Bài tập 1: Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một tam giác có cạnh huyền bằng a√6. Thể tích V của khối nón đã cho bằng
A. V=πa3√64 B. V=πa3√63 C. V=πa3√66 D. V=πa3√62 |
Lời giải chi tiết
Thiệt diện qua trục hình nón là tam giác cân SAB có cạnh bên SA = l, cạnh đáy AB = 2R
Theo bài ra, ta có SA2+SB2=AB2⇔2l2=4R2⇔l=R√2
Mặt khác AB=2R=a√6⇒R=a√6suy ra l=a√62.√2=a√3
Do đó h=√l2−R2=a√62→V=13πR2h=πa3√64
Chọn A.
Bài tập 2: Thiết diện qua trục của hình nón (N) là tam giác vuông cân và có diện tích bằng a2. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng
A. Sxq=2πa2 B. Sxq=√2πa2 C. Sxq=4πa2 D. Sxq=2√2πa2 |
Lời giải chi tiết
Thiết diện qua trục hình nón là tam giác cân SAB có cạnh bên SA = l, cạnh đáy AB =2R
Theo bài ra, tam giác SAB vuông ⇒SA⊥SB⇒SΔSAB=SA22=l22=a2⇒l=a√2
Do đó l=R√2⇒R=l√2=a. Vậy diện tích cần tìm là Sxq=πRl=√2πa2. Chọn B.
Bài tập 3: Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a. Thể tích của khối nón đã cho là
A. πa3√38 B. πa3√36 C. πa3√324 D. πa3√312 |
Lời giải chi tiết
Theo bài ra, tam giác SAB đều cạnh a ⇒SA=SB=AB=a
Do đó, chiều cao SO=a√32, bán kính đáy R=AB2=a2
Vậy thể tích cần tính là V=13πR2h=π3.(a2)2.a√32=πa3√324
Chọn C
Bài tập 4: Cho hình nón (N) có bán kính đáy bằng 9 cm, góc giữa đường sinh và mặt đáy là 30o. Diện tích thiết diện qua trục của hình nón (N) bằng
A. 9√3cm2 B. 18√3cm2 C. 6√3cm2 D. 27√3cm2 |
Lời giải chi tiết
Theo bài ra, tacó AB=2R=18 và ^SAO=30o
Tam giác SAO vuông tại O, có SO=OA.tan^SAO=9.tan30o=3√3
Thiết diện qua trục hình nón là tam giác cân SAB
Suy ra diện tích cần tính là SΔSAB=12SO.AB=12.3√3.18=27√3cm2
Chọn D
Bài tập 5: Thiết diện qua trục của hình nón (N) là tam giác có chu vi bằng 10 cm, diện tích bằng 2√5cm2. Tính thể tích khối nón (N), biết rằng bán kính là số nguyên dương.
A. 2√5π3cm2 B. 4√5π3cm2 C. 8√5π3cm2 D. 2√5πcm2 |
Lời giải chi tiết
Theo bài ra, ta có {2l+2R=1012h.2R=2√5⇔{l+R=5h.R=2√5⇔{l=5−RR.√l2−R2=2√5
Do đó R2.[(5−R2)−R2]=20⇔R2(25−10R)=5⇔10R3−25R2+20=0⇒R=2
Suy ra h=√5 Vậy thể tích cần tính là V=13πR2h=13π.22.√5=4√5π3cm3. Chọn B
Bài tập 6: Hình nón (N) có đỉnh S, tâm đường tròn đáy là O, góc ở đỉnh bằng 120o. Một mặt phẳng qua S cắt hình nón (N) theo thiết diện là tam giác vuông SAB. Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SO bằng 3. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón (N)
A. Sxq=18√3π B. Sxq=9√3π C. Sxq=36√3π D. Sxq=27√3π |
Lời giải chi tiết
Vì góc ở đỉnh bằng 120o⇒2R=l√3⇒SA=2√33OA=2√33R
Gọi H là trung điểm của AB⇒OH⊥AB mà SO⊥OH
Suy ra OH là đoạn vuông góc chung của AB và SO => OH =3
Tam giác OAH vuông tại H, có AH=√OA2−OH2=√R2−9
Tam giác SAB vuông tại S, có SA2+SB2=AB2
⇔2.(2√33R)2=4(R2−9)⇔−43R2=−36⇒R=3√3⇒l=6
Vậy diện tích xung quanh cần tính là Sxq=πRl=18√3π.
