Bài tập tốc độ lực căng dây và năng lượng con lắc đơn (CLĐ) có đáp án chi tiết

Lời giải

Khi con lắc đi qua vị trí cân bằng ta có $v={{v}_{\max }}=\sqrt{2g\ell \left( 1-\cos {{\alpha }_{0}} \right)}$. Chọn C.

Lời giải

Ta có: ${{\text{W}}_{}}=\frac{m{{v}^{2}}}{2}=\frac{m.2g\ell \left( \cos \alpha -\cos {{\alpha }_{0}} \right)}{2}=mg\ell \left( \cos \alpha -\cos {{\alpha }_{0}} \right).$Chọn C.

Lời giải

Ta có: ${{v}_{\max }}=\sqrt{2g\ell \left( 1-\cos {{\alpha }_{0}} \right)}\Rightarrow \ell =\frac{v_{\max }^{2}}{2g\left( 1-\cos {{\alpha }_{0}} \right)}=1,57m.$ Chọn B.

Lời giải

Ta có: $\text{W}={{\text{W}}_{t\max }}=mg{{h}_{0}}=mg\ell \left( 1-\cos {{\alpha }_{0}} \right)=mg\ell .2{{\left( \sin \frac{{{\alpha }_{0}}}{2} \right)}^{2}}\approx \frac{1}{2}mg\ell \alpha _{0}^{2}={{5.10}^{-4}}J$

Suy ra $\ell =40cm$. Chọn D.

Lời giải

Ta có: ${{\alpha }_{\max }}=\frac{{{s}_{\max }}}{\ell }=\frac{{{s}_{\max }}}{\frac{g}{{{\omega }^{2}}}}=0,1\left( rad \right).$

Tại vị trí cân bằng ${{T}_{\min }}=mg\left( 3-2\cos {{\alpha }_{\max }} \right)\Rightarrow \frac{T}{mg}=3-2\cos 0,1=1,01.$ Chọn C.

Lời giải

Cách 1: Ta có $\text{W}={{\text{W}}_{t\max }}=mg{{h}_{0}}=mg\ell \left( 1-\cos {{\alpha }_{0}} \right)=mg\ell .2{{\left( \sin \frac{{{\alpha }_{0}}}{2} \right)}^{2}}\approx \frac{1}{2}mg\ell \alpha _{0}^{2}$.

Cách 2: Ta có $\text{W}=\frac{mv_{\max }^{2}}{2}=\frac{m{{\omega }^{2}}{{s}^{2}}}{2}=\frac{m.\frac{g}{\ell }.{{\left( \ell {{\alpha }_{0}} \right)}^{2}}}{2}=\frac{1}{2}mg\ell \alpha _{0}^{2}$. Chọn A.

Chú ý: Khi áp dụng công thức chúng ta đổi đơn vị biên độc góc sang radian.

Lời giải

Ta có: Ở vị trí cân bằng ta có: $\alpha =0\Rightarrow T={{T}_{\max }}=mg(3-2\cos {{\alpha }_{0}})=0,51N.$

Do đó $\cos {{\alpha }_{0}}=0,99$ suy ra $\text{W}={{\text{W}}_{t\max }}=mg{{h}_{0}}=mg\ell \left( 1-\cos {{\alpha }_{0}} \right)=4\left( mJ \right)$. Chọn A.

Lời giải

Ta có: $T=mg(3\cos \alpha -2\cos {{\alpha }_{0}})$

Ở vị trí cân bằng ta có: $\alpha =0\Rightarrow T={{T}_{\max }}=mg(3-2\cos {{\alpha }_{0}}).$

Ở vị trí biên: $\alpha ={{\alpha }_{0}}={{\alpha }_{\max }}\Rightarrow T={{T}_{\min }}=mg\cos {{\alpha }_{0}}.$

Do đó: $\frac{{{T}_{\max }}}{{{T}_{\min }}}=\frac{3-2\cos {{\alpha }_{0}}}{\cos {{\alpha }_{0}}}\Rightarrow \frac{3}{\cos {{\alpha }_{0}}}-2=1,02\Rightarrow \cos {{\alpha }_{0}}=\frac{3}{3,02}\Rightarrow {{\alpha }_{0}}=6,{{6}^{o}}$. Chọn A.

Lời giải

Khi động năng bằng n lần thế năng ta có: $s=\pm \frac{{{s}_{0}}}{\sqrt{n+1}}\Rightarrow \alpha =\pm \frac{{{\alpha }_{0}}}{\sqrt{n+1}}$.

