Bài toán cực trị liên quan đến góc trong không gian oxyz

Bài toán cực trị liên quan đến góc trong không gian oxyz

Phương pháp đại số

• Gọi véc tơ pháp tuyến hoặc véc tơ chỉ phương của mặt phẳng (hoặc đường thẳng) cần lập là $\left( a;b;c \right)$ trong đó ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0$.
• Thiết lập một phương trình quy ẩn (a theo b,c hoặc ngược lại) từ một dữ kiện về mặt phẳng chứa đường, song song hoặc vuông góc. Giả sử phương trình thu gọn ẩn là $a=f\left( b;c \right).$
• Thiết lập phương trình về góc, thay $a=f\left( b;c \right).$ vào ta được một phương trình hai ẩn b,c.

 Chú ý:

• Góc giữa hai đường thẳng $\cos \left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}$
• Góc giữa hai mặt phẳng $\cos \left( {{\left( P \right)}_{1}};\left( {{P}_{2}} \right) \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}$
• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng $sin\left( d;\left( P \right) \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{P}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right) \right|=\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}}.\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}$
• Ta biết rằng hàm $\sin \varphi$đồng biến khi $0<\varphi <90{}^\circ$, ngược lại hàm $\cos \varphi$ nghịch biến .

Vậy khi hàm xét max, min là hàm sin thì góc lớn ứng với hàm max,, góc nhỏ ứng với hàm nhỏ. Còn khi hàm xét max, min là hàm cosin thì ngược lại, đề bài yêu cầu tìm góc lớn thì hàm phải đạt min, góc nhỏ thì hàm đạt max.

Phương pháp hình học

Bài toán 1: Lập phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $\Delta$ sao cho mặt phẳng $\left( Q \right)$ tạo với mặt phẳng $\left( P \right)$cho trước một góc nhỏ nhất (hoặc tạo với đường thẳng d cho trước một góc lớn nhất)

Phương pháp giải:

- TH1: ${{\left( \widehat{\left( P \right);\left( Q \right)} \right)}_{\min }}$

Gọi $A=\Delta \cap \left( P \right);d=\left( P \right)\cap \left( Q \right)$với $\left( Q \right)$là  mặt phẳng $\left( IAK \right)$ trong hình vẽ.

Lấy $I\in \Delta \Rightarrow A;I$cố định, dựng $IH\bot d\Rightarrow \left( \widehat{\left( P \right);\left( Q \right)} \right)=\widehat{IKH}=\varphi .$

Do $IA\ge IK\Rightarrow \sin \varphi =\frac{IH}{IK}\ge \frac{IH}{IA}\Rightarrow {{\varphi }_{\min }}$khi $K\equiv A$tức là $\Delta \bot d\Leftrightarrow \Delta \bot \left( P \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]$

Mặt khác $\left\{ \begin{array}  {} IA\bot d \\  {} d\subset \left( P \right) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \Delta \bot d \\  {} d\subset \left( P \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right]$

Suy ra $\left( \widehat{\left( P \right);\left( Q \right)} \right)$nhỏ nhất $\Leftrightarrow \Delta \bot$giao tuyến d của $\left( P \right)$và $\left( Q \right)$$\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right] \right]$

-TH2: ${{\left( \widehat{\left( Q \right);d} \right)}_{\max }}\Leftrightarrow$$\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right]$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;2;-1 \right)$và $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( 1;2;2 \right)$. Đường thẳng d đi qua $M\left( 1;-2;0 \right).$

${{\left( \widehat{\left( P \right);\left( Q \right)} \right)}_{\min }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right] \right]=\left( -3;-6;-15 \right)=-3\left( 1;2;5 \right)$

Mặt phẳng $\left( P \right)$đi qua điểm M và có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1;2;5 \right)$có phương trình là:

$\left( P \right):x+2y+5z+3=0$.

b) Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}=\left( 2;-1;2 \right).$

Để ${{\left( \widehat{\left( P \right);{d}'} \right)}_{\max }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}} \right] \right]=\left( -14;2;-10 \right)=-2\left( 7;-1;5 \right)$

Mặt phẳng $\left( P \right)$đi qua điểm M và có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 7;-1;5 \right)$

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right):7x-y+5z-9=0$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 2;-1;-2 \right);\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\left( -1;2;1 \right)$ và đường thẳng $\Delta$ đi qua $A\left( 0;-1;2 \right).$

$\left( \widehat{\left( P \right);\left( Q \right)} \right)$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right] \right]$

Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right]=-3\left( 1;0;1 \right)$suy ra $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right]=-2\left( 1;1;-1 \right)$

Khi đó $\left( Q \right)$đi qua $A\left( 0;-1;2 \right)$và $\overrightarrow{n}=\left( 1;1;-1 \right)$ $\left( Q \right):x+y-z+3=0\Rightarrow d\left( O;\left( Q \right) \right)=\sqrt{3}.$ Chọn A.

