Bài tập tính Tích phân đổi biến số với hàm số chẵn, hàm số lẻ có đáp án chi tiết

Bài tập tính Tích phân đổi biến số với hàm số chẵn, hàm số lẻ có đáp án

Phương pháp đổi biến số với hàm số chẵn hàm số lẻ

Lời giải chi tiết

1. a) Hàm số $f\left( x \right)$ là hàm chẵn thì $f\left( -x \right)=f\left( x \right)$

Ta có: $\int\limits_{-a}^{0}{f\left( x \right)dx=-}\int\limits_{-a}^{0}{f\left( -x \right)d\left( -x \right)}\xrightarrow{t=-x}-\int\limits_{a}^{0}{f\left( t \right)dt=-}\int\limits_{a}^{0}{f\left( x \right)dx=}\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx.}$

Do đó $\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx=}\int\limits_{-a}^{0}{f\left( x \right)dx+\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx=2}}\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)dx.}$

1. b) Hàm số $f\left( x \right)$ là hàm lẻ thì $f\left( -x \right)=-f\left( x \right)$

Ta có: $\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx=-\int\limits_{-a}^{a}{f\left( -x \right)dx}=}\int\limits_{-a}^{a}{f\left( -x \right)d\left( -x \right)}\xrightarrow{t=-x}\int\limits_{a}^{-a}{f\left( t \right)dt=-}\int\limits_{a}^{a}{f\left( x \right)dx}$

Do đó $2\int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx=}0\Leftrightarrow \int\limits_{-a}^{a}{f\left( x \right)dx}=0.$

Bài tập trắc nghiệm đổi biến số tích phân có đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết

Lấy tích phân 2 vế của $f\left( x \right)+f\left( -x \right)=\cos 2x$ cận từ $-\frac{3\pi }{2}\to \frac{3\pi }{2}$ ta có:

$\int\limits_{\frac{-3\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{f\left( x \right)}dx+\int\limits_{\frac{-3\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{f\left( -x \right)}dx=\int\limits_{\frac{-3\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{\sqrt{2+2\cos 2x}}dx=2\int\limits_{\frac{-3\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{\left| \cos x \right|dx}=12$ (Sử dụng máy tính Casio).

Đặt $t=x\Rightarrow dt=-dx$ và đổi cận $\left| \begin{matrix}   x=-\frac{3\pi }{2}\Rightarrow t=\frac{3\pi }{2}  \\   x=\frac{3\pi }{2}\Rightarrow t=-\frac{3\pi }{2}  \\\end{matrix} \right..$

Khi đó $\int\limits_{\frac{-3\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{f\left( -x \right)}dx=-\int\limits_{\frac{-3\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{f\left( t \right)}dt=\int\limits_{-\frac{3\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{f\left( t \right)}dt=\int\limits_{-\frac{3\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{f\left( x \right)}dx.$

Suy ra $\int\limits_{\frac{-3\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{f\left( x \right)}dx+\int\limits_{\frac{-3\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{f\left( -x \right)}dx=2I=12\Rightarrow I=6.$

Cách 2: Vì $\sqrt{2+2\cos 2x}=\sqrt{2+2\cos \left( -2x \right)}$ta có thể chọn $f\left( x \right)=\frac{\sqrt{2+2\cos 2x}}{2}.$

Sau đó sử dụng Casio để bấm $I=\int\limits_{\frac{-3\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}{\frac{\sqrt{2+2\cos 2x}}{2}dx.}$ Chọn D.

