Bài tập trùng vân có đáp án chi tiết

CÁC DẠNG BÀI TOÁN VỀ TRÙNG VÂN

DẠNG 1: BÀI TOÁN VỀ HAI VẠCH SÁNG TRÙNG NHAU, SỐ VÂN QUAN SÁT ĐƯỢC.

- Nếu tại điểm M trên màn có 2 vân sáng của 2 bức xạ trùng nhau (tại M cho vạch sáng cùng màu với vạch sáng trung tâm) thì

${{x}_{S1}}={{x}_{S2}}\Rightarrow {{k}_{1}}{{i}_{1}}={{k}_{2}}{{i}_{2}}\Rightarrow {{k}_{1}}{{\lambda }_{1}}={{k}_{2}}{{\lambda }_{2}}\Rightarrow \frac{{{k}_{1}}}{{{k}_{2}}}=\frac{{{\lambda }_{2}}}{{{\lambda }_{1}}}=\frac{b}{c}$ (phân số tối giản) (*)

a) Khoảng vân trùng, vị trí các vân trùng

Từ $\left( * \right)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{k}_{1}}=bn \\ {} {{k}_{2}}=cn \\ \end{array} \right.\left( n\in Z \right)\Rightarrow \Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{x}_{\min }}=b{{i}_{1}}=c{{i}_{2}}\,khi\,n=1 \\ {} \Delta x={{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}=b{{i}_{1}}=c{{i}_{2}} \\ \end{array} \right.$

Trong đó: ${{x}_{\min }}$ là khoảng cách từ O đến vị trí trùng gần nhất. Các vân trùng nhau cách đều nhau và hai vân trùng nhau liên tiếp cách nhau khoảng $\Delta x\left( {{i}_{\equiv }} \right)$. Vì tại gốc tọa độ là một vị trí vân sáng trùng với vân sáng nên: $\Delta x={{x}_{\min }}={{i}_{\equiv }}$.

Như vậy:

+) Khoảng vân trùng đôi: ${{i}_{\equiv }}=b.{{i}_{1}}=c.{{i}_{2}}$

+) Tọa độ các vị trí trùng: $x=n{{i}_{\equiv }}$ (với n là số nguyên)

b) Số các vị trí trùng nhau của hai hệ vân

Để tìm số các vị trí trùng nhau của hai hệ vân, ta tìm tọa độ các vị trí trùng nhau của hai hệ vân theo số nguyên n. Sau đó thay vào điều kiện giới hạn của x:

+) Nếu bề rộng của trường giao thoa là L thì số vạch sáng cùng màu với vạch sáng trung tâm trên trường giao thoa (kể cả vân trung tâm) là ${{N}_{\equiv }}=2\left[ \frac{0,5L}{{{i}_{\equiv }}} \right]+1$.

+) Nếu cho tọa độ của điểm M và N thì số vạch sáng có màu giống với màu của vạch sáng trung tâm trên đoạn MN được xác định từ ${{x}_{M}}\le n{{i}_{\equiv }}\le {{x}_{N}}$.

⇒ Khoảng chạy của n, số các giá trị nguyên của n là số vạch trùng nhau cần tìm.

Chú ý: Bài toán ngược:

+) Nếu cho giữa hai vân sáng gần nhau nhất và cùng màu với vân sáng trung tâm có z vân sáng của hệ 2 thì $c-1=z\Rightarrow c=z+1$ thay vào $\frac{{{k}_{1}}}{{{k}_{2}}}=\frac{{{\lambda }_{2}}}{{{\lambda }_{1}}}=\frac{b}{c}$ tìm được theo b. Sau đó thay vào điều kiện giới hạn $0,38\mu m\le \lambda \le 0,76\,\mu m$ sẽ tìm được $\lambda $.

+) Nếu cho vị trí gần nhất O cùng màu với vạch sáng trung tâm, tìm bước sóng ta làm như sau:

Cách 1: $x={{k}_{1}}\frac{{{\lambda }_{1}}D}{a}={{k}_{2}}\frac{{{\lambda }_{2}}D}{a}\Rightarrow \frac{{{k}_{1}}}{{{k}_{2}}}=\frac{{{\lambda }_{2}}}{{{\lambda }_{1}}}=$ phân số tối giản $=\frac{b}{c}$

${{i}_{\equiv }}=b\frac{{{\lambda }_{1}}D}{\underset{{{i}_{1}}}{\mathop{a}}\,}=c\frac{{{\lambda }_{2}}D}{a}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} b=\frac{{{i}_{\equiv }}}{{{i}_{1}}} \\ {} {{\lambda }_{2}}=\frac{b{{\lambda }_{1}}}{c}\xrightarrow{0,38\le \lambda \le 0,76}\lambda \\ \end{array} \right.$

Cách 2: ${{i}_{\equiv }}={{k}_{1\min }}\frac{{{\lambda }_{1}}D}{a}={{k}_{2\min }}\frac{{{\lambda }_{2}}D}{a}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{k}_{1\min }}=\frac{{{i}_{\equiv }}}{{{i}_{1}}} \\ {} {{k}_{2\min }}=\frac{{{k}_{1\min }}.{{\lambda }_{1}}}{{{\lambda }_{2}}} \\ \end{array} \right.$là số nguyên tố với ${{k}_{1\min }}$ ⇒ Thử 4 phương án.

c) Số vân sáng quan sát được.

Mỗi ánh sáng đơn sắc cho một hệ vân giao thoa riêng. Mỗi vân sáng là một vạch sáng, nhưng nếu vân sáng hệ này trùng vân sáng hệ kia chỉ cho ta quan sát được một vạch sáng (vân sáng trùng).

Để tìm số vân sáng quan sát được ta tìm tổng số vạch sáng do 2 bức xạ tạo ra rồi trừ đi số các vạch đã trùng lên nhau: $N={{N}_{1}}+{{N}_{2}}-{{N}_{\equiv }}$

Với ${{N}_{1}},{{N}_{2}}$ lần lượt là tổng số vân sáng trên AB khi giao thoa lần lượt với ${{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}}$ (đã có cách tìm ở chủ đề trước)

d) VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Trong thí nghiệm Y-âng về giao thoa ánh sáng, khe hẹp S phát ra đồng thời hai bức xạ đơn sắc có bước sóng là ${{\lambda }_{1}}=0,42\,\mu m$ (màu tím), ${{\lambda }_{2}}=0,56\,\mu m$ (màu lục). Biết $a=1\,mm,\,D=2m$. a) Khoảng cách gần nhất từ vị trí trên màn có hai vân sáng trùng nhau đến vân trung tâm là bao nhiêu? b) Xét một vùng giao thoa rộng 3 cm trên màn quan sát đối xứng với vân trung tâm, có mấy vạch sáng là kết quả trùng nhau của hai hệ vân, số vân sáng màu tím trong vùng này là bao nhiêu? c) Trên màn quan sát, gọi M, N là hai điểm khác phía so với vân trung tâm và cách vân trung tâm lần lượt là 5,5 mm và 16,8 mm. Trên đoạn MN, số vị trí vân sáng trùng nhau của hai bức xạ là bao nhiêu?

Lời giải:

Khoảng vân giao thoa của ánh sáng tím: ${{i}_{1}}=\frac{D{{\lambda }_{1}}}{a}=\frac{2.0,42}{1}=0,84\,mm$

a) Điều kiện để 2 vân sáng trùng nhau:

${{x}_{s1}}={{x}_{s2}}\Leftrightarrow {{k}_{1}}{{i}_{1}}={{k}_{2}}{{i}_{2}}\Rightarrow \frac{{{k}_{1}}}{{{k}_{2}}}=\frac{{{i}_{2}}}{{{i}_{1}}}=\frac{{{\lambda }_{2}}}{{{\lambda }_{1}}}=\frac{0,56}{0,42}=\frac{4}{3}$

⇒ Khoảng vân trùng: ${{i}_{\equiv }}=4{{i}_{1}}=4.0,84=3,36\,mm$

Vậy khoảng cách gần nhất từ vị trí có hai vân sáng trùng nhau đến vân trung tâm là 3,36 mm.

b) Do vùng giao thoa đối xứng vân trung tâm nên ta có số vị trí trùng nhau của hai hệ vân giao thoa;

${{N}_{\equiv }}=2\left[ \frac{L}{2{{i}_{\equiv }}} \right]+1=2\left[ \frac{30}{2.3,36} \right]+1=9$ vân

Số vị trí cho vân sáng của ánh sáng tím

${{N}_{1}}=2\left[ \frac{L}{2{{i}_{1}}} \right]+1=2\left[ \frac{30}{2.0,84} \right]+1=35$ vân

Vậy số vân sáng màu tím quan sát thấy là $35-9=26$ vân.

c) Tọa độ các vị trí trùng ${{x}_{\equiv }}=n{{i}_{\equiv }}=3,36n$ với $n\in Z$

M, N là hai điểm nằm khác phía so với vân trung tâm nên ${{x}_{M}},{{x}_{N}}$ trái dấu

Ta có: $-{{x}_{M}}\le {{x}_{\equiv }}\le {{x}_{N}}\Leftrightarrow -5,5\le 3,36n\le 16,8\Leftrightarrow -1,6\le n\le 5$

Có 7 giá trị n nguyên ứng với 7 vạch trùng nhau của hai bức xạ trong đoạn MN, tại N là một vân trùng.