Chọn A.
Bài tập 7: Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đo bằng 60°, khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (SAB) bằng R2. Đường cao h của hình nón bằng
A. R√2 B. R√64 C. R√32 D. R√3 |
Lời giải chi tiết
Theo giả thiết, ta có tam giác OAB đều cạnh R
Gọi E là trung điểm AB, suy ra OE⊥ABvà OE=R√32
Gọi h là hình chiếu của O trên SE ⇒OH⊥SE
Ta có {AB⊥OEAB⊥SO⇒AB⊥(SEO)⇒AB⊥OH
Từ đó suy ra OH⊥(SAB) nên d(O;(SAB))=OH=R2
Tam giác SEO vuông tại O, có 1SO2=1OH2−1OE2=83R2⇒SO=R√64
Chọn B
Bài tập 8: Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Dựng hai đường sinh SA và SB, biết tam giác SAB vuông và có diện tích bằng 4a2. Góc tạo bởi giữa trục SO và mặt phẳng (SAB) bằng 30o. Đường cao h của hình nón bằng
A. a√2 B. a√64 C. a√32 D. a√3 |
Lời giải chi tiết
Theo giả thiết, ta có tam giác SAB vuông cân tại S
Gọi E là trung điểm AB, suy ra {SE⊥ABOE⊥AB và SE=12AB
Ta có SΔSAB=12AB.SE=4a2⇔12AB.12AB=4a2⇒AB=4a
Gọi H là hình chiếu của O trên SE => OH⊥SE
Lại có {AB⊥OEAB⊥SO⇒AB⊥(SEO)⇒AB⊥OH
Từ đó suy ra OH⊥(SAB)⇒^(SO;(SAB))=^OSH=30o
Tam giác SEO vuông tại O, có SO=SE.cos^OSE=a√3.
Chọn D.
Bài tập 9: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A, B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và ^SAO=30o,^SAB=60o. Độ dài đường sinh l của hình nón bằng
A. l=a B. l=a√3 C. l=a√2 D. l=2a |
Lời giải chi tiết
Gọi I là trung điểm AB, suy ra OI⊥AB,SI⊥AB và OI = a
Tam giác SAO vuông tại O, có OA=SA.cos^SAO=SA√32
Tam giác SAI vuông tại I, có IA=SAcos^SAB=SA2
Tam giác OIA vuông tại I, có OA2=OI2+IA2
⇔34SA2=a2+14SA2⇔SA2=2a2⇒SA=a√2
Vậy độ dài đường sinh cần tìm là l=a√2. Chọn C.
Bài tập 10: Một hình nón có bán kính đáy R, góc ở đỉnh là 60°. Một thiết diện qua đỉnh nón chắn trên đáy một cung có số đo 90°. Diện tích của thiết diện là
A. R2√72 B. R2√32 C. 3R22 D. R2√62 |
Lời giải chi tiết
Vì góc ở đỉnh là 60o nên thiết diện qua trục SAC là tam giác đều cạnh 2R ⇒ Đường cao của hình nón là SI=R√3
Tam giác SA là thiết diện qua đỉnh, chắn trên đáy cung AB có số đo bằng 90° nên IAB là tam giác vuông cân tại I ⇒AB=R√2
Gọi M là trung điểm của AB thì {IM⊥ABSM⊥ABvà IM=R√22
Tam giác SMI vuông tại I, có SM=√SI2+IM2=R√142
Vậy diện tích cần tính là SΔSAB=12AB.SM=R2√72 . Chọn A.
TOÁN LỚP 12