Bài tập viết phương trình tiếp tuyến của hàm số hợp có đáp án chi tiết

Bài tập viết phương trình tiếp tuyến của hàm số hợp có đáp án

Dưới dây là câu trắc nghiệm về hàm số hợp và tiếp tuyến có Lời giải chi tiết:

Lời giải chi tiết

Ta có: $\left( C \right)\cap Oy$ tại điểm có hoành độ $x=0$.

Đặt $\left\{ \begin{array}  {} f\left( 0 \right)=a \\  {} {f}'\left( 0 \right)=b \\ \end{array} \right.$, thay $x=1$ vào giả thiết ta có: ${{f}^{3}}\left( 0 \right)+f\left( 0 \right)=2\Leftrightarrow {{a}^{3}}+a=2\Leftrightarrow a=1$

Đạo hàm 2 vế biểu thức ${{f}^{3}}\left( 1-x \right)+f\left( 1-{{x}^{2}} \right)=x+1$ ta được: $-3{{f}^{2}}\left( 1-x \right){f}'\left( 1-x \right)-2\text{x}.{f}'\left( 1-{{x}^{2}} \right)=1\left( * \right)$

Thay $x=1$ vào biểu thức (*) ta có: $-3{{\text{a}}^{2}}b-2b=1\xrightarrow{a=1}-3b-2b=1\Leftrightarrow b=-\frac{1}{5}$

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: $y=-\frac{1}{5}x+1$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Đặt $\left\{ \begin{array}  {} f\left( 1 \right)=a \\  {} {f}'\left( 1 \right)=b \\ \end{array} \right.$, thay $x=1$ vào giả thiết ta có: ${{a}^{3}}+1=3+3\text{a}\Leftrightarrow {{a}^{3}}-3\text{a}-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} a=-1 \\  {} a=2 \\ \end{array} \right.$

Đạo hàm 2 vế biểu thức ${{f}^{3}}\left( 2-x \right)+x=3+3\text{x}.f\left( x \right)$ ta được:

$-3{{f}^{2}}\left( 2-x \right){f}'\left( 2-x \right)+1=3f\left( x \right)+3\text{x}.{f}'\left( x \right)\left( * \right)$

Thay $x=1$ vào biểu thức (*) ta có: $-3{{\text{a}}^{2}}b+1=3\text{a}+3b$

TH1: Với $a=-1\Rightarrow -3b+1=-3+3b\Leftrightarrow b=\frac{2}{3}$

Phương trình tiếp tuyến là: $y=\frac{2}{3}\left( x-1 \right)-1=\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}$.

TH2: Với $a=2\Rightarrow -12b+1=6+3b\Leftrightarrow b=-\frac{1}{3}$

Phương trình tiếp tuyến là: $y=-\frac{1}{3}\left( x-1 \right)+2=\frac{-1}{3}x+\frac{7}{3}$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Thay $x=0;x=1$ vào đề bài ta có: $\left\{ \begin{array}  {} 2f\left( 2 \right)+f\left( 1 \right)=0 \\  {} 2f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)=3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} f\left( 2 \right)=-1 \\  {} f\left( 1 \right)=2 \\ \end{array} \right.$

Đạo hàm 2 vế biểu thức: $2f\left( 2-x \right)+f\left( x+1 \right)={{x}^{2}}+2\text{x}$ ta được: $-2{f}'\left( 2-x \right)+{f}'\left( x+1 \right)=2\text{x}+2\left( * \right)$

Thay $x=0;x=1$ vào (*) ta được: $\left\{ \begin{array}  {} -2{f}'\left( 2 \right)+{f}'\left( 1 \right)=2 \\  {} -2{f}'\left( 1 \right)+{f}'\left( 2 \right)=4 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {f}'\left( 2 \right)=-\frac{8}{3} \\  {} {f}'\left( 1 \right)=\frac{-10}{3} \\ \end{array} \right.$

Suy ra phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=2$ có phương trình là:

$y=-\frac{8}{3}\left( x-2 \right)-1=\frac{-8}{3}x+\frac{13}{3}$

Do đó tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm có hoành độ $x-2$ đi qua điểm $\left( 1;\frac{5}{3} \right)$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Thay $x=-2;x=2$ vào đề bài ta có: $\left\{ \begin{array}  {} 2f\left( 3 \right)+f\left( -1 \right)=27 \\  {} 2f\left( -1 \right)+f\left( 3 \right)=27 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} f\left( 3 \right)=9 \\  {} f\left( -1 \right)=9 \\ \end{array} \right.$

Đạo hàm 2 vế biểu thức: $2f\left( 1-x \right)+f\left( 1+x \right)=3\left( 2{{\text{x}}^{2}}+1 \right)$ ta được: $-2f\left( 1-x \right)+f\left( 1+x \right)=12\text{x}\left( * \right)$

Thay $x=-2;x=2$ vào (*) ta được: $\left\{ \begin{array}  {} -2{f}'\left( 3 \right)+{f}'\left( -1 \right)=-24 \\  {} -2{f}'\left( -1 \right)+{f}'\left( 3 \right)=24 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {f}'\left( 3 \right)=8 \\  {} {f}'\left( -1 \right)=-8 \\ \end{array} \right.$

Suy ra phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x=3$có phương trình là: $y=8\left( x-3 \right)+9=8\text{x}-15$

Khi đó ${{S}_{OAB}}=\frac{1}{2}.15.\frac{15}{8}=14,0625$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có $y=3\text{x}+2\Leftrightarrow y=f\left( 1 \right)={f}'\left( 1 \right).\left( x-1 \right)\Leftrightarrow y={f}'\left( 1 \right)x-{f}'\left( 1 \right)+f\left( 1 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} {f}'\left( 1 \right)=3 \\  {} f\left( 1 \right)=5 \\ \end{array} \right.$

Tiếp tuyến của $\left( {{C}_{2}} \right)$ tại N là $y-f\left[ f\left( 1 \right) \right]={f}'\left( 1 \right).{f}'\left[ f\left( 1 \right) \right].\left( x-1 \right)\Leftrightarrow y-f\left( 5 \right)=3{f}'\left( 5 \right).\left( x-1 \right)$

$\Leftrightarrow y=3{f}'\left( x \right).x+f\left( 5 \right)-3.{f}'\left( 5 \right)$ mà $y=12\text{x}-5\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{array}  {} 3{f}'\left( x \right)=12 \\  {} f\left( 5 \right)-3.{f}'\left( 5 \right)=-5 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {f}'\left( 5 \right)=4 \\  {} f\left( 5 \right)=7 \\ \end{array} \right.$

Lại có $y=f\left( {{x}^{2}}+4 \right)\Rightarrow {y}'={{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{\prime }}.{f}'\left( {{x}^{2}}+4 \right)=2\text{x}.{f}'\left( {{x}^{2}}+4 \right)\Rightarrow y\left( 1 \right)=2{f}'\left( 5 \right)$.

Do đó, tiếp tuyến của $\left( {{C}_{3}} \right)$ tại P là $y=f\left( 5 \right)=2{f}'\left( 5 \right)\left( x-1 \right)\Leftrightarrow y-7=8\left( x-1 \right)\Leftrightarrow y=8\text{x}-1$.

Chọn A.