Ví dụ 2: [Trích đề thi THPT QG năm 2008] Trong thí nghiệm giao thoa ánh sáng với khe Y-âng khoảng cách giữa hai khe là 2 mm, khoảng cách từ mặt phẳng chứa hai khe đến màn quan sát là 1,2 m. Chiếu sáng hai khe bằng ánh sáng hỗn hợp gồm hai ánh sáng đơn sắc có bước sóng 500 nm và 660 nm thì thu được hệ vân giao thoa trên màn. Biết vân sáng chính giữa (trung tâm) ứng với hai bức xạ trên trùng nhau. Khoảng cách từ vân chính giữa đến vân gần nhất cùng màu với vân chính giữa là: A. 4,9 mm B. 19,8 mm C. 9,9 mm D. 29,7 mm

Lời giải:

Khoảng vân của bước sóng 500 nm là ${{i}_{1}}=\frac{{{\lambda }_{1}}D}{a}=0,3\,mm$

Điều kiện để 2 vân sáng trùng nhau: $\frac{{{k}_{1}}}{{{k}_{2}}}=\frac{{{\lambda }_{2}}}{{{\lambda }_{1}}}=\frac{660}{500}=\frac{33}{25}$

⇒ Khoảng vân trùng: ${{i}_{\equiv }}=33{{i}_{1}}=33.0,3=9,9\,mm$

Vậy khoảng cách từ vân chính giữa đến vân gần nhất cùng màu với vân chính giữa là 9,9 mm.

Chọn C.

Ví dụ 3: [Trích đề thi THPT QG năm 2009] Trong thí nghiệm Y-âng về giao thoa ánh sáng, khoảng cách giữa hai khe là 0,5 mm, khoảng cách từ hai khe đến màn quan sát là 2 m. Nguồn sáng dùng trong thí nghiệm gồm hai bức xạ có bước sóng ${{\lambda }_{1}}=450\,nm$ và ${{\lambda }_{2}}=600\,nm$. Trên màn quan sát, gọi M, N là hai điểm ở cùng một phía so với vân trung tâm và cách vân trung tâm lần lượt là 5,5 mm và 22 mm. Trên đoạn MN, số vị trí vân sáng trùng nhau của hai bức xạ là: A. 4 B. 2 C. 5 D. 3

Lời giải:

Ta có ${{i}_{1}}=\frac{D{{\lambda }_{1}}}{a}=1,8\,mm;\,\frac{{{k}_{1}}}{{{k}_{2}}}=\frac{{{\lambda }_{2}}}{{{\lambda }_{1}}}=\frac{4}{3}\Rightarrow {{i}_{\equiv }}=4{{i}_{1}}=7,2\,mm$

⇒ Tọa độ các vị trí trùng: ${{x}_{\equiv }}=7,2n$ với $n\in Z$

M, N nằm cùng phía so với vân trung tâm nên ${{x}_{M}},{{x}_{N}}$ cùng dấu.

Ta có: ${{x}_{M}}\le {{x}_{\equiv }}\le {{x}_{N}}\Leftrightarrow 5,5\le 3,36n\le 33,6\Leftrightarrow 1,6\le n\le 10$

$5,5\le {{x}_{\equiv }}=7,2n\le 22(n\in \mathbb{Z})\Rightarrow n=\left\{ 1,2,\left. 3 \right\} \right.$

Vậy có 3 vị trí vân sáng trùng nhau của 2 bức xạ. Chọn D.

Ví dụ 4: [Trích đề thi THPT QG năm 2012] Trong thí nghiệm Y-âng về giao thoa ánh sáng, nguồn sáng phát đồng thời hai ánh sáng đơn sắc ${{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}}$ có bước sóng lần lượt là $0,48\,\mu m$ và $0,60\,\mu m$. Trên màn quan sát, trong khoảng giữa hai vân sáng gần nhau nhất và cùng màu với vân sáng trung tâm có A. 4 vân sáng ${{\lambda }_{1}}$ và 3 vân sáng ${{\lambda }_{2}}$ B. 5 vân sáng ${{\lambda }_{1}}$ và 4 vân sáng ${{\lambda }_{2}}$ C. 4 vân sáng ${{\lambda }_{1}}$ và 5 vân sáng ${{\lambda }_{2}}$ D. 3 vân sáng ${{\lambda }_{1}}$ và 4 vân sáng ${{\lambda }_{2}}$

Lời giải:

Tại vị trí trùng vân: $\frac{{{k}_{1}}}{{{k}_{2}}}=\frac{{{\lambda }_{2}}}{{{\lambda }_{1}}}=\frac{0,60}{0,48}=\frac{5}{4}$

⇒ số vân sáng của ${{\lambda }_{1}}$ là: $5-1=4$ và số vân sáng của ${{\lambda }_{2}}$ là $4-1=3$. Chọn A.

Ví dụ 5: Trong thí nghiệm Y-âng về giao thoa ánh sáng, nguồn sáng phát đồng thời hai ánh sáng đơn sắc gồm ánh sáng đỏ có bước sóng 684 nm và ánh sáng lam có bước sóng 456 nm. Trong khoảng giữa hai vân sáng có màu cùng màu với vân sáng trung tâm, nếu đếm được 6 vân sáng màu lam thì số vân sáng màu đỏ là A. 1 vân B. 3 vân C. 4 vân D. 2 vân

Lời giải:

Điều kiện để cho sự trùng nhau của hệ hai vân sáng $\frac{{{k}_{1}}}{{{k}_{2}}}=\frac{{{\lambda }_{2}}}{\lambda 1}=\frac{456}{684}=\frac{2}{3}$.

⇒ Cứ giữa hai vân sáng liên tiếp cùng màu với vân trung tâm sẽ có 2 vị trí cho vân sáng lam và 1 vị trí cho vân sáng đỏ.

⇒ Nếu giữa hai vân trùng màu với vân trung tâm không liên tiếp ta đếm được 6 vân sáng lam thì có tương ứng 3 vân đỏ (ứng với 2 khoảng vân trùng đôi). Chọn B.

Ví dụ 6: Thực hiện giao thoa ánh sáng với 2 bức xạ nhìn thấy có bước sóng ${{\lambda }_{1}}=0,6\,\mu m$ và ${{\lambda }_{2}}$. Trên màn hứng các vân giao thoa, giữa hai vân gần nhất cùng màu với vân sáng trung tâm đếm được 13 vân sáng, trong đó số vân của bức xạ ${{\lambda }_{1}}$ và của bức xạ ${{\lambda }_{2}}$ lệch nhau 3 vân, bước sóng của ${{\lambda }_{2}}$ là A. $0,72\,\mu m$ B. $0,4\,\mu m$ C. $0,54\,\mu m$ D. $0,45\,\mu m$

Lời giải:

Gọi ${{n}_{1}}$ và ${{n}_{2}}$ lần lượt là số vân sáng quan sát được trên màn của hai bức xạ

Ta có $\left\{ \begin{array}{} {{n}_{1}}+{{n}_{2}}=13 \\ {} {{n}_{2}}-{{n}_{1}}=3 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{n}_{1}}=5 \\ {} {{n}_{2}}=8 \\ \end{array} \right.$

⇒ Vị trí trùng nhau gần nhất với vân trung tâm ứng với vân sáng bậc 6 của bức xạ ${{\lambda }_{1}}$ và vân sáng bậc 9 của bức xạ ${{\lambda }_{2}}$. Ta có $\frac{{{k}_{1}}}{{{k}_{2}}}=\frac{{{\lambda }_{2}}}{{{\lambda }_{1}}}\Leftrightarrow \frac{6}{9}=\frac{{{\lambda }_{2}}}{0,6}\Rightarrow {{\lambda }_{2}}=0,4\,\mu m$. Chọn B.

