Bài tập tính Tích phân từng phần với hàm ẩn có đáp án chi tiết

Bài tập tính Tích phân từng phần với hàm ẩn có đáp án

Dưới đây là một số bài tập trắc nghiệm tính tích phân từng phần với hàm ẩn có Lời giải chi tiết

Lời giải chi tiết

Đặt $\left\{ \begin{array}  {} u=x+1 \\  {} dv={f}'\left( x \right)dx \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} du=dx \\  {} v=f\left( x \right) \\ \end{array} \right.$ , khi đó $\int\limits_{0}^{1}{\left( x+1 \right)f'\left( x \right)dx=\left. \left( x+1 \right)f\left( x \right) \right|}_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}$

$\Leftrightarrow 10=2f\left( 1 \right)-f\left( 0 \right)-I\Leftrightarrow I=2f\left( 1 \right)-f\left( 0 \right)-10=2-10=-8$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Xét tích phân $\int\limits_{0}^{2}{\left( 1-2x \right){f}'\left( x \right)dx}$

Đặt $\left\{ \begin{array}  {} u=1-2x \\  {} dv={f}'\left( x \right)dx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} du=-2dx \\  {} v=f\left( x \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow I=\left. \left( 1-2x \right)f\left( x \right) \right|_{0}^{2}+2\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}$

$=3f\left( 2 \right)+f\left( 0 \right)+2\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}\Rightarrow 2016=-2016+2\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=2016$

Xét $J=\int\limits_{0}^{1}{f\left( 2x \right)dx}$, đặt $t=2x\Rightarrow dt=2dx$, đổi cận suy ra $J=\int\limits_{0}^{2}{f\left( t \right).\frac{dt}{2}=\frac{1}{2}}\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=1008$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Đặt $\left\{ \begin{array}  {} u=\frac{1}{x+1} \\  {} dv={f}'\left( x \right)dx \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ du=-\frac{dx}{\begin{array}  {} {{\left( x+1 \right)}^{2}} \\  {} v=f\left( x \right) \\ \end{array}} \right.$ , khi đó $\int\limits_{0}^{1}{\frac{{f}'\left( x \right)}{x+1}dx=\left. \frac{f\left( x \right)}{x+1} \right|}_{0}^{1}+\int\limits_{0}^{1}{\frac{f\left( x \right)}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}dx}$

Suy ra $1=\left. \frac{f\left( x \right)}{x+1} \right|_{0}^{1}+I\Rightarrow I=1-\left[ \frac{f\left( 1 \right)}{2}-f\left( 0 \right) \right]=1-\frac{1}{2}\left[ f\left( 1 \right)-2f\left( 0 \right) \right]=1-\frac{1}{2}.2=0$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Đặt $\left\{ \begin{array}  {} u=\ln x \\  {} dv={f}'\left( x \right)dx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} du=\frac{1}{x}dx \\  {} v=f\left( x \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow I=\left. \ln x.f\left( x \right) \right|_{1}^{e}-\int\limits_{1}^{e}{\frac{f\left( x \right)}{x}}dx$

$\Rightarrow I=\left. \left[ \ln xf\left( x \right)-{{x}^{2}}-{{\ln }^{3}}x \right] \right|_{1}^{e}=f\left( e \right)-{{e}^{2}}-2+2=f\left( e \right)-{{e}^{2}}$

Mặt khác $f\left( x \right)=x{F}'\left( x \right)=x\left( 2x+\frac{3{{\ln }^{2}}x}{x} \right)\Rightarrow f\left( e \right)=2{{e}^{2}}+3$

Do đó $I={{e}^{2}}+3$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Đặt $\left\{ \begin{array}  {} u={{e}^{3x}} \\  {} dv={f}'\left( x \right)dx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} du=3{{e}^{3x}}dx \\  {} v=f\left( x \right) \\ \end{array} \right.$

$\Rightarrow I=\left. {{e}^{3x}}f\left( x \right) \right|_{0}^{1}-3\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{3x}}f\left( x \right)dx=\left. \left[ {{e}^{3x}}f\left( x \right)-3\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}} \right){{e}^{3x}} \right] \right|}_{0}^{1}$

Trong đó $f\left( x \right)=\frac{{F}'\left( x \right)}{{{e}^{3x}}}=\frac{{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x}{{{e}^{2x}}}\Rightarrow I=\left. {{e}^{x}}\left( -2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+2x \right) \right|_{0}^{1}=e$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Đặt $\left\{ \begin{array}  {} u={{x}^{2}} \\  {} dv=\frac{{f}'\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}dx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} du=2xdx \\  {} v=-\frac{1}{f\left( x \right)} \\ \end{array} \right.$

$\Rightarrow I=\left. \frac{-{{x}^{2}}}{f\left( x \right)} \right|_{0}^{1}+2\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{f\left( x \right)}=\frac{-1}{f\left( 1 \right)}+2\ln \sqrt{2}}=-\frac{1}{2}+\ln 2$. Chọn B.