Bài tập 1: Cho hình chóp $S.ABC$ có thể tích $V=18.$ Gọi M là trung điểm của SA, E là điểm đối xứng với B qua C. Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng SB và ME.
a) Tính thể tích khối chóp MABE b) Tính thể tích khối chóp AMNBC c) Tính thể tích khối chóp SANE |
Lời giải chi tiết
Vì E đối xứng với B qua C $\Rightarrow $ C là trung điểm của BE.
Mà M là trung điểm của SB. $SC\cap ME=N$
Suy ra N là trọng tâm $\Delta SBE\xrightarrow{{}}\frac{SN}{SC}=\frac{2}{3}$.
a) Ta có: ${{S}_{\Delta SBE}}=\frac{1}{2}{{d}_{A\to BC}}.BE=2\frac{1}{2}{{d}_{A\to BC}}.BC=2.{{S}_{ABC}}$
Và $\frac{d\left( S;\left( ABC \right) \right)}{d\left( M;\left( ABC \right) \right)}=\frac{SB}{BM}\Rightarrow d\left( M;\left( ABC \right) \right)=\frac{1}{2}d\left( S;\left( ABC \right) \right)$
Khi đó ${{V}_{M.ABE}}=\frac{1}{3}d\left( M;\left( ABC \right) \right).{{S}_{\Delta SBE}}$
$=\frac{1}{2}.2.\frac{1}{3}d\left( M;\left( ABC \right) \right).{{S}_{\Delta ABC}}={{V}_{S.ABC}}=18.$
b) Ta có $\frac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SC}=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\Rightarrow {{V}_{S.AMN}}=\frac{1}{3}{{V}_{S.ABC}}$
Lại có ${{V}_{S.ABC}}={{V}_{S.AMN}}+{{V}_{AMNBC}}\xrightarrow[{}]{}{{V}_{AMNBC}}={{V}_{S.ABC}}-{{V}_{S.AMN}}=\frac{2}{3}{{V}_{S.ABC}}=\frac{2}{3}.18=12$
c) Ta có ${{V}_{S.ANE}}={{V}_{S.AME}}-{{V}_{S.AMN}}={{V}_{S.AME}}-\frac{1}{3}{{V}_{S.ABC}}$
Lại có $\frac{{{V}_{S.AME}}}{{{V}_{S.ABE}}}=\frac{SM}{SB}=\frac{1}{2}\xrightarrow{{}}{{V}_{S.AME}}=\frac{1}{2}{{V}_{S.ABE}}=\frac{1}{2}.2{{V}_{S.ABC}}={{V}_{S.ABC}}$
Do đó ${{V}_{S.ANE}}={{V}_{S.ABC}}-\frac{1}{3}{{V}_{S.ABC}}=\frac{2}{3}{{V}_{S.ABC}}=\frac{2}{3}.18=12$
Bài tập 2: Cho hình chóp đều $S.ABC$ có đáy cạnh bằng a, cạnh bên bằng 2a.
a) Gọi M, N lần lượt thuộc AB, AC sao cho $2AM=AB,AN=2NC.$ Tính ${{V}_{S.MBCN}}$ b) Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua trọng tâm của tam giác ABC, song song với SA và BC, biết $\left( P \right)$ cắt SB, SC lần lượt tại P, Q. Tính thể tích khối chóp MPQCB |
Lời giải chi tiết
Gọi G là trọng tâm tam giác $ABC\Rightarrow SG\bot \left( ABC \right)$.
Tam giác SAG vuông tại G, có
$SG=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{G}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{33}}{3}.$
$\Rightarrow $ Thể tích khối chóp $S.ABC$ là ${{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}.SG.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{11}}{12}$
a) Ta có $\frac{{{S}_{\Delta AMN}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=\frac{AM}{AB}.\frac{AN}{AC}=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{1}{3}$
Mà ${{V}_{S.ABC}}={{V}_{S.AMN}}+{{V}_{S.MBCN}}\xrightarrow[{}]{}{{V}_{S.MBCN}}=\frac{2}{3}{{V}_{S.ABC}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{11}}{18}$
b) Qua G kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB, AC lần lượt tại E, N. Tương tự, từ E, N kẻ các đường thẳng song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại P, Q.