Ví dụ 7: [Trích đề thi THPT QG năm 2010] Trong thí nghiệm Y-âng về giao thoa ánh sáng, nguồn sáng phát đồng thời hai bức xạ đơn sắc, trong đó bức xạ màu đỏ có bước sóng ${{\lambda }_{d}}=720\,nm$ và bức xạ màu lục có bước sóng λlục (có giá trị trong khoảng từ 500 nm đến 575 nm). Trên màn quan sát, giữa hai vân sáng gần nhau nhất và cùng màu với vân sáng trung tâm có 8 vân sáng màu lục. Giá trị của λlục là A. 500 nm B. 520 nm C. 540 nm D. 560 nm

Lời giải:

Tọa độ 2 vân sáng trùng nhau khi: $x_{luc}^{s}=x_{d}^{s}\Leftrightarrow \frac{k.D{{\lambda }_{luc}}}{a}=\frac{{k}'.D{{\lambda }_{d}}}{a}\Leftrightarrow {{\lambda }_{luc}}=\frac{{{k}'}}{k}{{\lambda }_{d}}$

Do trên màn quan sát, giữa hai vân sáng gần nhau nhất và cùng màu với vân sáng trung tâm có 8 vân sáng màu lục nên $k=9\Rightarrow {{\lambda }_{luc}}=\frac{{k}'.0,72}{9}$

Do $0,5\le {{\lambda }_{luc}}\le 0,575\Rightarrow 6,25\le {k}'\le 7,18\Rightarrow {k}'=7\Rightarrow {{\lambda }_{luc}}=\frac{7.0,72}{9}=0,56\,\mu m$. Chọn D.

Ví dụ 8: Trong thí nghiệm Yang, chiếu đồng thời hai bức xạ có bước sóng ${{\lambda }_{1}}=0,4\,\mu m$ và ${{\lambda }_{2}}=0,6\,\mu m$. Trên màn quan sát, gọi M và N là hai điểm nằm ở hai phía so với vân trung tâm mà M là vị trí của vân sáng bậc 11 của bức xạ ${{\lambda }_{1}};$ N là vị trí vân sáng bậc 13 của bức xạ ${{\lambda }_{2}}$. Số vân sáng quan sát được trên đoạn MN là A. 43 vân B. 40 vân C. 42 vân D. 48 vân

Lời giải:

Xét tỉ số $\frac{{{i}_{2}}}{{{i}_{1}}}=\frac{{{\lambda }_{2}}}{{{\lambda }_{1}}}=\frac{0,6}{0,4}=1,5$

+) Vị trí M là vân sáng thứ 11 của bức xạ ${{\lambda }_{1}}\Rightarrow {{x}_{M}}=11.{{i}_{1}}=11.\frac{{{i}_{2}}}{1,5}=7,3.{{i}_{2}}$

+) Vị trí N là vân sáng thứ 13 của bức xạ ${{\lambda }_{2}}\Rightarrow {{x}_{N}}=-13.{{i}_{2}}=-11.1,5.{{i}_{1}}=-16,5.{{i}_{1}}$

(do M, N nằm ở hai phía so với vân trung tâm nên ${{x}_{M}},{{x}_{N}}$ trái dấu) $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} -16,5\le {{k}_{M}}\le 11 \\ {} -13\le {{k}_{N}}\le 7,3 \\ \end{array} \right.$

⇒ Trên đoạn MN có 28 vân sáng của mỗi bức xạ ${{\lambda }_{1}}$ và có 21 vân sáng của bức xạ ${{\lambda }_{2}}$.

+) Xác định số vân sáng trùng nhau, mỗi vị trí trùng nhau được tính là một vân sáng. Để hai vân trùng nhau thì ${{x}_{1}}={{x}_{2}}\Leftrightarrow \frac{{{k}_{1}}}{{{k}_{2}}}=\frac{{{\lambda }_{2}}}{{{\lambda }_{1}}}=\frac{3}{2}$

Từ O đến N sẽ có 4 vị trí trùng nhau, từ O đến M sẽ có 2 vị trí trùng nhau.

Số vân sáng quan sát được là $21+28-6=43$. Chọn A.

Ví dụ 9: Trong thí nghiệm Y-âng về giao thoa ánh sáng, hai khe hẹp cách nhau 1 mm, khoảng cách từ hai khe tới màn là 1 m. Chiếu đồng thời hai bức xạ có bước sóng ${{\lambda }_{1}}=0,5\,\mu m$ và ${{\lambda }_{2}}=0,75\,\mu m$. Tại M là vân sáng bậc 3 của bức xạ ${{\lambda }_{1}}$ và tại N là vân sáng bậc 6 của bức xạ ${{\lambda }_{2}}$. Số vân sáng trong khoảng giữa M và N là A. 8 vân B. 9 vân C. 7 vân D. 6 vân

Lời giải:

Ta có $0,5{{k}_{1}}=0,75{{k}_{2}}\Rightarrow \frac{{{k}_{1}}}{{{k}_{2}}}=\frac{3}{2}$

⇒ các cặp trùng nhau $\left( {{k}_{1}},{{k}_{2}} \right)=\left( 0,\,0 \right);\,\left( 3,\,2 \right);\,\left( 6,\,4 \right);\,\left( 9,\,6 \right);\ldots $

Tại M: $3\frac{0,5D}{a}={{k}_{2}}\frac{0,75D}{a}\Rightarrow {{k}_{2}}=2\Rightarrow M:\left( {{k}_{1}},{{k}_{2}} \right)=\left( 3,2 \right)$

Tại N: ${{k}_{1}}\frac{0,5D}{a}=6\frac{0,75D}{a}\Rightarrow {{k}_{1}}=9\Rightarrow N:\left( {{k}_{1}},{{k}_{2}} \right)=\left( 9,6 \right)$

Trong “khoảng” MN có: 5 cực địa của 1 ứng với ${{k}_{1}}=4,5,6,7,8$

3 cực đại của 2 ứng với ${{k}_{2}}=3,4,5$

1 vân trùng $\left( 6,4 \right)$

⇒ Số vân sáng trong “khoảng” MN là: $5+3-1=7$. Chọn C.

Ví dụ 10: Trong thí nghiệm giao thoa ánh sáng Y-âng, cố định màn ảnh, mặt phẳng chứa hai khe sáng rồi tiến hành hai lần thí nghiệm như sau: - Lần 1: Chiếu hai khe ánh sáng đơn sắc có bước sóng ${{\lambda }_{1}}=0,6\,\mu m$thì trên màn quan sát, ta thấy có 6 vân sáng liên tiếp cách nhau 9 mm. - Lần 2: Chiếu hai khe bằng ánh sáng đa sắc gồm hai bức xạ có bước sóng ${{\lambda }_{1}}$ và ${{\lambda }_{2}}$ thì người ta thấy tại M cách vân trung tâm 10,8 mm có một vân sáng trung tâm, trong khoảng giữa M và vân sáng trung tâm còn có 2 vân sáng có màu giống vân trung tâm. Bước sóng của bức xạ ${{\lambda }_{2}}$ là A. $0,65\,\mu m$ B. $0,4\,\mu m$ C. $0,76\,\mu m$ D. $0,38\,\mu m$

Lời giải:

▪ Lần 1: 6 vân sáng liên tiếp dài $9\,mm\Rightarrow 5{{i}_{1}}=9\Rightarrow {{i}_{1}}=1,8\,mm\Rightarrow \frac{D}{a}=\frac{i}{\lambda }=\frac{1,{{8.10}^{-3}}}{0,{{6.10}^{-6}}}=3000$

▪ Lần 2: 10,8 mm là khoảng cách giữa 1 vân trùng đến vân trung tâm, giữa đó còn có 2 vân trùng nữa nên 10,8 mm ứng với 3 khoảng vân trùng ${{i}_{T}}=\frac{10,8}{3}=3,6\,mm$.

Gọi ${{k}_{2}}$ là bậc sáng của ${{\lambda }_{2}}$ tại đó 2 vân sáng trùng nhau lần đầu tiên: ${{i}_{T}}={{k}_{2}}{{i}_{2}}={{k}_{2}}.3000.{{\lambda }_{2}}=3,{{6.10}^{-3}}$

$\Rightarrow k=\frac{1,{{2.10}^{-6}}}{{{\lambda }_{2}}}\,\,\left( 1 \right)$

Thay 4 đáp án vào (1), thấy ${{\lambda }_{2}}=0,{{4.10}^{-6}}m$ thì $k=3$ nguyên (thỏa mãn). Chọn B.

