Bài tập về tính thiết diện qua đỉnh nón có đáp án chi tiết - Tự Học 365

Bài tập về tính thiết diện qua đỉnh nón có đáp án chi tiết

Bài tập về tính thiết diện qua đỉnh nón có đáp án chi tiết

Bài tập về tính thiết diện qua đỉnh nón có đáp án chi tiết

Dưới đây là một số bài tập trắc nghiệm liên quan đến thiết diện của hình nón hay ra trong đề thi đại học có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một tam giác có cạnh huyền bằng a6. Thể tích V của khối nón đã cho bằng

A. V=πa364 B. V=πa363 C. V=πa366              D. V=πa362

Lời giải chi tiết

Thiệt diện qua trục hình nón là tam giác cân SAB có cạnh bên SA = l, cạnh đáy AB = 2R

Theo bài ra, ta có SA2+SB2=AB22l2=4R2l=R2

Mặt khác AB=2R=a6R=a6suy ra l=a62.2=a3

Do đó h=l2R2=a62V=13πR2h=πa364

Chọn A.

 

Bài tập 2: Thiết diện qua trục của hình nón (N) là tam giác vuông cân và có diện tích bằng a2. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng

A. Sxq=2πa2 B. Sxq=2πa2 C. Sxq=4πa2              D. Sxq=22πa2

Lời giải chi tiết

Thiết diện qua trục hình nón là tam giác cân SAB có cạnh bên SA = l, cạnh đáy AB =2R

Theo bài ra, tam giác SAB vuông SASBSΔSAB=SA22=l22=a2l=a2

Do đó l=R2R=l2=a. Vậy diện tích cần tìm là Sxq=πRl=2πa2. Chọn B.

Bài tập 3: Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a. Thể tích của khối nón đã cho là

A. πa338 B. πa336 C. πa3324              D. πa3312

Lời giải chi tiết

Theo bài ra, tam giác SAB đều cạnh a SA=SB=AB=a

Do đó, chiều cao SO=a32, bán kính đáy R=AB2=a2

Vậy thể tích cần tính là V=13πR2h=π3.(a2)2.a32=πa3324

Chọn C

Bài tập 4: Cho hình nón (N) có bán kính đáy bằng 9 cm, góc giữa đường sinh và mặt đáy là 30o. Diện tích thiết diện qua trục của hình nón (N) bằng

A. 93cm2 B. 183cm2 C. 63cm2              D. 273cm2

Lời giải chi tiết

Theo bài ra, tacó AB=2R=18^SAO=30o

Tam giác SAO vuông tại O, có SO=OA.tan^SAO=9.tan30o=33

Thiết diện qua trục hình nón là tam giác cân SAB

Suy ra diện tích cần tính là SΔSAB=12SO.AB=12.33.18=273cm2

Chọn D

Bài tập 5: Thiết diện qua trục của hình nón (N) là tam giác có chu vi bằng 10 cm, diện tích bằng 25cm2. Tính thể tích khối nón (N), biết rằng bán kính là số nguyên dương.

A. 25π3cm2 B. 45π3cm2 C. 85π3cm2              D. 25πcm2

Lời giải chi tiết

 Theo bài ra, ta có {2l+2R=1012h.2R=25{l+R=5h.R=25{l=5RR.l2R2=25

Do đó R2.[(5R2)R2]=20R2(2510R)=510R325R2+20=0R=2

Suy ra h=5 Vậy thể tích cần tính là V=13πR2h=13π.22.5=45π3cm3Chọn B

Bài tập 6: Hình nón (N) có đỉnh S, tâm đường tròn đáy là O, góc ở đỉnh bằng 120o. Một mặt phẳng qua S cắt hình nón (N) theo thiết diện là tam giác vuông SAB. Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SO bằng 3. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón (N)

A. Sxq=183π B. Sxq=93π C. Sxq=363π              D. Sxq=273π

Lời giải chi tiết

Vì góc ở đỉnh bằng 120o2R=l3SA=233OA=233R

Gọi H là trung điểm của ABOHABSOOH

Suy ra OH là đoạn vuông góc chung của AB và SO => OH =3

Tam giác OAH vuông tại H, có AH=OA2OH2=R29

Tam giác SAB vuông tại S, có SA2+SB2=AB2

2.(233R)2=4(R29)43R2=36R=33l=6

Vậy diện tích xung quanh cần tính là Sxq=πRl=183π.

Chọn A. 

Bài tập 7: Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng 60°, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng R2. Đường cao h của hình nón bằng

A. R2 B. R64 C. R32 D. R3

Lời giải chi tiết

 

Theo giả thiết, ta có tam giác OAB đều cạnh R

Gọi E là trung điểm AB, suy ra OEABOE=R32

Gọi h là hình chiếu của O trên SE OHSE

Ta có {ABOEABSOAB(SEO)ABOH

Từ đó suy ra OH(SAB) nên d(O;(SAB))=OH=R2

Tam giác SEO vuông tại O, có 1SO2=1OH21OE2=83R2SO=R64

Chọn B

Bài tập 8: Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết tam giác SAB vuông và có diện tích bằng 4a2. Góc tạo bởi giữa trục SO và mặt phẳng (SAB) bằng 30o. Đường cao h của hình nón bằng

A. a2 B. a64 C. a32 D. a3

Lời giải chi tiết

Theo giả thiết, ta có tam giác SAB vuông cân tại S

Gọi E là trung điểm AB, suy ra {SEABOEABSE=12AB

Ta có SΔSAB=12AB.SE=4a212AB.12AB=4a2AB=4a

Gọi H là hình chiếu của O trên SE => OHSE

Lại có {ABOEABSOAB(SEO)ABOH

Từ đó suy ra OH(SAB)^(SO;(SAB))=^OSH=30o

Tam giác SEO vuông tại O, có SO=SE.cos^OSE=a3.

Chọn D.

 

Bài tập 9: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và ^SAO=30o,^SAB=60o. Độ dài đường sinh l của hình nón bằng

A. l=a B. l=a3 C. l=a2 D. l=2a

Lời giải chi tiết

Gọi I là trung điểm AB, suy ra OIAB,SIAB và OI = a

Tam giác SAO vuông tại O, có OA=SA.cos^SAO=SA32

Tam giác SAI vuông tại I, có IA=SAcos^SAB=SA2

Tam giác OIA vuông tại I, có OA2=OI2+IA2

34SA2=a2+14SA2SA2=2a2SA=a2

Vậy độ dài đường sinh cần tìm là l=a2Chọn C.

 

Bài tập 10: Một hình nón có bán kính đáy R, góc ở đỉnh là 60°. Một thiết diện qua đỉnh nón chắn trên đáy một cung có số đo 90°. Diện tích của thiết diện là

A. R272 B. R232 C. 3R22              D. R262

Lời giải chi tiết

Vì góc ở đỉnh là 60o nên thiết diện qua trục SAC là tam giác đều cạnh 2R Đường cao của hình nón là SI=R3
Tam giác SA là thiết diện qua đỉnh, chắn trên đáy cung AB có số đo bằng 90° nên IAB là tam giác vuông cân tại I AB=R2

Gọi M là trung điểm của AB thì {IMABSMABIM=R22

Tam giác SMI vuông tại I, có SM=SI2+IM2=R142

Vậy diện tích cần tính là SΔSAB=12AB.SM=R272 . Chọn A.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12