Dễ dàng chứng minh được $\frac{SP}{SB}=\frac{SQ}{SC}=\frac{AN}{AC}=\frac{2}{3}.$
Ta có: ${{V}_{MPQCB}}=\frac{1}{2}{{V}_{A.PQCB}}=\frac{1}{2}\left( {{V}_{S.ABC}}-{{V}_{S.APQ}} \right)=\frac{1}{2}\left( {{V}_{S.ABC}}-\frac{SP}{SB}.\frac{SQ}{SC}.{{V}_{S.ABC}} \right)=\frac{5}{18}{{V}_{S.ABC}}.$
Vậy thể tích cần tìm là ${{V}_{MPQCB}}=\frac{5}{18}.\frac{{{a}^{3}}\sqrt{11}}{12}=\frac{5\sqrt{11}}{216}{{a}^{3}}$.
Bài tập 3: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy ABCD là hình vuông cạnh $a\sqrt{2}$, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBD \right)$ và $\left( ABCD \right)$bằng $45{}^\circ $.
a) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, AB. Tính ${{V}_{MNPD}}$. b) Gọi H là hình chiếu của A trên SD; E là trung điểm của BC. Nối AC cắt DE tại F. Tính thể tích các khối đa diện MHCD, HFCD. |
Lời giải chi tiết
Gọi O là tâm hình vuông ABCD $\Rightarrow \widehat{\left( SBD \right);\left( ABCD \right)}=\widehat{SOA}=45{}^\circ $
Suy ra$SA=OA=\frac{AC}{2}=a\xrightarrow[{}]{}{{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\frac{a}{3}.{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}=\frac{2{{a}^{3}}}{3}.$
a) Ta có ${{S}_{\Delta MNP}}={{S}_{\Delta SAB}}-{{S}_{\Delta SMN}}-{{S}_{\Delta AMP}}-{{S}_{\Delta BPN}}$
$={{S}_{\Delta SAB}}-\frac{1}{4}{{S}_{\Delta SAB}}-\frac{1}{4}{{S}_{\Delta SAB}}-\frac{1}{4}{{S}_{\Delta SAB}}=\frac{1}{4}{{S}_{\Delta SAB}}.$
Lại có ${{V}_{MNPD}}={{V}_{D.MNP}}=\frac{1}{3}d\left( D;\left( SAB \right) \right).{{S}_{\Delta MNP}}=\frac{1}{4}{{V}_{D.SAB}}$
$=\frac{1}{4}{{V}_{S.ABD}}=\frac{1}{4}.\frac{{{S}_{\Delta ABD}}}{{{S}_{ABCD}}}.{{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{8}{{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{8}.\frac{2{{a}^{3}}}{3}=\frac{{{a}^{3}}}{12}.$
b) Xét $\Delta SAD$ vuông tại A, đường cao AH $\Rightarrow \frac{SH}{SD}={{\left( \frac{SA}{SD} \right)}^{2}}=\frac{1}{3}.$
Tính thể tích khối chóp MHCD.
Ta có $\frac{{{S}_{\Delta HCD}}}{{{S}_{\Delta SCD}}}=\frac{HD}{SD}=\frac{1}{3}\Rightarrow {{S}_{\Delta HCD}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta SCD}}$
$\Rightarrow {{V}_{M.HCD}}=\frac{1}{3}.d\left( M;\left( SCD \right) \right).{{S}_{\Delta HCD}}=\frac{1}{6}.\frac{1}{3}.d\left( A;\left( SCD \right) \right).{{S}_{\Delta SCD}}$
$=\frac{1}{6}{{V}_{A.SCD}}=\frac{1}{6}{{V}_{S.ACD}}=\frac{1}{6}.\frac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{12}.{{V}_{S.ABCD}}=\frac{{{a}^{3}}}{18}.$
Tính thể tích khối chóp HFCD.