Ví dụ 11: Một nguồn sáng điểm nằm cách đều hai khe Yâng và phát ra đồng thời hai ánh sáng đơn sắc có bước sóng ${{\lambda }_{1}}$ và ${{\lambda }_{2}}$. Khoảng vân của ánh sáng đơn sắc ${{\lambda }_{1}}$ là 2mm. Trong khoảng rộng $L=3,2\,cm$ trên màn, đếm được 25 vạch sáng, trong đó có 5 vạch là kết quả trùng nhau của hai hệ vân; biết rằng hai trong năm vạch trùng nhau nằm ngoài cùng của khoảng L. Số vân sáng của ánh sáng ${{\lambda }_{2}}$ quan sát được trên màn là A. 12 vân B. 8 vân C. 11 vân D. 10 vân

Lời giải:

Do khoảng cách giữa hai vân sáng kề nhau bằng khoảng vân i, nên nếu trên trường giao thoa rộng L mà có hai vân sáng nằm ở hai đầu thì trường đó sẽ được phủ kín bởi các khoảng vân i, số khoảng vân được cho bởi $N=\frac{L}{2}$ và số vân sáng quan sát được trên trường là ${N}'=N+1$.

Số vân sáng đếm được trên trường (các vân trùng nhau chỉ tính một vân) là 25 vân, trong 25 vân này có 5 vạch trùng nhau nên số vân thực tế là kết quả giao thoa của hai bức xạ là 30 vân sáng.

Số khoảng vân ứng với bước sóng ${{\lambda }_{1}}$ là ${{N}_{1}}=\frac{L}{{{i}_{1}}}=\frac{23}{2}=16$

⇒ số vân sáng ứng với ${{\lambda }_{1}}$ là ${{N}_{1}}^{\prime }=17$ vân

Khi đó, số vân sáng ứng với bước sóng ${{\lambda }_{2}}$ là ${{N}_{2}}^{\prime }=30-17=13$ vân

Số vân sáng của ánh sáng ${{\lambda }_{2}}$ quan sát được trên màn là $13-5=8$ vân

Vậy ${{\lambda }_{2}}=0,4\,\mu m$. Chọn B.

DẠNG 2: HAI VÂN TỐI TRÙNG NHAU

Cách 1:

Điều kiện để hai vạch tối trùng nhau:

$x=\left( 2{{m}_{1}}-1 \right)\frac{{{i}_{1}}}{2}=\left( 2{{m}_{2}}-1 \right)\frac{{{i}_{2}}}{2}\Rightarrow \frac{2{{m}_{1}}-1}{2{{m}_{2}}-1}=\frac{{{i}_{2}}}{{{i}_{1}}}=\frac{{{\lambda }_{2}}}{{{\lambda }_{1}}}=$ phân số tối giản $=\frac{b}{c}$

(Dĩ nhiên, b và c là các nguyên dương lẻ thì mới có thể có vân tối trùng với vân tối)

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} 2{{m}_{1}}-1=b\left( 2n-1 \right) \\ {} 2{{m}_{2}}-1=c\left( 2n-1 \right) \\ \end{array} \right.\left( n\in Z \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{x}_{\min }}=\frac{b{{i}_{1}}}{2}=\frac{c{{i}_{2}}}{2}\,khi\,n=1 \\ {} \Delta x={{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}=b{{i}_{1}}=c{{i}_{2}} \\ \end{array} \right.$

Trong đó, ${{x}_{\min }}$ là khoảng cách từ O đến vị trí trùng gần nhất và $\Delta x$ là khoảng cách giữa hai vị trí trùng liên tiếp $\left( {{i}_{\equiv }} \right)$. Trường hợp này $\Delta x=2{{x}_{\min }}$ hay ${{x}_{\min }}=\frac{\Delta x}{2}$.

Cách 2:

$\frac{{{i}_{2}}}{{{i}_{1}}}=\frac{{{\lambda }_{2}}}{{{\lambda }_{1}}}=$ phân số tối giản $=\frac{b}{c}\Rightarrow {{i}_{\equiv }}=b{{i}_{1}}=c{{i}_{2}}$

Vì tại gốc tọa độ không phải là vị trí vân tối trùng và nó cách vị trí trùng gần nhất là ${{x}_{\min }}=0,5{{i}_{\equiv }}$

⇒ Tọa độ các vị trí trùng:$x=\left( n-0,5 \right){{i}_{\equiv }}$ với $n\in Z$.

DẠNG 3: VÂN TỐI CỦA ${{\lambda }_{2}}$ TRÙNG VỚI VÂN SÁNG CỦA ${{\lambda }_{1}}$

Cách 1:

$x={{k}_{1}}{{i}_{1}}=\left( 2{{m}_{2}}-1 \right)\frac{{{i}_{2}}}{2}\Rightarrow \frac{k}{2{{m}_{2}}-1}=\frac{0,5{{i}_{2}}}{{{i}_{1}}}=\frac{0,5{{\lambda }_{2}}}{{{\lambda }_{1}}}=$ phân số tối giản $=\frac{b}{c}$

(Dĩ nhiên, c là số nguyên dương lẻ thì mới có thể có vân sáng của ${{\lambda }_{1}}$ trùng với vân tối của ${{\lambda }_{2}}$).

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{k}_{1}}=b\left( 2n-1 \right) \\ {} 2{{m}_{2}}-1=c\left( 2n-1 \right) \\ \end{array} \right.\left( n\in Z \right)\Rightarrow $

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{x}_{\min }}=b{{i}_{1}}=\frac{c{{i}_{2}}}{2}\,\,khi\,n=1 \\ {} \Delta x={{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}=2b{{i}_{1}}=c{{i}_{2}} \\ \end{array} \right.$

Trong đó, ${{x}_{\min }}$ là khoảng cách từ O đến vị trí trùng gần nhất và $\Delta x$là khoảng cách giữa hai vị trí trùng liên tiếp $\left( {{i}_{\equiv }} \right)$. Trường hợp này $\Delta x=2{{x}_{\min }}$ hay ${{x}_{\min }}=\frac{\Delta x}{2}$

Cách 2:

- Vân tối của ${{\lambda }_{2}}$ trùng với vân sáng ${{\lambda }_{1}}$;

$\frac{{{i}_{2}}}{2{{i}_{1}}}=\frac{{{\lambda }_{2}}}{2{{\lambda }_{1}}}=$ phân số tối giản $=\frac{b}{c}\Rightarrow {{i}_{\equiv }}=2b{{i}_{1}}=c{{i}_{2}}$

Vì tại gốc tọa độ cách vị trí trùng gần nhất là ${{x}_{\min }}=0,5{{i}_{\equiv }}$

⇒ Tọa độ các vị trí trùng: $x=\left( n-0,5 \right){{i}_{\equiv }}$ với $n\in Z$.

- Vân tối của ${{\lambda }_{1}}$ trùng với vân sáng ${{\lambda }_{2}}$:

$\frac{{{i}_{1}}}{2{{i}_{2}}}=\frac{{{\lambda }_{1}}}{2{{\lambda }_{2}}}=$ phân số tối giản $=\frac{b}{c}\Rightarrow {{i}_{\equiv }}=2b{{i}_{2}}=c{{i}_{1}}$

Vì tại gốc tọa độ cách vị trí trùng gần nhất là: ${{x}_{\min }}=0,5{{i}_{\equiv }}$

⇒ Tọa độ các vị trí trùng: $x=\left( n-0,5 \right){{i}_{\equiv }}$ với $n\in Z$.

Chú ý: Nếu bề rộng trường giao thoa đủ lớn:

Luôn tồn tại vị trí để hai vân sáng của hai hệ trùng nhau.

$\frac{{{i}_{2}}}{{{i}_{1}}}=\frac{{{\lambda }_{2}}}{{{\lambda }_{1}}}=$ phân số tối giản $=\frac{b}{c}$

+) Nếu b và c đều là số lẻ thì sẽ có vị trí vân tối trùng nhau và không có vị trí vân sáng trùng vân tối.

+) Nếu b chẵn và c lẻ thì sẽ có vị trí vân sáng hệ 1 trùng vân tối hệ 2, không có vị trí vân tối trùng nhau và không có vị trí vân sáng hệ 2 trùng vân tối hệ 1.

+) Nếu b lẻ và c chẵn thì sẽ có vị trí vân sáng hệ 2 trùng vân tối hệ 1, không có vị trí vân tối trùng nhau và không có vị trí vân sáng hệ 1 trùng vân tối hệ 2.