Do con lắc chuyển động nhanh dần đều theo chiều dương suy ra con lắc đi từ biên về vị trí cân bằng theo chiều dương nên $-\frac{{{\alpha }_{0}}}{\sqrt{2}}$. Chọn B.

Lời giải

Ở vị trí biên: $\alpha ={{\alpha }_{0}}={{\alpha }_{\max }}\Rightarrow T={{T}_{\min }}=mg\cos {{\alpha }_{0}}=0,1.10\cos {{\alpha }_{0}}=0,5.$

Do đó $\cos {{\alpha }_{0}}=\frac{1}{2}\Rightarrow {{\alpha }_{0}}={{60}^{o}}$.

Khi ${{\alpha }_{0}}={{30}^{o}}$ta có $\frac{{{\text{W}}_{}}}{{{\text{W}}_{t}}}=\frac{mg\ell \left( 1-\cos {{\alpha }_{0}} \right)-mg\ell \left( 1-\cos \alpha  \right)}{mg\ell \left( 1-\cos \alpha  \right)}=\frac{\cos \alpha -\cos {{\alpha }_{0}}}{1-\cos \alpha }=0,73$. Chọn B.

Lời giải

Ta có: ${{\text{W}}_{}}=\frac{1}{3}{{\text{W}}_{t}}\Rightarrow \alpha \pm \frac{{{\alpha }_{0}}}{\sqrt{1+\frac{1}{3}}}=\pm \frac{{{\alpha }_{0}}\sqrt{3}}{2}$.

Khi đó lực căng dây của vật là: $T=mg(3\cos \alpha -2\cos {{\alpha }_{0}})$

Suy ra $T=2,998N$. Chọn B.

Lời giải

Dao động của con lắc gồm 2 nửa một nửa là con lắc có chu kì ${{T}_{1}}=2\pi \sqrt{\frac{{{\ell }_{1}}}{g}}$; một nửa là con lắc có chu kì ${{T}_{2}}=2\pi \sqrt{\frac{{{\ell }_{2}}}{g}}$nên chu kì dao động của hệ : $T=\frac{1}{2}\left( {{T}_{1}}+{{T}_{2}} \right)=\frac{1}{2}\left( 2\pi \sqrt{\frac{{{\ell }_{1}}}{g}}+2\pi \sqrt{\frac{{{\ell }_{2}}}{g}} \right)=1,5s$

Chọn D.

Lời giải

Biên độ cong ban đầu: ${{A}_{1}}={{\ell }_{1}}{{a}_{\max 1}}=100\frac{3\pi }{180}=5,2cm$.

Dao động của con lắc gồm 2 nửa, một nửa là con lắc có chiều dài ${{\ell }_{1}}$ và biên độ dài ${{A}_{1}}$ một nửa là con lắc có chiều dài ${{\ell }_{2}}$và biên độ dài ${{A}_{2}}$. Vì cơ năng bảo toàn nên:

${{\text{W}}_{2}}=\text{W}\Leftrightarrow \frac{mg}{2{{\ell }_{2}}}A_{2}^{2}=\frac{mg}{2{{\ell }_{1}}}A_{1}^{2}\Rightarrow {{A}_{2}}={{A}_{1}}\sqrt{\frac{{{\ell }_{2}}}{{{\ell }_{1}}}}=3,7cm.$ Chọn C.

Lời giải

Ta có ${{T}_{\max }}=mg(3-2\cos {{\alpha }_{0}})=mg\left[ 1+2\left( 1-\cos {{\alpha }_{0}} \right) \right]$

$=mg\left( 1+4{{\sin }^{2}}\frac{{{\alpha }_{0}}}{2} \right)=mg\left( 1+\alpha _{0}^{2} \right).$ Chọn C.

Tổng quát: Khi $\sin \alpha \approx \alpha $ta có: $\cos \alpha =1-2{{\sin }^{2}}\frac{\alpha }{2}=1-2{{\left( \frac{\alpha }{2} \right)}^{2}}=1-\frac{{{\alpha }^{2}}}{2}.$

Khi đó $T=mg(3\cos \alpha -2\cos {{\alpha }_{0}})=mg\left[ 3\left( 1-\frac{{{\alpha }^{2}}}{2} \right)-2\left( 1-\frac{\alpha _{0}^{2}}{2} \right) \right]=mg\left( 1+\alpha _{0}^{2}-\frac{3{{\alpha }^{2}}}{2} \right).$

Khi $\alpha ={{\alpha }_{0}}\Rightarrow T={{T}_{\min }}=mg\left( 1-\frac{{{\alpha }^{2}}}{2} \right)$