Vì $EC//AD\Rightarrow \frac{EC}{AD}=\frac{CF}{AC}=\frac{EF}{FD}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{DF}{DE}=\frac{2}{3}.$
Cách 1. Ta có ${{V}_{H.FCD}}=\frac{1}{3}.d\left( H;\left( ABCD \right) \right).{{S}_{\Delta FCD}}$ mà $\frac{d\left( H;\left( ABCD \right) \right)}{d\left( S;\left( ABCD \right) \right)}=\frac{HD}{SD}=\frac{2}{3}.$
Và $\frac{{{S}_{\Delta FCD}}}{{{S}_{\Delta ECD}}}=\frac{DF}{DE}=\frac{2}{3}\xrightarrow{{}}{{V}_{H.FCD}}=\frac{4}{9}.{{V}_{S.ECD}}=\frac{4}{9}.\frac{1}{4}{{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{9}{{V}_{S.ABCD}}=\frac{2{{a}^{3}}}{27}.$
Cách 2. Ta có ${{V}_{H.FCD}}={{V}_{F.HCD}}=\frac{1}{3}.d\left( F;\left( SCD \right) \right).{{S}_{\Delta HCD}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{3}d\left( A;\left( SCD \right) \right).\frac{2}{3}{{S}_{\Delta SCD}}$
$=\frac{2}{9}{{V}_{A.SCD}}=\frac{2}{9}{{V}_{S.ACD}}=\frac{2}{9}.\frac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{9}{{V}_{S.ABCD}}=\frac{2{{a}^{3}}}{27}.$
Bài tập 4: Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Gọi ${V}'$ là thể tích của khối tứ diện có các đỉnh là trọng tâm của các mặt của khối tứ diện ABCD. Tính tỉ số $\frac{{{V}'}}{V}$.
A. $\frac{{{V}'}}{V}=\frac{8}{27}.$ B. $\frac{{{V}'}}{V}=\frac{23}{27}.$ C. $\frac{{{V}'}}{V}=\frac{1}{27}.$ D. $\frac{{{V}'}}{V}=\frac{4}{27}.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi M là trung điểm AC; E, F lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ACD. Trong tam giác MBD có $EF=\frac{1}{3}BD.$
Tương tự ta có các cạnh còn lại của tứ diện mới sinh ra bằng $\frac{1}{3}$ cạnh của tứ diện ban đầu. Do đó $\frac{{{V}'}}{V}={{\left( \frac{1}{3} \right)}^{3}}=\frac{1}{27}.$ Chọn C.
Bài tập 5: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc và $AB=6a,AC=9a,AD=3a.$ Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB. Tính thể tích V của khối tứ diện AMNP.
A. $V=8{{a}^{2}}.$ B. $V=4{{a}^{2}}.$ C. $V=6{{a}^{2}}.$ D. $V=2{{a}^{2}}.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}AB.AC.AD=27{{a}^{3}}.$
Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của BC, CD, DB.
Suy ra ${{V}_{AEFG}}=\frac{1}{4}{{V}_{ABCD}}=\frac{27}{4}{{a}^{3}}.$
Do M, N, P là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB.
Nên ta có: $\frac{AM}{AE}=\frac{AN}{AF}=\frac{AP}{AG}=\frac{2}{3}.$
Lại có: $\frac{{{V}_{A.MNP}}}{{{V}_{A.EFG}}}=\frac{AM}{AE}.\frac{AN}{AF}.\frac{AP}{AG}=\frac{8}{27}.$
$\xrightarrow{{}}{{V}_{A.MNP}}=\frac{8}{27}.{{V}_{A.EFG}}=2{{a}^{3}}.$ Chọn D.
Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao bằng 9, diện tích đáy bằng 5. Gọi M là trung điểm của cạnh SB và N thuộc cạnh SC sao cho $NS=2NC.$ Tính thể tích V của khối chóp A.BMNC.
A. $V=15.$ B. $V=5.$ C. $V=10.$ D. $V=6.$ |
Lời giải chi tiết
Từ giả thiết, ta có $\frac{SN}{SC}=\frac{2}{3}$ và $\frac{SM}{SB}=\frac{1}{2}$.
Thể tích khối chóp ${{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}.9.5=15$
Ta có $\frac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SC}=\frac{1}{3}\Rightarrow {{V}_{ABMNC}}=\frac{2}{3}{{V}_{S.ABC}}=10.$ Chọn C.
Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABC có $SA=3,SB=4,SC=5$ và $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}=60{}^\circ .$ Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
A. $V=5\sqrt{2}.$ B. $V=5\sqrt{3}.$ C. $V=10.$ D. $V=15.$ |
Lời giải chi tiết
Trên SB, SC lần lượt lấy các điểm E, F sao cho $SE=SF=3.$.
Khi đó S.AEF là khối tứ diện đều có cạnh $a=3$.
Suy ra thể tích khối chóp S.AEF là ${{V}_{S.AEF}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}=\frac{9\sqrt{2}}{4}.$
Ta có: $\frac{{{V}_{S.AEF}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SE}{SB}.\frac{SF}{SC}=\frac{3}{4}.\frac{3}{5}=\frac{9}{20}.$
$\xrightarrow{{}}{{V}_{S.ABC}}=\frac{20}{9}.{{V}_{S.AEF}}=5\sqrt{2}.$ Chọn A.
Bài tập 8: Cho tứ diện đều cạnh ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng $\left( MNE \right)$ chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V. Tính V
A. $V=\frac{7\sqrt{2}{{a}^{3}}}{216}$ B. $V=\frac{11\sqrt{2}{{a}^{3}}}{216}$ C. $V=\frac{13\sqrt{2}{{a}^{3}}}{216}$ D. $V=\frac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{18}$ |
Lời giải chi tiết
Thể tích khối tứ diện đều ABCD cạnh a là ${{V}_{ABCD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$
Gọi $P=EN\cap CD$ và $Q=EM\cap AD$.
$\Rightarrow $P, Q lần lượt là trọng tâm của $\Delta BCE$ và $\Delta ABE$
Gọi S là diện tích tam giác BCD $\Rightarrow {{S}_{\Delta CDE}}={{S}_{\Delta BNE}}=S.$
Ta có: ${{S}_{\Delta PDE}}=\frac{1}{3}.{{S}_{\Delta CDE}}=\frac{S}{3}.$
Gọi h là chiều cao của tứ diện ABCD, suy ra
$d\left[ M;\left( BCD \right) \right]=\frac{h}{2};d\left[ Q;\left( BCD \right) \right]=\frac{h}{3}.$
Khi đó ${{V}_{M.BNE}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta BNE}}.d\left( M;\left( BCD \right) \right)=\frac{S.h}{6}$;
Và ${{V}_{Q.PDE}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta PDE}}.d\left( Q;\left( BCD \right) \right)=\frac{S.h}{27}$
Suy ra ${{V}_{PQD.NMB}}={{V}_{M.BNE}}-{{V}_{Q.PDE}}=\frac{S.h}{6}-\frac{S.h}{27}=\frac{7S.h}{54}=\frac{7}{18}.\frac{S.h}{3}=\frac{7}{18}.{{V}_{ABCD}}.$
Vậy thể tích khối đa diện chứa đỉnh A là $V={{V}_{ABCD}}-{{V}_{PQD.NMB}}=\frac{11}{18}.\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}=\frac{11\sqrt{2}{{a}^{3}}}{216}$. Chọn B.
Bài tập 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, $AD=2,BA=BC=1.$ Cạnh bên SA vuông góc với đáy và $SA=\sqrt{2}$. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Tính thể tích V của khối đa diện SAHCD.