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 12: Trong thí nghiệm giao thoa Y-âng thực hiện đồng thời hai bức xạ đơn sắc với khoảng vân trên màn ảnh thu được lần lượt là $1,50\,mm$ và $2,25mm$. Tại hai điểm gần nhau nhất trên màn là M và N thì các vân tối của hai bức xạ trùng nhau. Tính MN. A. 5,75 mm B. 6,75 mm C. 4,5 mm D. 3,0 mm

Lời giải:

Ta có $\frac{{{i}_{2}}}{{{i}_{1}}}=\frac{2,25}{1,50}=\frac{3}{2}\Rightarrow {{i}_{\equiv }}=3{{i}_{1}}=2{{i}_{2}}=3.1,50=4,5\,mm$

Khoảng cách giữa hai vân tối trùng nhau gần nhau nhất bằng khoảng vân trùng nhau bằng 4,5 mm.

Chọn C.

Ví dụ 13: Trong thí nghiệm giao thoa Y-âng thực hiện đồng thời hai bức xạ đơn sắc với khoảng vân trên màn ảnh thu được lần lượt là ${{i}_{1}}=0,5\,mm$ và ${{i}_{2}}=0,7\,mm$. Khoảng cách gần nhất từ vị trí trên màn có 2 vân tối trùng nhau đến vân trung tâm là A. 0,75 mm B. 1,75 mm C. 3,5 mm D. 1,5 mm

Lời giải:

Ta có $\frac{{{i}_{2}}}{{{i}_{1}}}=\frac{0,7}{0,5}=\frac{7}{5}\Rightarrow {{i}_{\equiv }}=7{{i}_{1}}=5{{i}_{2}}=7.0,5=3,5\,mm$

Vì tại gốc tọa độ O là vân sáng trùng và O cách vị trí trùng gần nhất là ${{x}_{\min }}=0,5{{i}_{\equiv }}=1,75\,mm$.

Chọn B.

Ví dụ 14: Trong thí nghiệm giao thoa Y-âng, thực hiện đồng thời với hai ánh sáng đơn sắc khoảng vân giao thoa lần lượt là 0,20 mm và 0,15 mm. Lập công thức xác định vị trí trùng nhau của các vân tối của hai bức xạ trên màn (n là số nguyên). A. $x=0,6.n+0,3\,mm$ B. $x=0,8.n+0,3\,mm$ C. $x=1,05.n+0,525\,mm$ D. $x=0,6.n\,mm$

Lời giải:

Cách 1: Điều kiện để 2 vân tối trùng nhau:

${{x}_{t\equiv }}=\left( 2{{m}_{1}}+1 \right).\frac{0,20}{2}=\left( 2{{m}_{2}}+1 \right).\frac{0,15}{2}mm$

$\Rightarrow \frac{2{{m}_{1}}+1}{2{{m}_{2}}+1}=\frac{3}{4}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} 2{{m}_{1}}+1=3\left( 2n+1 \right) \\ {} 2{{m}_{2}}+1=4\left( 2n+1 \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{x}_{t\equiv }}=3\left( 2n+1 \right).\frac{0,20}{2}=0,6n+0,3\,mm$

Cách 2: $\frac{{{i}_{2}}}{{{i}_{1}}}=\frac{0,15}{0,20}=\frac{3}{4}\Rightarrow {{i}_{t\equiv }}={{i}_{s\equiv }}=3{{i}_{1}}=4{{i}_{2}}=0,6mm$

Vì tại gốc tọa độ O không phải là vị trí vân tối trùng và O cách vị trí trùng gần nhất là ${{x}_{t\min }}=0,5{{i}_{\equiv }}=0,6\,mm$

⇒ Tọa độ các vị trí tối trùng: ${{x}_{t\equiv }}=\left( n+0,5 \right){{i}_{\equiv }}=0,6n+0,3mm$ (với n là số nguyên). Chọn A.

Ví dụ 15: Trong thí nghiệm giao thoa Y-âng thực hiện đồng thời hai bức xạ đơn sắc với khoảng vân trên màn ảnh thu được lần lượt là ${{i}_{1}}=0,5\,mm$ và ${{i}_{2}}=0,4\,mm$. Hai điểm M và N trên màn mà tại các điểm đó hệ 1 cho vân sáng và hệ 2 cho vân tối. Khoảng cách MN nhỏ nhất là A. 2 mm B. 1,2 mm C. 0,8 mm D. 0,6 mm

Lời giải:

Điều kiện để vân sáng hệ 1 trùng với vân tối hệ 2 là: $x={{k}_{1}}{{i}_{1}}=\left( 2{{m}_{2}}+1 \right)0,5{{i}_{2}}$

$\Rightarrow \frac{{{k}_{1}}}{2{{m}_{2}}+1}=\frac{0,5{{i}_{2}}}{{{i}_{1}}}=\frac{0,5.0,4}{0,5}=\frac{2}{5}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{k}_{1}}=2\left( 2n+1 \right) \\ {} 2{{m}_{2}}+1=5\left( 2n+1 \right) \\ \end{array} \right.$

$\Rightarrow x=2\left( 2n+1 \right)0,5\Rightarrow {{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}=2mm$

Vân tối của ${{\lambda }_{2}}$ trùng với vân sáng ${{\lambda }_{1}}$:

$\frac{{{i}_{2}}}{2{{i}_{1}}}=\frac{0,4}{2.0,5}=\frac{2}{5}\Rightarrow {{i}_{\equiv }}=2.2{{i}_{1}}=5{{i}_{2}}=2.2.0,5=2\left( mm \right)=\Delta x=MN$. Chọn A.

Ví dụ 16: Trong thí nghiệm giao thoa Y-âng thực hiện đồng thời hai bức xạ đơn sắc với khoảng vân trên màn ảnh thu được lần lượt là ${{i}_{1}}=0,5\,mm$ và ${{i}_{2}}=0,3\,mm$. Trên màn quan sát, gọi M, N là hai điểm ở cùng một phía so với vân trung tâm và cách vân trung tâm lần lượt là 2,25 mm và 6,75 mm. Trên đoạn MN, số vị trí vân tối trùng nhau của hai bức xạ là A. 6 vân B. 5 vân C. 3 vân D. 4 vân

Lời giải:

Ta có $\frac{{{i}_{2}}}{{{i}_{1}}}=\frac{0,5}{0,3}=\frac{5}{3}\Rightarrow {{i}_{\equiv }}=5{{i}_{1}}=3{{i}_{2}}=5.0,3=1,5mm$

Vì tại gốc tọa độ O không phải là vị trí vân tối trùng và O cách vị trí trùng gần nhất là

${{x}_{\min }}=0,5{{i}_{\equiv }}=0,75\,mm$

⇒ Tọa độ các vị trí trùng: $x=\left( n+0,5 \right){{i}_{\equiv }}=1,5n+0,75\,mm$ với $n\in Z$

Các vị trí trùng trong đoạn MN là số các giá trị n nguyên thỏa mãn:

${{x}_{M}}\le x\le {{x}_{N}}\Leftrightarrow 2,25\le 1,5n+0,75\le 6,75$

$\Rightarrow 1\le n\le 4\Rightarrow n=\left\{ 1,2,3,4 \right\}$

Có 4 giá trị n nguyên ứng với 4 vị trí vân tối trùng nhau của 2 bức xạ. Chọn D.

Ví dụ 17: Trong thí nghiệm giao thoa Y-âng, thực hiện đồng thời với hai ánh sáng đơn sắc khoảng vân giao thoa trên màn lần lượt là ${{i}_{1}}=0,8\,mm$ và ${{i}_{2}}=0,6\,mm$. Biết bề rộng trường giao thoa là 9,6 mm. Trên trường giao thoa, số vị trí mà vân sáng hệ 2 trùng với vân tối hệ 1 là A. 6 vân B. 5 vân C. 3 vân D. 4 vân

Lời giải:

Điều kiện để vân tối của ${{\lambda }_{1}}$ trùng với vân sáng ${{\lambda }_{2}}$ là

$\frac{{{i}_{1}}}{2{{i}_{2}}}=\frac{0,8}{2.0,6}=\frac{2}{3}\Rightarrow {{i}_{\equiv }}=2.2{{i}_{2}}=3{{i}_{1}}=2.2.0,6=2,4\left( mm \right)$

Vì tại gốc tọa độ cách vị trí trùng gần nhất là: ${{x}_{\min }}=0,5{{i}_{\equiv }}=1,2mm$

⇒ Tọa độ các vị trí trùng: $x=\left( n-0,5 \right){{i}_{\equiv }}=2,4n-1,2$ với $n\in Z$

Các vị trí trùng trong đoạn MN là số các giá trị n nguyên thỏa mãn:

$-\frac{L}{2}\le 2,4n-1,2\le \frac{L}{2}\Leftrightarrow -4,8\le 2,4n-1,2\le 4,8$

$\Rightarrow -1,5\le n\le 2,5\Rightarrow n=\left\{ -1,0,1,2 \right\}$

Có 4 giá trị n nguyên ứng với 4 vị trí mà vân sáng hệ 2 trùng với vân tối hệ 1. Chọn D

DẠNG 4: GIAO THOA BA BỨC XẠ ĐƠN SẮC ${{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}},{{\lambda }_{3}}$

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

- Khi hai nguồn giao thoa phát đồng thời ba bức xạ thì trên màn quan sát có thể thấy ba loại vân:

+) Vân đơi: vân có màu ứng với bức xạ 1, 2, và 3.