Bài tập 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$cho mặt phẳng $(P):2x-2y-z+1=0$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{-2}$ . Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa $\Delta$và tạo với $\left( P \right)$ một góc nhỏ nhất. Tính cosin góc $\varphi$giữa 2 mặt phẳng $\left( P \right)$và $\left( Q \right)$khi đó:

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;-1;-2 \right);\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}\left( 2;-2;-1 \right)$ và đường thẳng $\Delta$ đi qua $M\left( 1;0;0 \right).$

Để ${{\left( \widehat{\left( P \right);\left( Q \right)} \right)}_{\min }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right] \right]=\left( -6;6;-6 \right)=-6\left( 1;-1;1 \right).$

Suy ra $cos\varphi =\frac{\left| 2.1+2-1 \right|}{\sqrt{4+4+1}.\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Chọn B.

Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$cho mặt phẳng $(P):x+2y-z+3=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{1}$ . Mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng $\left( P \right)$ một góc nhỏ nhất. Khoảng cách từ O đến $\left( Q \right)$bằng:

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;1;1 \right);\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}\left( 1;2;-1 \right)$ và đường thẳng $\Delta$ đi qua $M\left( -1;-1;3 \right).$

${{\left( \widehat{\left( P \right);\left( Q \right)} \right)}_{\min }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right] \right]=\left( 0;-9;9 \right)=-9\left( 0;1;-1 \right).$

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$cần tìm đi qua điểm $M\left( -1;-1;3 \right).$và có véc tơ pháp tuyến ${{\overrightarrow{n}}_{\left( Q \right)}}=\left( 0;1;-1 \right)$

Suy ra $\left( P \right):y-z+4=0\Rightarrow d\left( O;Q \right)=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.$ Chọn D.

Bài tập 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{-1}=\frac{z+2}{1}=\frac{z}{2}$ . Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa d và tạo với trục Oy một góc lớn nhất. Mặt phẳng $\left( P \right)$đi qua điểm nào trong các điểm sau:

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( -1;1;2 \right);\overrightarrow{{{u}_{Oy}}}\left( 0;1;0 \right)$ và đường thẳng d đi qua $M\left( 1;-2;0 \right).$

Để ${{\left( \widehat{\left( P \right);Oy} \right)}_{\max }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{u}_{Oy}}} \right] \right]=\left( -1;-5;2 \right)=-1\left( 1;5;-2 \right).$

Mặt phẳng $\left( P \right)$đi qua điểm M và có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1;5;-2 \right)$

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right):x+5y-2z+9=0$.

Do đó $\left( P \right)$đi qua điểm $A\left( 6;-3;0 \right).$ Chọn A.

Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 1;2;-1 \right);B\left( -1;1;2 \right)$. Gọi $\left( Q \right)$ là phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm A, B sao cho $\left( Q \right)$tạo với mặt phẳng$\left( Oxy \right)$ một góc nhỏ nhất. Khoảng cách từ gốc O đến mặt phẳng $\left( Q \right)$bằng:

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( -2;-1;3 \right);\overrightarrow{{{n}_{\left( Oxy \right)}}}\left( 0;0;1 \right).$

Để ${{\left( \widehat{\left( P \right);Oxy} \right)}_{\min }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{Q}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{{{n}_{\left( Oxy \right)}}} \right] \right]=\left( -6;-3;-5 \right)=-\left( 6;3;5 \right).$

Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$là:  $6x+3y+5z-7=0\Rightarrow d\left( O;\left( Q \right) \right)=\frac{7}{\sqrt{{{6}^{2}}+{{3}^{2}}+{{5}^{2}}}}=\frac{\sqrt{70}}{10}.$Chọn B.

Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng ${d}'$ qua A nằm trong$\left( P \right)$sao cho góc giữa 2 đường thẳng d và ${d}'$nhỏ nhất (hoặc tạo với mặt phẳng $\left( Q \right)$ cho trước một góc lớn nhất)

Phương pháp giải:

- TH1: ${{\left( \widehat{d;{d}'} \right)}_{\min }}$

Qua A dựng đường thẳng $\Delta \parallel d$ , trên  $\Delta$lấy điểm I, hạ $IH\bot \left( P \right)\Rightarrow A,I,H$ cố định, điểm K thay đổi

$\left( \widehat{d;{d}'} \right)=\left( \widehat{\Delta ;{d}'} \right)=\widehat{IAK}=\alpha$

Mà $sin\alpha =\frac{IK}{IA}\ge \frac{IH}{IA}$ (Do $IK\ge IH$) suy ra ${{\alpha }_{\operatorname{mi}}}_{n}\Leftrightarrow H\equiv K$hay ${d}'$qua A và H.