A. $V=\frac{2\sqrt{2}}{3}.$ B. $V=\frac{4\sqrt{2}}{9}.$ C. $V=\frac{4\sqrt{2}}{3}.$ D. $V=\frac{2\sqrt{2}}{9}.$ |
Lời giải chi tiết
Tam giác vuông SAB, có $SB=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\sqrt{3}$
Gọi M là trung điểm của AD $\Rightarrow $ ABCM là hình vuông nên $CM=AB=a=\frac{AD}{2}.$
$\xrightarrow{{}}$Tam giác ACD vuông tại C.
Ta có ${{V}_{S.AHCD}}={{V}_{S.ACD}}+{{V}_{S.AHC}}$
Vậy ${{V}_{S.AHCD}}=\frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{2}}{9}=\frac{4\sqrt{2}}{9}.$ Chọn B
Bài tập 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $SA=a$ vuông góc với mặt phẳng đáy $\left( ABCD \right)$. Điểm M thuộc cạnh SA sao cho $\frac{SM}{SA}=k$. Xác định k sao cho mặt phẳng $\left( MBC \right)$ chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau.
A. $k=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}.$ B. $k=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}.$ C. $k=\frac{-1+\sqrt{2}}{2}.$ D. $k=\frac{1+\sqrt{5}}{4}.$ |
Lời giải chi tiết
Cách 1. Kẻ $MN//AD\left( N\in SD \right)\xrightarrow{{}}\frac{SN}{SD}=\frac{SM}{SA}=k.$
Khi đó mặt phẳng $\left( MBC \right)$ chia khối chóp thành hai phần là S.MBCN và AMBDNC.
Ta có ${{V}_{S.MBCN}}={{V}_{S.MBC}}+{{V}_{S.MCN}}.$
$\frac{{{V}_{S.MBC}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SM}{SA}=k\Rightarrow {{V}_{S.MBC}}=k.{{V}_{S.ABC}}.$
$\frac{{{V}_{S.MCN}}}{{{V}_{S.ACD}}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SD}={{k}^{2}}\Rightarrow {{V}_{S.MCN}}={{k}^{2}}.{{V}_{S.ACD}}.$
Lại có ${{V}_{S.MBCN}}=\frac{1}{2}.{{V}_{S.ABCD}}\Rightarrow k.{{V}_{S.ABC}}+{{k}^{2}}.{{V}_{S.ACD}}=\frac{1}{2}.{{V}_{S.ABCD}}$
$\Rightarrow k.\frac{{{V}_{S.ABCD}}}{2}+{{k}^{2}}.\frac{{{V}_{S.ABCD}}}{2}=\frac{1}{2}.{{V}_{S.ABCD}}\xrightarrow{{}}k+{{k}^{2}}=1\Rightarrow k=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}.$
Cách 2: Với $\frac{SA}{SM}=\frac{1}{k};\frac{SB}{SB}=1;\frac{SC}{SC}=1;\frac{SD}{SN}=\frac{1}{k}$
Áp dụng công thức, ta được $\frac{{{V}_{S.MBCN}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{2.\frac{1}{k}+2}{4.\frac{1}{k}.\frac{1}{k}}=\frac{{{k}^{2}}+1}{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow k=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}.$ Chọn B.
Bài tập 11: Cho hình chóp đều S.ABCD. Gọi N là trung điểm SB, M là điểm đối xứng với B qua A. Mặt phẳng $\left( MNC \right)$chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích lần lượt là ${{V}_{1}},{{V}_{2}}$ với ${{V}_{1}}<{{V}_{2}}$. Tính tỉ số thể tích $\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}$.
A. $\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{5}{7}$ B. $\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{5}{11}$ C. $\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{5}{9}$ D. $\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{5}{13}$ |
Lời giải chi tiết
Gọi h, S lần lượt là chiều cao và diện tích đáy của khối chóp S.ABCD. Khi đó ${{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}S.h.$
Nối MN cắt SA tại E, MC cắt AD tại F.