+) Vân trùng đôi: ba màu trộn 1-2, 2-3, 1-3.

+) Vân trùng ba: màu vân trung tâm. Cứ sau mỗi quãng lại có sự trùng nhau của ba vân sáng, khi đó ta có một vân trùng màu với vân trung tâm.

- Tại vị trí ba vân sáng trùng nhau thì:

${{x}_{\equiv 3}}={{k}_{1}}.{{i}_{1}}={{k}_{2}}.{{i}_{2}}={{k}_{3}}.{{i}_{3}}\,\left( {{k}_{1}},{{k}_{2}},{{k}_{3}}\in Z \right)\Leftrightarrow {{k}_{1}}.{{\lambda }_{1}}={{k}_{2}}.{{\lambda }_{2}}={{k}_{3}}.{{\lambda }_{3}}\,\,\left( 1 \right)$

+) Nguyên hóa và tối giản $\left( 1 \right)\Rightarrow {{k}_{1}}.a={{k}_{2}}.b={{k}_{3}}.c$

+) Tìm bội số chung nhỏ nhất BSCNN X của a, b, c.

Suy ra, một số kết quả sau:

+) Khoảng vân trùng ba: ${{i}_{\equiv 3}}=\frac{X}{a}{{i}_{1}}=\frac{X}{b}{{i}_{2}}=\frac{X}{a}{{i}_{3}}$

+) Vị trí các vân trùng ba trên màn: ${{x}_{\equiv 3}}=k.{{i}_{\equiv 3}}\,\,\left( k\in Z \right)$

+) Tổng các vị trí trùng ba trên đoạn MN bằng số các giá trị k nguyên thỏa mãn:

${{x}_{N}}\le {{x}_{\equiv 3}}=k.{{i}_{\equiv 3}}\le {{x}_{M}}$

+) Tổng vân quan sát được (trùng tính bằng một) trong khoảng MN bất kỳ:

$N\text{ }=\sum {{\sum }_{\hat{o}i}}\text{ }2\times {{\sum }_{ba}}$

_{VÍ DỤ MINH HỌA}

Ví dụ 18: Trong thí nghiệm giao thoa khe Y-âng, cho giao thoa đồng thời ba ánh sáng đơn sắc có bước sóng ${{\lambda }_{1}}=0,4\,\mu m;\,{{\lambda }_{2}}=0,5\,\mu m;\,{{\lambda }_{3}}=0,6\,\mu m$. Biết khoảng cách giữa hai khe là 0,8 mm và khoảng cách từ mặt phẳng chứa hai khe tới màn bằng 1,2 m. Khoảng cách giữa hai vân sáng gần nhau nhất có cùng màu với vân sáng trung tâm là A. 6 mm B. 8 mm C. 4 mm D. 9 mm

Lời giải:

Khoảng vân của bức xạ ${{i}_{1}}=\frac{{{\lambda }_{1}}D}{a}=\frac{0,{{4.10}^{-6}}1,2}{0,{{8.10}^{-3}}}=0,{{6.10}^{-3}}m=0,6\,mm$

Điều kiện trùng ba: ${{x}_{\equiv 3}}={{k}_{1}}.{{i}_{1}}={{k}_{2}}.{{i}_{2}}={{k}_{3}}.{{i}_{3}}\,\left( {{k}_{1}},{{k}_{2}},{{k}_{3}}\in Z \right)\Leftrightarrow {{k}_{1}}.{{\lambda }_{1}}={{k}_{2}}.{{\lambda }_{2}}={{k}_{3}}.{{\lambda }_{3}}$

$\Leftrightarrow 0,4{{k}_{1}}=0,5{{k}_{2}}=0,6{{k}_{3}}$

$\Leftrightarrow \,\,\,\,{{k}_{1}}\,\,\,\,\,\,=\,\,\,\frac{5}{4}{{k}_{2}}\,\,\,\,=\,\,\,\,\,\frac{6}{4}{{k}_{3}}$ (nguyên hóa chia cả 3 vế cho 0,4)

$\Leftrightarrow \,\,\,4{{k}_{1}}\,\,\,\,\,\,=\,\,\,5{{k}_{2}}\,\,\,\,=\,\,\,\,\,6{{k}_{3}}$ BSCNN $X\left( 4,5,6 \right)=60$

Khoảng cách giữa hai vân sáng gần nhau nhất cùng màu với vân trung tâm là khoảng vân trùng ba:

${{i}_{\equiv 3}}=\frac{X}{a}{{i}_{1}}=\frac{60}{4}.0,6=9\,mm$. Chọn D.

Ví dụ 19: [Trích đề thi THPT QG năm 2016] Trong thí nghiệm Y-âng về giao thoa ánh sáng, nguồn S phát ra đồng thời ba bức xạ đơn sắc có bước sóng lần lượt là: $0,4\,\mu m;\,\,0,5\,\mu m;\,\,0,6\,\mu m$. Trên màn, trong khoảng giữa hai vân sáng liên tiếp cùng màu với vân trung tâm, số vị trí mà ở đó chỉ có một bức xạ cho vân sáng là A. 27 B. 14 C. 34 D. 20

Lời giải:

Ta có: ${{\lambda }_{1}}:{{\lambda }_{2}}:{{\lambda }_{3}}=4:5:6$

$\Rightarrow BCNN\left( 4;5;6 \right)=60;\,BCNN\left( 4;5 \right)=20;\,BCNN\left( 5;6 \right)=30;\,BCNN\left( 4;6 \right)=12$.

Số vân sáng trong cả khoảng (kể cả vị trí vân trùng của 3 bức xạ), không kể vân trung tâm:

Của bức xạ ${{\lambda }_{1}}$ là: ${{N}_{1}}=\frac{60}{4}=15$; Của bức xạ ${{\lambda }_{2}}$ là: ${{N}_{2}}=\frac{60}{5}=12$; Của bức xạ ${{\lambda }_{3}}$ là: ${{N}_{3}}=\frac{60}{6}=10$

Của bức xạ ${{\lambda }_{1}};{{\lambda }_{2}}$ là: ${{N}_{12}}=\frac{60}{20}=3$; tương tự ${{N}_{13}}=\frac{60}{12}=5;\,{{N}_{12}}=\frac{60}{30}=2$ và ${{N}_{123}}=1$.

Vậy có: $N={{N}_{1}}+{{N}_{2}}+{{N}_{3}}-2\left( {{N}_{12}}+{{N}_{23}}+{{N}_{13}} \right)+3{{N}_{123}}=20$ số vân đơn sắc trong khoảng giữa 2 vân trùng của ba bức xạ. Chọn D.

Ví dụ 20: Trong thí nghiệm khe Y-âng về giao thoa ánh sáng, sử dụng đồng thời ba bức xạ đơn sắc có bước sóng là ${{\lambda }_{1}}=0,42\,\mu m,\,{{\lambda }_{2}}=0,56\,\mu m$ và ${{\lambda }_{3}}$. Trên màn, trong khoảng giữa hai vân sáng gần nhau nhất cùng màu với vân trung tâm, ta thấy có 2 vạch sáng là sự trùng nhau của hai vân sáng ${{\lambda }_{1}}$ và ${{\lambda }_{2}}$ và thấy có 3 vạch sáng là sự trùng nhau của hai vân sáng ${{\lambda }_{1}}$ và ${{\lambda }_{3}}$. Bước sóng ${{\lambda }_{3}}$ có thể là giá trị nào dưới đây? A. $0,60\,\mu m$ B. $0,65\,\mu m$ C. $0,76\,\mu m$ D. $0,63\,\mu m$

Lời giải:

Điều kiện trùng ba: ${{x}_{\equiv 3}}={{k}_{1}}.{{i}_{1}}={{k}_{2}}.{{i}_{2}}={{k}_{3}}.{{i}_{3}}\,\left( {{k}_{1}},{{k}_{2}},{{k}_{3}}\in Z \right)\Leftrightarrow {{k}_{1}}.{{\lambda }_{1}}={{k}_{2}}.{{\lambda }_{2}}={{k}_{3}}.{{\lambda }_{3}}$

$\Leftrightarrow 0,42{{k}_{1}}=0,56{{k}_{2}}={{\lambda }_{3}}{{k}_{3}}\Leftrightarrow 3{{k}_{1}}=4{{k}_{2}}=\ldots {{k}_{3}}$

Các cặp trùng nhau của bức xạ 1 và 2 là: $\left( 0,0 \right);\left( 4,3 \right);\left( 8,6 \right);\left( 12,9 \right);\ldots $

$\left( 0,0 \right)$ là cặp vân trung tâm trùng ba, trong khoảng hai vân sáng cùng màu vân trung tâm (vân trùng ba) có 2 vân trùng màu 1 và 2 nên cặp $\left( 12,9 \right)$ là cặp trùng ba tiếp theo.

