Cho đường thẳng d có phương trình chính tắc $\frac{x-{{x}_{o}}}{a}=\frac{y-{{y}_{o}}}{b}=\frac{z-{{z}_{o}}}{c},$ phương trình tham số
$\left\{ \begin{array} {} x={{x}_{o}}+at \\ {} y={{y}_{o}}+bt \\ {} z={{z}_{o}}+ct \\ \end{array} \right.({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0)$ với $M({{x}_{o}};{{y}_{o}};{{z}_{o}})\in d$ và mặt phẳng (P) có phương trình
Ax+By+Cz+D=0 (A2+B2+C2>0).
Khi $\overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{P}}}=0$ thì d//(P) hoặc d nằm trên (P) ta có:
$\left\{ \begin{array} {} x={{x}_{o}}+at \\ {} y={{y}_{o}}+bt \\ {} z={{z}_{o}}+ct \\ {} Ax+By+Cz+D=0 \\ \end{array} \right.$
Giải hệ phương trình trên ta được $t=-\frac{A{{x}_{o}}+B{{y}_{o}}+C{{z}_{o}}+D}{a.A+b.B+c.C}$
Chú ý:
- Nếu $d//(P)$ hoặc $d\subset (P)$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{u}_{(P)}}}$
- Nếu $d\bot (P)$ thì vecto chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{d}}}$ của d là vecto pháp tuyến của (P). Ngược lại, vecto pháp tuyến của (P) là vecto chỉ phương của d.
Bài tập 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a) $d:\frac{x-8}{4}=\frac{y-6}{3}=\frac{z}{1}$ và $(P):3x+5y-z-2=0$ b) $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{4}=\frac{z}{3}$ và $(P):3x-3y+2z-5=0$ |
Lời giải chi tiết
a) Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(4;3;1);\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(3;5;-1)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=26\ne 0$ nên d cắt (P)
b) Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(2;4;3);\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(3;-3;2)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=0\Rightarrow d$ song song hoặc nằm trên mặt phẳng (P)
Xét điểm $M(-1;3;0)\in d$ và $3.(-1)-3.3+2.0-5=-17\ne 0\Rightarrow M\notin (P)$
Bài tập 2: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a) $d:\frac{x-9}{8}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-3}{3}$ và $(P):x+2y-4z+1=0$ b) $d:\frac{x-7}{5}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-5}{4}$ và $(P):3x-y+2z-5=0$ |
Lời giải chi tiết
a) Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(8;2;3);\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(1;2;-4)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=0$ nên song song hoặc nằm trên mặt phẳng (P)
Xét điểm $M(9;1;3)\in d$ và $M(9;1;3)\in (P)\Rightarrow d\subset (P)$
b) Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(5;1;4);\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(3;-1;2)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=22\ne 0$ nên d cắt (P).
Bài tập 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-2}$ và mặt phẳng $(P):2x-y+15=0.$ Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. $d//(P).$ B. $d\cap (P)=\left\{ I(1;-1;0 \right\}.$ C. $d\bot (P).$ D. $d\subset (P).$ |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn A
Vecto chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(1;2;-2),$ VTPT của (P) là $\overrightarrow{n}=(2;-1;0)$
Ta có: $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=0\Rightarrow d//(P)$ hoặc $d\subset (P).$ Mà $A(1;-1;0)\in d$ nhưng $A\notin (P)\Rightarrow d//(P).$
Bài tập 4: Cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-10}{5}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+2}{1}.$ Tìm tất cả các giá trị của tham số m để cho mặt phẳng $(P):10x+2y+mz+11=0$ vuông góc với đường thẳng $\Delta $.
A. $m=-2.$ B. $m=2.$ C. $m=-52.$ D. $m=52.$ |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn B
Để $\Delta \bot (P)\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}//\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=k.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\Leftrightarrow \frac{10}{5}=\frac{2}{1}=\frac{m}{1}\Leftrightarrow m=2$.
Bài tập 5: Cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y}{-3}=\frac{z-5}{-1}$ và mặt phẳng $(P):3x-3y+2z+6=0$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. d cắt và không vuông góc với (P). B. d vuông góc với (P). C. d song song với (P). D. d nằm trong (P). |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn A
Ta có $\overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=3+9-2\ne 0$ mà $\overrightarrow{{{u}_{d}}}\ne k.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\Rightarrow d$ cắt và không vuông góc với (P).
Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P):2x-3y+z-1=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}.$ Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. d cắt và không vuông góc với (P). B. d song song với (P). C. d vuông góc với (P). D. d nằm trên (P). |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn D
Ta có $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=(2;-3;1);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=(2;1;-1)$
Để ý rằng $\overrightarrow{{{n}_{P}}}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=4-3-1=0\Rightarrow \left[ \begin{array} {} d//(P) \\ {} d\subset (P) \\ \end{array} \right.$
Hơn nữa d qua $A(1;0;-1)$ mà $A\in (P)\Rightarrow d\subset (P).$
Bài tập 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng $d:\frac{x}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z-m}{-1}$ song song với mặt phẳng $(P):4x+4y+{{m}^{2}}z-8=0$
A. $m=\pm 2.$ B. $m=2.$ C. $m=-2.$ D. Không tồn tại m. |
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn C
Do $d//(P)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{P}}}=8-4-{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=2 \\ {} m=-2 \\ \end{array} \right.$
Xét điểm $A(0;0;m)\in d.$ Cho $A\in (P)\Rightarrow {{m}^{3}}=8\Leftrightarrow m=2$ do đó $m=2$ thì d nằm trong (P). Vậy $m=-2$ thì $d//(P).$
TOÁN LỚP 12