Tam giác SBM có A, N lần lượt là trung điểm của BM và SB. Suy ra E là trọng tâm tam giác SBM.
Vì ACDM là hình bình hành nên F là trung điểm MC.
Ta có ${{V}_{BNC.AEF}}={{V}_{ABCEN}}+{{V}_{E.ACF}}$
$\frac{{{V}_{S.ENC}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SE}{SA}.\frac{SN}{SB}=\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{3}\xrightarrow{{}}{{V}_{S.ENC}}=\frac{1}{3}{{V}_{S.ABC}}$
$\xrightarrow[{}]{}{{V}_{ABCEN}}=\frac{2}{3}{{V}_{S.ABC}}=\frac{2}{3}\left( \frac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}} \right)=\frac{1}{3}{{V}_{S.ABCD}}.$
${{V}_{E.ACF}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta ACF}}.d\left( E;\left( ACF \right) \right)=\frac{1}{3}.\frac{1}{4}S.\frac{1}{3}h=\frac{1}{12}.{{V}_{S.ABCD}}.$
Do đó ${{V}_{BNC.AEF}}={{V}_{ABCEN}}+{{V}_{E.ACF}}=\frac{1}{3}{{V}_{S.ABCD}}+\frac{1}{12}.{{V}_{S.ABCD}}=\frac{5}{12}.{{V}_{S.ABCD}}={{V}_{1}}.$
Suy ra ${{V}_{2}}=\frac{7}{12}.{{V}_{S.ABCD}}\xrightarrow{{}}\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{5}{7}.$ Chọn A.
Ví dụ 12: Cho khối hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$. Gọi M thuộc cạnh AB sao cho $MB=2MA.$ Mặt phẳng $\left( M{B}'{D}' \right)$ chia khối hộp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
A. $\frac{5}{12}.$ B. $\frac{7}{17}.$ C. $\frac{13}{41}.$ D. $\frac{5}{17}.$ |
Lời giải
Lý thuyết bổ sung:
Cho hình chóp cụt $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có chiều cao h, ${{S}_{1}}$ là diện tích tam giác ABC, ${{S}_{2}}$ là diện tích tam giác ${A}'{B}'{C}'.$ Thể tích khối chóp cụt $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là $$
Qua M kẻ đường thẳng $d//BD,$ cắt AD tại N
Suy ra thiết diện cắt bởi mặt phẳng $\left( M{B}'{D}' \right)$ là $MN{D}'{B}'$
Khi đó ${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}={{V}_{AMN.{A}'{B}'{D}'}}+{{V}_{{B}'{C}'{D}'.MBCDN}}$
Đặt $A{A}'=h;{{S}_{ABCD}}=S\xrightarrow{{}}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=S.h$
Áp dụng công thức tính thể tích chóp cụt, ta có
${{V}_{AMN.{A}'{B}'{D}'}}=\frac{1}{3}A{A}'.\left( {{S}_{\Delta AMN}}+{{S}_{\Delta {A}'{B}'{D}'}}+\sqrt{{{S}_{\Delta AMN}}.{{S}_{\Delta {A}'{B}'{D}'}}} \right)$
Mà $\frac{{{S}_{\Delta AMN}}}{{{S}_{\Delta ABD}}}=\frac{AM}{AB}.\frac{AN}{AD}=\frac{1}{9}\Rightarrow {{S}_{\Delta AMN}}=\frac{1}{9}{{S}_{\Delta ABD}}=\frac{S}{18}.$
Và ${{S}_{\Delta {A}'{B}'{D}'}}=\frac{S}{2}\xrightarrow{{}}{{V}_{AMN.{A}'{B}'{D}'}}=\frac{1}{3}h\left( \frac{S}{18}+\frac{S}{2}+\sqrt{\frac{S}{18}.\frac{S}{2}} \right)=\frac{13}{54}V$
Vậy tỉ số thể tích cần tính là $\frac{13}{54}:\left( 1-\frac{13}{54} \right)=\frac{13}{41}.$ Chọn C.