Giữa cặp $\left( 0,0,0 \right)$ và $\left( 12,9,c \right)$ có 3 vân trùng đôi của 1 và 3 nên cặp trùng đôi đầu tiên của 1 và 3 là

$\left( 3,k \right)\Rightarrow 3{{i}_{1}}=k{{i}_{3}}\Leftrightarrow 3{{\lambda }_{1}}=k{{\lambda }_{3}}\Rightarrow k=\frac{3{{\lambda }_{1}}}{{{\lambda }_{3}}}=\frac{3.0,42}{{{\lambda }_{3}}}\,\,\left( * \right)$

Thay 4 đáp án đề cho vào (*), thấy với ${{\lambda }_{3}}=0,63\,\mu m$ thì $k=2\in Z$ thỏa mãn. Chọn D.

Ví dụ 21: Trong thí nghiệm khe Y-âng về giao thoa ánh sáng, nguồn S phát ra đồng thời ba ánh sáng đơn sắc có bước sóng lần lượt: $0,40\,\mu m$ (màu tím), $0,48\,\mu m$ (màu lam) và $0,72\,\mu m$ (màu đỏ). Giữa 2 vân sáng liên tiếp có màu giống như màu của vân trung tâm có số vân có màu đơn sắc lam và vân có màu đơn sắc đỏ là A. 11 vân lam, 5 vân đỏ B. 10 vân lam, 4 vân đỏ C. 8 vân lam, 4 vân đỏ D. 9 vân lam, 5 vân đỏ

Lời giải:

Vị trí 3 vân trùng nhau (có màu giống vân trung tâm) ${{x}_{\equiv 3}}={{k}_{t}}{{\lambda }_{t}}\frac{D}{a}={{k}_{\ell }}{{\lambda }_{\ell }}\frac{D}{a}={{k}_{d}}{{\lambda }_{d}}\frac{D}{a}$

$\Rightarrow {{k}_{t}}{{\lambda }_{t}}={{k}_{\ell }}{{\lambda }_{\ell }}={{k}_{d}}{{\lambda }_{d}}\Leftrightarrow 0,4{{k}_{t}}=0,48{{k}_{\ell }}=0,72{{k}_{d}}\Leftrightarrow 5{{k}_{t}}=6{{k}_{\ell }}=9{{k}_{d}}$

$BSCNN\left( 5,6,9 \right)=90\Rightarrow {{k}_{t}}=18,\,{{k}_{\ell }}=15;\,{{k}_{d}}=10$ (3 bộ số trùng nhau đầu tiên)

Lại có: ${{k}_{\ell }}{{\lambda }_{\ell }}={{k}_{d}}{{\lambda }_{d}}\Leftrightarrow 0,48{{k}_{\ell }}=0,72{{k}_{d}}\Leftrightarrow \frac{{{k}_{\ell }}}{{{k}_{d}}}=\frac{3}{2};\frac{6}{4};\frac{9}{6};\frac{12}{8};\frac{15}{10}$

${{k}_{\ell }}{{\lambda }_{\ell }}={{k}_{t}}{{\lambda }_{t}}\Leftrightarrow 0,48{{k}_{\ell }}=0,4{{k}_{t}}\Leftrightarrow \frac{{{k}_{\ell }}}{{{k}_{t}}}=\frac{5}{6};\frac{10}{12};\frac{15}{18}$

${{k}_{t}}{{\lambda }_{t}}={{k}_{d}}{{\lambda }_{d}}\Leftrightarrow 0,4{{k}_{t}}=0,72{{k}_{d}}\Leftrightarrow \frac{{{k}_{t}}}{{{k}_{d}}}=\frac{9}{5};\frac{18}{10}$

⇒ Giữa hai cặp vân trùng ba liên tiếp $\left( 0,0,0 \right)$ và $\left( 18,15,10 \right)$ có:

4 cặp lam đỏ trùng nhau; 2 cặp lam tím trùng nhau; 1 cặp tím đỏ trùng nhau

⇒ Vân màu lam $=14-4-2=8$

Vân màu đỏ $=9-4-1=4$. Chọn C.

Ví dụ 22: Trong thí nghiệm Y-âng về giao thoa ánh sáng. Lần thứ nhất, ánh sáng dùng trong thí nghiệm có 2 loại bức xạ ${{\lambda }_{1}}=0,5\,\mu m$ và ${{\lambda }_{2}}$ với $0,68\,\mu m<{{\lambda }_{2}}<0,72\,\mu m$, thì trong khoảng giữa hai vạch sáng gần nhau nhất cùng màu với vạch sáng trung tâm có 4 vân sáng màu đỏ ${{\lambda }_{2}}$. Lần thứ 2, ánh sáng dùng trong thí nghiệm có 3 loại bức xạ ${{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}}$ và ${{\lambda }_{3}}$ với ${{\lambda }_{3}}=\frac{6}{7}{{\lambda }_{2}}$, khi đó trong khoảng giữa 2 vạch sáng gần nhau nhất và cùng màu với vạch sáng trung tâm có bao nhiêu vạch sáng đơn sắc? A. 74 B. 104 C. 89 D. 59

Lời giải:

▪ Xét lần thứ nhất:

Tại vị trí vân sáng cùng màu vân trung tâm: ${{k}_{1}}.0,5=5.{{\lambda }_{2}}\Rightarrow {{\lambda }_{2}}=\frac{{{k}_{1}}}{10}$

$\Rightarrow 0,68\le {{\lambda }_{2}}=\frac{{{k}_{1}}}{10}\le 0,72$

$\Rightarrow 6,8\le {{k}_{1}}\le 7,2\Rightarrow {{k}_{1}}=7\Rightarrow {{\lambda }_{2}}=0,7\ \mu m\Rightarrow {{\lambda }_{3}}=0,6\,\mu m$

▪ Xét lần thứ hai:

Tại vị trí các vân sáng trùng nhau: ${{k}_{1}}.0,5={{k}_{2}}.0,7={{k}_{3}}.0,6\Leftrightarrow 5{{k}_{1}}=7{{k}_{2}}=6{{k}_{3}}$

$BSCNN\left( 5,7,6 \right)=210\Rightarrow {{k}_{1}}=42n,\,{{k}_{2}}=30n,\,{{k}_{3}}=35n$

+) Trong khoảng giữa hai vân sáng gần nhau nhất cùng màu với vân sáng trung tâm có 41 vân của ${{\lambda }_{1}}$, 29 vân ${{\lambda }_{2}}$, 34 vân ${{\lambda }_{3}}$.

+) Các cặp trùng nhau của ${{\lambda }_{1}}$ và ${{\lambda }_{2}}$:

${{k}_{1}}$	0	7	14	21	28	35	42
${{k}_{2}}$	0	5	10	15	20	25	30

⇒ Giữa 2 vân trùng ba có 5 cặp 1, 2 trùng nhau.

+) Các cặp trùng nhau của ${{\lambda }_{2}}$ và ${{\lambda }_{3}}$:

${{k}_{2}}$	0	6	12	18	24	30
${{k}_{3}}$	0	7	14	21	28	35

⇒ Giữa 2 vân trùng ba có 4 cặp 2, 3 trùng nhau.

+ Các cặp trùng nhau của ${{\lambda }_{1}}$ và ${{\lambda }_{3}}$:

${{k}_{1}}$	0	6	12	18	24	30	36	42
${{k}_{3}}$	0	5	10	15	20	25	30	35

⇒ Giữa 2 vân trùng ba có 6 cặp 1, 3 trùng nhau.

⇒ Tổng số vân đơn sắc giữa 2 vạch trùng ba là: $41+29+34-5-4-6=89$. Chọn C.