Khi đó ${d}'$là hình chiếu vuông góc của $\Delta$ trên $\left( P \right)$.

Ta có: ${{\left( \widehat{d;{d}'} \right)}_{\min }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{n}_{AIH}}} \right]=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right].$

- TH2: ${{\left( \widehat{d;\left( Q \right)} \right)}_{\max }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{n}_{Q}}} \right] \right].$

Lời giải chi tiết:

Gọi $\left( \alpha  \right)$là mặt phẳng chứa A và song song với $\left( P \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha  \right)}}}=\left( 2;-1;-1 \right).$

Khi đó d nằm trong $\left( \alpha  \right)$ sao cho góc giữa d và $\Delta$ nhỏ nhất.

Ta có: ${{\left( \widehat{d;\Delta } \right)}_{\min }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha  \right)}}};\left[ \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha  \right)}}} \right] \right]=-2\left( 1;-5;7 \right)$

Phương trình đường thẳng d là: $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{-5}=\frac{z-2}{7}.$

Lời giải chi tiết:

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa A và d.

Đường thẳng d đi qua điểm $A\left( 1;2;-2 \right)$và có VTCP là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;1;-1 \right).$

Khi đó $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=-\left( 1;0;2 \right)$. Đường thẳng $\Delta \subset \left( P \right)$.

Ta có: ${{\left( \widehat{\Delta ;{d}'} \right)}_{\min }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}} \right] \right]=\left( 8;-10;-4 \right)=2\left( 4;-5;-2 \right).$

Phương trình đường thẳng là: $d:\frac{x+1}{4}=\frac{y}{-5}=\frac{z+1}{-2}.$

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d nằm trong  mặt phẳng $\left( Q \right)$  chứa A và $\Delta$ .

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M\left( 1;-1;2 \right)$và có VTCP là $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 3;2;-2 \right),\overrightarrow{AM}\left( 0;-1;4 \right)$

Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right]=-\left( -6;12;3 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( -2;4;1 \right)$.

Để ${{\left( \widehat{d;\left( P \right)} \right)}_{\max }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}};\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}};\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right] \right]=\left( -30;-3;-48 \right)=-3\left( 10;1;16 \right).$

Khi đó phương trình đường thẳng  $d:\frac{x-1}{10}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{16}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 2;1;-1 \right);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;-1;2 \right).$

Để ${{\left( \widehat{d;\Delta } \right)}_{\min }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right]=\left( -10;7;-13 \right)=-2\left( \frac{5}{2};-\frac{7}{2};\frac{13}{2} \right).$

Do đó: $b=-\frac{7}{2};c=\frac{13}{2}\Rightarrow b+c=3.$Chọn D.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;-1;1 \right);\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;2;2 \right).$

Để ${{\left( \widehat{d;\Delta } \right)}_{\min }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}} \right] \right]=\left( -2;-7;-5 \right)=-\left( 2;7;5 \right).$

Phương trình đường thẳng d là: $d:\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{7}=\frac{z-1}{5}.$

Khi đó $cos\alpha =\left| \cos \left( \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right) \right|=\frac{\left| 2+14+10 \right|}{3.\sqrt{{{2}^{2}}+{{7}^{2}}+{{5}^{2}}}}=\frac{\sqrt{78}}{9}.\Rightarrow sin\alpha =\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }=\frac{\sqrt{3}}{9}.$Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Gọi $Q\equiv \left( Oyz \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( 1;0;0 \right);\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;-2;2 \right).$

Ta có $\varphi ={{\left( \widehat{d;\left( Q \right)} \right)}_{\max }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right] \right]=\left( -8;-2;2 \right)=-2\left( 4;1;-1 \right).$

Suy ra $\sin \varphi =\left| \cos \left( \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right) \right|=\frac{4}{\sqrt{18}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 2;-1;1 \right);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;-1;1 \right).$

Do đó ${{\left( \widehat{d;{d}'} \right)}_{\min }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right]=\left( 2;2;-2 \right)=2\left( 1;1;-1 \right)\Rightarrow {d}':\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z}{-1}.$ 

Vậy ${d}'$ đi qua hai điểm $\left( 1;2;1 \right).$ Chọn D.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;-1;1 \right);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( -1;2;2 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( 4;3;-1 \right)$

Ta có: ${{\left( \widehat{d;{d}'} \right)}_{\min }}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{{{d}'}}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right]=-\left( 2;-5;-7 \right)\Rightarrow {d}':\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z-1}{-7}.$

Vậy ${d}'$ cắt mặt phẳng $x=0$ tại điểm $E\left( 0;6;8 \right)\Rightarrow OE=10.$ Chọn C...