Khi $\alpha =0\Rightarrow T={{T}_{\max }}=mg\left( 1+\alpha _{0}^{2} \right)$

Lời giải

Ta có ${{T}_{\max }}=mg(3-2\cos {{\alpha }_{0}})=1,06\Rightarrow \cos {{\alpha }_{0}}=0,97.$

Khi lực căng bằng trọng lực của vật: $mg(3\cos \alpha -2\cos {{\alpha }_{0}})=mg\Rightarrow \cos \alpha =0,98.$

Khi đó vận tốc của vật là $v=\sqrt{2g\ell (\cos \alpha -\cos {{\alpha }_{0}})}=10\sqrt{10}cm/s.$ Chọn D.

Lời giải

Ta có: $\frac{{{T}_{\max }}}{{{T}_{\min }}}=\frac{mg\left( 3-2\cos {{\alpha }_{0}} \right)}{mg\cos {{\alpha }_{0}}}=4\Leftrightarrow 3-2\cos {{\alpha }_{0}}=4\cos {{\alpha }_{0}}\Rightarrow \cos {{\alpha }_{0}}=\frac{1}{2}\Rightarrow {{\alpha }_{0}}={{60}^{o}}$

Khi đó ${{\text{W}}_{}}=mg\ell \left( \cos \alpha -\cos {{\alpha }_{0}} \right)=0,1J.$Chọn A.

Lời giải

Ta có: $\frac{{{F}_{1}}}{{{F}_{2}}}=\frac{{{m}_{1}}{{\omega }^{2}}A}{{{m}_{2}}{{\omega }^{2}}A}=\frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}=\frac{2}{3}$

Mặt khác ${{m}_{1}}+{{m}_{2}}=1,2kg\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{m}_{1}}=0,48kg \\ {} {{m}_{2}}=0,72kg \\ \end{array} \right.$.Chọn C

Lời giải

Vì con lắc dao đông điều hòa nên

$\alpha \le {{10}^{o}}\Rightarrow \sin \alpha \simeq \alpha \Rightarrow {{F}_{max}}=mg{{s}_{0}}\ell \Rightarrow \frac{{{F}_{1}}}{{{F}_{2}}}=\frac{{{s}_{01}}}{{{s}_{02}}}.\frac{{{\ell }_{2}}}{{{\ell }_{1}}}=\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{4}{9}.$Chọn B

Lời giải

Tốc độ của vật: $v=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}=\sqrt{\frac{g}{\ell }}\sqrt{{{\left( \ell {{\alpha }_{0}} \right)}^{2}}-{{\left( \ell \alpha   \right)}^{2}}}=\sqrt{g\ell \left( \alpha _{0}^{2}-{{\alpha }^{2}} \right)}$

Với $g=10m/{{s}^{2}},{{\alpha }_{0}}=\frac{9\pi }{180},\alpha =\frac{4,5\pi }{180},\ell =\frac{s}{\alpha }=\frac{2,5\pi }{\alpha }=100cm$

Khi đó $v=43cm/s$. Chọn D

Lời giải

Ta có: ${{v}_{\text{max}}}=\sqrt{2g\ell \left( 1-c\text{os }{{\text{5}}^{o}} \right)}$

Khi qua VTCB ta giữ điểm chính giữa, vận tốc cực đại không đổi.

Khi đó ${{v}_{\text{max}}}=\sqrt{2g{{\ell }^{'}}\left( 1-c\text{os }{{\alpha }^{o}} \right)}=\sqrt{2g\frac{\ell }{2}\left( 1-c\text{os }{{\alpha }^{o}} \right)}\Rightarrow 1-c\text{os }{{\alpha }^{o}}=2\left( 1-c\text{os }{{5}^{o}} \right)$

Do đó $\alpha =7,{{1}^{o}}$. Chọn A.

Lời giải

Ở vị trí cân bằng ta có $\alpha =0\Rightarrow T={{T}_{\max }}=mg(3-2\cos {{\alpha }_{0}})=1,0025N.$

Do đó $cos{{\alpha }_{0}}=\frac{799}{800}$

Lại có: $T=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}}\Rightarrow \ell =1m$

Cơ năng dao động của con lắc là $\text{W}=mg\ell \left( 1-c\text{os }{{\alpha }_{0}} \right)=1,{{25.10}^{-3}}J$. Chọn C.

