Bài tập viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu trong không gian OXYZ có đáp án chi tiết.

Bài tập viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu trong không gian OXYZ có đáp án chi tiết.

Dưới đây là một số bài tập giúp các em luyện tập viết các phương trình trong hệ trục tọa độ oxyz

Lời giải chi tiết:

a) Phương trình mặt phẳng cần tìm là: $1\left( x-1 \right)-2\left( y-2 \right)+2\left( z+1 \right)=0$hay $x-2y+2z+5=0.$

b) Ta có: $\overrightarrow{BC}=\left( 2;-1;3 \right)$ suy ra VTPT của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n}=(2;-1;3).$

Phương trình mặt phẳng: $2\left( x-1 \right)-1\left( y-0 \right)+3\left( z-2 \right)=0$ hay $2x-y+3z-8=0$.

c) Do $\left( P \right)//\left( Q \right)$ nên ta chọn $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\overrightarrow{{{n}_{(Q)}}}=\left( 1;-2;3 \right)$.

Phương trình mặt phẳng (P) là: $x-2y+3z-5=0.$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}=(3;-6;0),\,\,\overrightarrow{AC}=(5;3;3)$ suy ra $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=(-18;-9;39)=-3(6;3;-13)$

Ta chọn $\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(6;3;-13)\Rightarrow (P):6(x+1)+3(y-2)-13(z-3)=0$hay $6x+3y-13z+39=0.$

b) Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{Oy}}}=\overrightarrow{j}=(0;1;0)$

Do (P) vuông góc với trục Oy $\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(0;1;0)\Rightarrow (P):y-2=0$.

c) Mặt phẳng trung trực của AB là mặt phẳng qua trung điểm của AB và vuông góc với AB.

Trung điểm của AB là $M\left( 2;1;1 \right),$$\overrightarrow{AB}=(2;4;2)=2(1;2;1)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(1;2;1)$

Phương trình mặt phẳng cần tìm là: $1(x-2)+2(y-1)+1(z-1)=0$ hay $x+2y+z-5=0$.

d) Phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn là: $\frac{x}{3}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{2}=1$hay $2x-6y+3z-6=0.$

Lời giải chi tiết:

Thay tọa độ từng điểm vào phương trình mặt phẳng (P) ta thấy tọa độ điểm  N  thỏa mãn:

$2(1)-(-1)-1-2=0\Rightarrow N\in (P)$. Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $(1;0;-1)$.

Dễ nhận thấy vectơ $\overrightarrow{n}=(1;-1;-1)$ không là vectơ pháp tuyến của (P). Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Phương trình mặt phẳng đó là: $-2\left( x-2 \right)+4\left( y+3 \right)+1\left( z-4 \right)=0$ hay $-2x+4y+z+12=0$. Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Phương trình mặt phẳng (P) là 3x + 2y + z = 0. Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Với các điểm M, N, P, Q ta thấy điểm $P\,(3;1;3)\notin (\alpha )$ vì 2.3 − 3.1 − 3−l = −1 ≠ 0. Chọn A.

Lời giải chi tiết :

Toạ độ các điểm A, B, C là $A\left( 2;0;0 \right);\,\,B\left( 0;1;0 \right);\,\,C\left( 0;0;3 \right)$ 

Suy ra phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (ABC) là: $\frac{x}{2}+\frac{y}{1}+\frac{z}{3}=1$ hay $3x+6y+2z-6=0$

Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $I\left( 1;0;0 \right);\,\,J\left( 0;-3;0 \right);\,\,K\left( 0;0;5 \right)$do đó phương trình mặt phẳng (IJK) theo đoạn chắn là:

$\frac{x}{1}+\frac{y}{-3}+\frac{z}{5}=1$. Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng cần tìm có VTPT là : $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{{{n}_{\Delta }}}=(3;-2;1)$

Phương trình mặt phẳng cần tìm là: $3(x-3)-2(y+1)+z-1=0$ hay $3x-2y+z-12=0$. Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Tacó: $\overrightarrow{AB}=(-1;2;1),\,\,\overrightarrow{AC}=(0;1;-1)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=(-3;-1;-1)=-\overrightarrow{n}$. Chọn A.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z-1}{5}=t\Rightarrow (d):\left\{ \begin{align}  & x=2+2t \\  & y=-1-3t \\  & z=1+5t \\ \end{align} \right..$

b) $\frac{x+3}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}{3}=t\Rightarrow (d):\left\{ \begin{align}  & x=-3+2t \\  & y=1-t \\  & z=-1+3t \\ \end{align} \right..$

Lời giải chi tiết:

a) Phương trình chính tắc của đường thằng $d:\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-3}{6}.$

b) Phương trình chính tắc của đường thằng $d:\frac{x+2}{-3}=\frac{y-4}{4}=\frac{z}{6}.$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\overrightarrow{u}=(2;-1;3)$

Phương trình đường thẳng d là : $\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-4}{3}.$

b) Ta có : $d//Oz\Rightarrow \overrightarrow{u}=(0;0;1)\Rightarrow d:\left\{ \begin{align}  & x=-1 \\  & y=2 \\  & z=4+t \\ \end{align} \right..$

c) Ta có : $\overrightarrow{AB}=(1;4;0)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{AB}=(1;4;0)\Rightarrow $$d:\left\{ \begin{align}  & x=t \\  & y=-1+4t \\  & z=2 \\ \end{align} \right..$

Lời giải chi tiết:

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow{u}=(2;-3;1)$. Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-1;0;2)=\overrightarrow{{{u}_{AB}}}$. Chọn A.