Ví dụ 23: Trong thí nghiệm Y-âng về giao thoa ánh sáng, nguồn S phát đồng thời ba bức xạ có bước sóng lần lượt ${{\lambda }_{1}}=0,45\,\mu m,\,{{\lambda }_{2}}=0,6\,\mu m,\,{{\lambda }_{3}}=0,75\,\mu m$. Trên màn quan sát, trong khoảng giữa hai vân liên tiếp cùng màu với vân sáng trung tâm, số vân tối trùng nhau của các bức xạ là A. 7 B. 5 C. 4 D. 6

Lời giải:

3 vân sáng trùng nhau, có: $0,45{{k}_{1}}=0,6{{k}_{2}}=0,75{{k}_{3}}\Leftrightarrow 3{{k}_{1}}=4{{k}_{2}}=5{{k}_{3}}$

$BSCNN\left( 3,4,5 \right)=60\Rightarrow $ Bội 3 vân sáng trùng nhau là: $\left( {{k}_{1}},{{k}_{2}},{{k}_{3}} \right)=\left( 0,0,0 \right);\left( 20,15,12 \right);\ldots $

Tìm số bức xạ tối trùng nhau trong khoảng 2 vân sáng trùng ba vừa tìm:

+) Bức xạ 1 và 2 cho vân tối trùng nhau, có: $0,45\left( {{k}_{1}}+0,5 \right)=0,6\left( {{k}_{2}}+0,5 \right)\Rightarrow {{k}_{1}}=\frac{4}{3}{{k}_{2}}+\frac{1}{6}$

Sử dụng máy tính: mode + 7, cho ${{k}_{2}}$ chạy từ 0 đến 15 thì không được giá trị nguyên nào của ${{k}_{1}}$ ⇒ không cho vân tối trùng nhau.

+) Bức xạ 1 và 3 cho vân tối trùng nhau, có: $0,45\left( {{k}_{1}}+0,5 \right)=0,75\left( {{k}_{3}}+0,5 \right)\Rightarrow {{k}_{1}}=\frac{5}{3}{{k}_{3}}+\frac{1}{3}$

Sử dụng máy tính: mode + 7, cho ${{k}_{3}}$ chạy từ 0 đến 12, ta được 4 vân tối trùng nhau.

${{k}_{1}}$	2	1	12	17	22
${{k}_{3}}$	1	4	7	10	13

+) Bức xạ 2 và 3 cho vân tối trùng nhau, có: $0,6\left( {{k}_{2}}+0,5 \right)=0,75\left( {{k}_{3}}+0,5 \right)\Rightarrow {{k}_{2}}=\frac{5}{4}{{k}_{3}}+\frac{1}{8}$

Sử dụng máy tính: mode + 7, cho ${{k}_{3}}$ chạy từ 0 đến 12 thì không được giá trị nguyên nào của ${{k}_{2}}$

⇒ không cho vân tối trùng nhau ⇒ Tổng có 4 vân tối trùng nhau. Chọn C.

Ví dụ 24: Trong thí nghiệm Y-âng, cho 3 bức xạ ${{\lambda }_{1}}=400\,nm,\,{{\lambda }_{2}}=500\,nm,\,{{\lambda }_{3}}=600\,nm$. Trên màn quan sát ta hứng được hệ vân giao thoa trong khoảng giữa 3 vân sáng gần nhau nhất cùng màu với vân sáng trung tâm, ta quan sát được số vân sáng là: A. 54 B. 35 C. 55 D. 34

Lời giải:

Ta có $\frac{{{k}_{1}}}{{{k}_{2}}}=\frac{{{i}_{2}}}{{{i}_{1}}}=\frac{5}{4}=\frac{15}{12},\,\frac{{{k}_{1}}}{{{k}_{3}}}=\frac{{{i}_{3}}}{{{i}_{1}}}=\frac{3}{2}=\frac{15}{10}\Rightarrow {{i}_{123}}=15{{i}_{1}}=12{{i}_{2}}=10{{i}_{3}}$

Trong khoảng giữa 3 vân sáng cùng màu với vân trung tâm

Số vân sáng của bức xạ 1 là: ${{N}_{1}}=\frac{2{{i}_{123}}}{{{i}_{1}}}-1=\frac{30{{i}_{1}}}{{{i}_{1}}}-1=29$

Số vân sáng của bức xạ 2 là: ${{N}_{2}}=\frac{2{{i}_{123}}}{{{i}_{2}}}-1=\frac{24{{i}_{2}}}{{{i}_{2}}}-1=23$

Số vân sáng của bức xạ 3 là: ${{N}_{3}}=\frac{2{{i}_{123}}}{{{i}_{3}}}-1=\frac{20{{i}_{3}}}{{{i}_{3}}}-1=19$

Số vân trùng của bức xạ 1, 2 là ${{N}_{12}}=\frac{2{{i}_{123}}}{{{i}_{12}}}-1=\frac{30{{i}_{1}}}{5{{i}_{1}}}-1=5$

Số vân trùng của bức xạ 1, 3 là ${{N}_{13}}=\frac{2{{i}_{123}}}{{{i}_{13}}}=\frac{30{{i}_{1}}}{3{{i}_{1}}}-1=9$

Số vân trùng của bức xạ 2, 3 là $\frac{{{k}_{2}}}{{{k}_{3}}}=\frac{{{i}_{3}}}{{{i}_{2}}}=\frac{6}{5}\Rightarrow {{i}_{23}}=6{{i}_{2}}\Rightarrow {{N}_{23}}=\frac{2{{i}_{123}}}{{{i}_{23}}}-1=\frac{24{{i}_{2}}}{6{{i}_{2}}}-1=3$

Số vân trùng của bức xạ 1,2,3 là ${{N}_{123}}=1$

Số vân sáng quan sát được $N={{N}_{1}}+{{N}_{2}}+{{N}_{3}}-{{N}_{12}}-{{N}_{13}}-{{N}_{23}}+{{N}_{123}}=55$. Chọn C.

Ví dụ 25: Trong thí nghiệm Y-âng về giao thoa ánh sáng. Lần thứ nhất, ánh sáng dùng trong thí nghiệm có 2 loại bức xạ ${{\lambda }_{1}}=0,56\,\mu m$ và ${{\lambda }_{2}}$ với $0,67\,\mu m<{{\lambda }_{2}}<0,74\,\mu m$, thì trong khoảng giữa hai vạch sáng gần nhau nhất cùng màu với vạch sáng trung tâm có 6 vân sáng màu đỏ ${{\lambda }_{2}}$. Lần thứ 2, ánh sáng dùng trong thí nghiệm có 3 loại bức xạ ${{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}}$ và ${{\lambda }_{3}}$ với ${{\lambda }_{3}}=\frac{7}{12}{{\lambda }_{2}}$, khi đó trong khoảng giữa 2 vạch sáng gần nhau nhất và cùng màu với vạch sáng trung tâm còn có bao nhiêu vạch sáng đơn sắc khác? A. 25 B. 23 C. 21 D. 19

Lời giải:

Ta có $\frac{{{i}_{1}}}{{{i}_{2}}}=\frac{{{k}_{2}}}{{{k}_{1}}}\Leftrightarrow {{i}_{tr}}={{k}_{1}}{{i}_{1}}={{k}_{2}}{{i}_{2}}\Leftrightarrow {{k}_{1}}.0,56=7{{\lambda }_{2}}\Rightarrow {{\lambda }_{2}}=0,72\,\mu m\left( {{k}_{1}}=9 \right)$

$\Rightarrow {{\lambda }_{3}}=\frac{7}{12}{{\lambda }_{2}}=0,42\,\mu m\Rightarrow \frac{{{k}_{1}}}{{{k}_{2}}}=\frac{{{i}_{2}}}{{{i}_{1}}}=\frac{9}{7},\,\frac{{{k}_{1}}}{{{k}_{3}}}=\frac{{{i}_{3}}}{{{i}_{1}}}=\frac{3}{4}=\frac{9}{12}\Rightarrow {{N}_{1}}=8,\,{{N}_{2}}=6,\,{{N}_{3}}=11$

Mặt khác ta có: $\left\{ \begin{array}{} {{N}_{12}}=0 \\ {} {{N}_{13}}=1 \\ \end{array} \right.$ và $\frac{{{k}_{2}}}{{{k}_{3}}}=\frac{{{i}_{3}}}{{{i}_{3}}}=\frac{7}{12}\Rightarrow {{N}_{23}}=0$

Số vân sáng đơn sắc là ${{N}_{ds}}={{N}_{1}}+{{N}_{2}}+{{N}_{3}}-2\left( {{N}_{12}}+{{N}_{13}}+{{N}_{23}} \right)+{{N}_{123}}=23$ . Chọn B.