Vật dao động điều hòa nên ta có thể tính theo công thức $\text{W}=\frac{1}{2}mg\ell \alpha _{0}^{2}$

Lời giải

Ta có: $T=mg(3-2\cos {{\alpha }_{0}})=3\Rightarrow \cos {{\alpha }_{0}}=0.$

Khi đó $v=\sqrt{2g\ell \left( 1-c\text{os }{{\alpha }_{0}} \right)}=3m/s$. Chọn B

Lời giải

Ta có $\text{W}=\frac{1}{2}mg\ell \alpha _{0}^{2}\Rightarrow \ell =\frac{2W}{mg\alpha _{0}^{2}}=0,4m=40cm$. Chọn D

Lời giải

Ta có: $\left| g \right|=\left| \frac{{{a}_{tt}}}{r} \right|=\frac{g}{\ell }.a=\frac{10}{1}.0,01=0,1\left( rad/{{s}^{2}} \right)$. Chọn C

Lời giải

Gia tốc của con lắc đơn được tính theo công thức: $a=\sqrt{a_{n}^{2}+a_{t}^{2}}$với:

+) Thành phần pháp tuyến (gia tốc hướng tâm của vật):

${{a}_{n}}=\frac{{{v}^{2}}}{R}=\frac{{{v}^{2}}}{\ell }=2g\left( \text{cos 3}{{\text{0}}^{o}}-c\text{os 6}{{\text{0}}^{o}} \right)=7,32m/{{s}^{2}}$

+) Thành phần tiếp tuyến của vật

Do đó $a=8,87m/{{s}^{2}}$. Chọn C.

Lời giải

Gia tốc của vật tại vị trí biên là gia tốc tiếp tuyến$\Rightarrow {{a}_{tt}}=g\sin \alpha $

Gia tốc của vật tại vị trí cân bằng là gia tốc hướng tâm

$\Rightarrow {{a}_{ht}}=2g\left( \text{cos}\alpha -\text{cos}{{\alpha }_{0}} \right)=2g\left( 1-c\text{os}{{\alpha }_{0}} \right)\Rightarrow \frac{{{a}_{ht}}}{{{a}_{tt}}}=0,1$. Chọn B

Lời giải

Ta có $P=T\Leftrightarrow mg=mg(3\cos \alpha -2\cos {{\alpha }_{0}})\Leftrightarrow 3\cos \alpha -2\cos {{60}^{o}}=1\Leftrightarrow \cos \alpha =\frac{2}{3}$

Độ lớn gia tốc tiếp tuyến của vật là ${{a}_{tt}}=g\sin \alpha =\frac{10\sqrt{5}}{3}m/{{s}^{2}}$

Độ lớn gia tốc hướng tâm của vật là ${{a}_{ht}}=2g\left( \text{cos}\alpha -\text{cos}{{\alpha }_{0}} \right)=2.10\left( \frac{2}{3}-\frac{1}{2} \right)=\frac{10}{3}m/{{s}^{2}}$

Gia tốc của vật là: $a=\sqrt{a_{tt}^{2}+a_{ht}^{2}}=\frac{10\sqrt{6}}{3}m/{{s}^{2}}$. Chọn D

Lời giải

Ta có   ${{a}_{tt}}=g\sin \alpha $

${{a}_{ht}}=2g\left( \text{cos}\alpha -\text{cos}{{\alpha }_{0}} \right)=2gc\text{os}\alpha -g$

$\begin{array}{} \Rightarrow a_{tp}^{2}=a_{tt}^{2}+a_{ht}^{2}={{g}^{2}}\left( {{\sin }^{2}}\alpha +4c\text{o}{{\text{s}}^{2}}\alpha -4c\text{os}\alpha +1 \right) \\ {} ={{g}^{2}}\left( 3c\text{o}{{\text{s}}^{2}}\alpha -4c\text{os}\alpha +2 \right) \\ \end{array}$

Nhận thấy $\left( 3c\text{o}{{\text{s}}^{2}}\alpha -4c\text{os}\alpha +2 \right)$là một tam thức bậc 2 theo $c\text{os}\alpha $có hệ số $a=3>0$. Nên tam thức đạt cực tiểu khi $c\text{os}\alpha =\frac{-b}{2a}=\frac{2}{3}\in \left[ \frac{1}{2};1 \right]$(do $\alpha <{{60}^{o}}$)

$\Rightarrow $Gia tốc đạt cực tiểu ${{a}_{tp\min }}=10\sqrt{3.{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}-4.\frac{2}{3}+2}=10\sqrt{\frac{2}{3}}m/{{s}^{2}}$. Chọn A