Ví dụ 13: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$. Gọi I là trung điểm của $B{B}',$ mặt phẳng $\left( DI{C}' \right)$ chia khối lập phương thành 2 phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng
A. $\frac{3}{8}$ B. $\frac{2}{3}$ C. $\frac{7}{17}.$ D. $\frac{5}{12}$ |
Lời giải
Tham khảo hình vẽ dưới đây:
Đặt $A{A}'=h;{{S}_{ABCD}}=S\xrightarrow{{}}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=S.h$
Nối $I{C}'$ cắt BC tại F; nối FD cắt AB tại M.
Suy ra $mp\left( DI{C}' \right)$ chia khối lập phương thành hai khối $IBM.{C}'CD$ và $IMA{A}'{B}'.{C}'D{D}'$
Vì M là trung điểm của AB mà $BM//CD\Rightarrow \frac{FB}{FC}=\frac{1}{2}.$
Ta có $BI//C{C}'\Rightarrow \frac{IB}{C{C}'}=\frac{FB}{FC}=\frac{1}{2}\Rightarrow {{S}_{\Delta IBM}}=\frac{1}{4}{{S}_{\Delta BA{B}'}}=\frac{1}{8}{{S}_{AB{B}'{A}'}}$
Áp dụng công thức tính thể tích chóp cụt, ta được
${{V}_{IBM.{C}'CD}}=\frac{1}{3}BC.\left( {{S}_{\Delta IBM}}+{{S}_{\Delta {C}'CD}}+\sqrt{{{S}_{\Delta IBM}}.{{S}_{\Delta {C}'CD}}} \right)=\frac{1}{3}h.\left( \frac{S}{8}+\frac{S}{2}+\sqrt{\frac{S}{8}.\frac{S}{2}} \right)=\frac{7}{24}.Sh$
Do đó, thể tích khối $IMA{A}'{B}'.{C}'D{D}'$ là ${{V}_{IMA{A}'{B}'.{C}'D{D}'}}=V-\frac{7}{24}V=\frac{17}{24}V.$
Vậy tỉ số cần tính là $\frac{7}{24}:\frac{17}{24}=\frac{7}{17}.$ Chọn C.
Ví dụ 14: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có thể tích bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $A{A}'$ và $B{B}'$. Đường thẳng CM cắt đường thẳng ${C}'{A}'$ tại P, đường thẳng CN cắt đường thẳng ${C}'{B}'$ tại Q. Thể tích của khối đa diện lồi ${A}'MP{B}'NQ$ bằng:
A. 1 B. $\frac{1}{3}$ C. $\frac{1}{2}$ D. $\frac{2}{3}$ |
Lời giải
Ta có: ${{V}_{C.ABNM}}=\frac{1}{2}{{V}_{C.AB{B}'{A}'}}=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\frac{1}{3}.$
Suy ra ${{V}_{CMN.{A}'{B}'{C}'}}={{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}-{{V}_{C.ABNM}}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$
Lại có ${{V}_{C.{C}'PQ}}={{V}_{CMN.{A}'{B}'{C}'}}+{{V}_{{A}'MP{B}'NQ}}$
$\Rightarrow {{V}_{{A}'MP{B}'NQ}}={{V}_{C.{C}'PQ}}-\frac{2}{3}.$ Mà ${{S}_{\Delta {C}'PQ}}=4{{S}_{{A}'{B}'{C}'}}$
$\Rightarrow {{V}_{C.{C}'PQ}}=4{{V}_{{C}'.{A}'{B}'{C}'}}=4.\frac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\frac{4}{3}.$
Vậy ${{V}_{{A}'MP{B}'NQ}}=\frac{4}{3}-\frac{2}{3}=\frac{2}{3}.$ Chọn D.
TOÁN LỚP 12