Lời giải chi tiết:

Ta có $\overrightarrow{BA}=(1;2;-1)$. Đường thẳng AB đi qua điểm B, nhận $\overrightarrow{BA}$ làm vectơ chỉ phương có phương trình $\left\{ \begin{align}  & x=t \\  & y=-1+2t \\  & z=1-t \\ \end{align} \right.$. Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(1;-3;-2)=-(-1;3;2)=-\overrightarrow{u}\Rightarrow \overrightarrow{u}$là một vtcp của AB. Chọn A.

Lời giải chi tiết:

Gọi d là đường thẳng cần ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{BC}=(-2;1;1)$

Phương trình chính tắc của đường thẳng cần tìm là $\frac{x}{-2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{1}.$. Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Trung điểm của AB là $I\,(0;1;-1)$. Phương trình của đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và song song với d là: $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}{2}$. Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Do $d\bot (P)$nên ta có: $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}=(1;3;-1)$ (loại A và D) suy ra phương trình đường thẳng cần tìm là:

$(d):\left\{ \begin{align}  & x=2+t \\  & y=3+3t \\  & z=-t \\ \end{align} \right.$. Với $t=-1\Rightarrow (d)$ đi qua điểm (1;0;1) $\Rightarrow (d):\left\{ \begin{align}  & x=1+u \\  & y=3u \\  & z=1-u \\ \end{align} \right.$. Chọn B.

Lời giải:

1. a) Phương trình mặt cầu (S) là: ${{(x+1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=16$.
2. b) Bán kính mặt cầu (S) là: $R=IA=\sqrt{{{1}^{2}}+{{(-1)}^{2}}+{{(1)}^{2}}}=\sqrt{3}.$

Phương trình mặt cầu (S) là: ${{(x-2)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z+1)}^{2}}=3.$.

1. c) Tâm I của mặt cầu là trung điềm của AB suy ra $I\left( 1;1;2 \right).$

Bán kính mặt cầu là: $R=IA=\sqrt{6}\Rightarrow $$(S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=6.$

Lời giải:

1. a) Ta có: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}-3=11>0$

Do đó phương trình là phương trình mặt cầu có tâm $I\,(1;2;3)$ bán kính $R=\sqrt{11}.$

1. b) Ta có : $2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}+4x+10y+2=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x+5y+1=0$

$\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d={{(-1)}^{2}}+{{\left( -\frac{5}{2} \right)}^{2}}-1=\frac{25}{4}$

Do đó phương trình là phương trình mặt cầu có tâm $I\,(-1;\frac{-5}{2};0)$bán kính $R=\frac{5}{2}.$

1. c) Ta có : ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d=0\Rightarrow $phương trình biểu diễn một điểm $I\,(1;0;0).$
2. d) Ta có : ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{(-2)}^{2}}+{{\left( 4 \right)}^{2}}-25=\frac{-11}{4}<0$$\Rightarrow $phương trình không phải phương trình mặt cầu.

Lời giải:

Bán kính mặt cầu $R=IA=\sqrt{18}$.

Phương trình mặt cầu cần tìm là ${{(x-1)}^{2}}+{{(y+4)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}={{R}^{2}}=18$. Chọn C.

Lời giải:

Phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2my+6z+13=0$là phương trình mặt cầu

${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d={{2}^{2}}+{{(-m)}^{2}}+{{3}^{2}}-13>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne 0$. Chọn A.

Lời giải:

Ta có: $R=IM=\sqrt{{{(2-1)}^{2}}+{{(2-0)}^{2}}+{{(-1+3)}^{2}}}=3.$

Suy ra phương trình mặt cầu là:$(S):{{(x-1)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z+3)}^{2}}=9.$ Chọn A.

Lời giải:

Ta có: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-2y-6z+10=0\Leftrightarrow {{(x+2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=4\Rightarrow $mặt cầu có tâm $I\,(-2;1;3),\,\,R=2$. Chọn D.

Lời giải:

Gọi  I  là tâm của mặt cầu (S) $\Rightarrow $ I  là trung điểm của MN $\Rightarrow I\,(1;2;1)$ và IM = 6.

Phương trình mặt cầu đường kính MN là ${{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=36$. Chọn D.

Lời giải:

Mặt cầu  (S)  có tâm  I  là trung điểm của  AB  và bán kính $R=\frac{1}{2}AB.$

Ta có $I\,\left( \frac{2+0}{2};\frac{1+1}{2};\frac{0+2}{2} \right)\Rightarrow I\,(1;1;1)$và $\overrightarrow{AB}=(-2;0;2)\Rightarrow AB=2\sqrt{2}\Rightarrow R=\sqrt{2}.$

$\Rightarrow (S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=2$. Chọn D