}}+32t \right)dt=4,5\,\,\left( km \right).}$

Chọn C.