Lời giải chi tiết

Lấy tích phân 2 vế của $f\left( x \right)+f\left( -x \right)=\cos 2x$,$\forall x\in \mathbb{R}$ cận từ $-\frac{\pi }{6}\to \frac{\pi }{6}$ ta có:

$\int\limits_{\frac{-\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{f\left( x \right)}dx+\int\limits_{\frac{-\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{f\left( -x \right)}dx=\int\limits_{\frac{-\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{\cos 2x}dx=\frac{1}{2}\int\limits_{\frac{-\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{\cos 2x}d\left( 2x \right)=\frac{1}{2}\sin 2x\left| \begin{matrix}   ^{\frac{\pi }{6}}  \\   _{\frac{-\pi }{6}}  \\\end{matrix} \right.=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Đặt $t=-x\Rightarrow dt=-dx\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   x=-\frac{\pi }{6},t=\frac{\pi }{6}  \\   x=\frac{\pi }{6},t=-\frac{\pi }{6}  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow \int\limits_{\frac{-\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{f\left( -x \right)}dx=-\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{-\frac{\pi }{6}}{f\left( t \right)}dt=\int\limits_{\frac{-\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{f\left( t \right)}dt=\int\limits_{\frac{-\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{f\left( x \right)}dx.$

Suy ra $\int\limits_{\frac{-\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{f\left( x \right)}dx+\int\limits_{\frac{-\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{f\left( -x \right)}dx=2\int\limits_{\frac{-\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{f\left( x \right)}dx=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \int\limits_{\frac{-\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{f\left( x \right)}dx=\frac{\sqrt{3}}{4}.$ Chọn D.

Cách 2: Vì $\cos 2x=\cos \left( -2x \right)$ ta chọn $f\left( x \right)=\frac{\cos 2x}{2}\Rightarrow \int\limits_{\frac{-\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{\cos 2x}{2}}dx=\frac{\sqrt{3}}{4}.$

Lời giải chi tiết

Cách 1: Ta có$f\left( x \right)+2f\left( 1-x \right)=3x\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx+2\int\limits_{0}^{1}{f\left( 1-x \right)}dx=3\int\limits_{0}^{1}{x}dx=\frac{3}{2}{{x}^{2}}\left| \begin{matrix}   ^{1}  \\   _{0}  \\\end{matrix} \right.=\frac{3}{2}.$

Đặt $t=1-x\Rightarrow dt=-dx\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   x=0,t=1  \\   x=1,t=0  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( 1-x \right)}dx=-\int\limits_{1}^{0}{f\left( t \right)}dt=\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)}dt=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx.$

Suy ra $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx+2\int\limits_{0}^{1}{f\left( 1-x \right)}dx=3\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx=\frac{3}{2}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx=\frac{1}{2}\Leftrightarrow I=\frac{1}{2}.$ Chọn C.

Cách 2: Ta có $f\left( x \right)+2f\left( 1-x \right)=3x\Rightarrow f\left( 1-x \right)+2f\left( x \right)=3\left( 1-x \right)=3-3x.$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix}   f\left( x \right)+2f\left( 1-x \right)=3x\text{       (1) }  \\   f\left( 1-x \right)+2f\left( x \right)=3-3x\text{  }\left( 2 \right)  \\\end{matrix} \right.,$ lấy $2.\left( 2 \right)-\left( 1 \right),$ ta được

$3f\left( x \right)=2\left( 3-3x \right)-3x\Leftrightarrow f\left( x \right)=2-3x.$

Vậy $I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx=\int\limits_{0}^{1}{\left( 2-3x \right)}dx=\left( 2x-\frac{3{{x}^{2}}}{2} \right)\left| \begin{matrix}   ^{1}  \\   _{0}  \\\end{matrix} \right.=\frac{1}{2}.$ Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có $f\left( x \right)+f\left( -x \right)={{x}^{2}}\Rightarrow \int\limits_{-1}^{1}{\left[ f\left( x \right)+f\left( -x \right) \right]}dx=\int\limits_{-1}^{1}{{{x}^{2}}dx\Leftrightarrow \int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)}dx+}\int\limits_{-1}^{1}{f\left( -x \right)}dx=\int\limits_{-1}^{1}{{{x}^{2}}}dx.$

Đặt $t=-x\Rightarrow dt=-dx\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   x=-1,t=1  \\   x=1,t=-1  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow \int\limits_{-1}^{1}{f\left( -x \right)}dx=-\int\limits_{1}^{-1}{f\left( t \right)}dt=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( t \right)}dt=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)}dx.$

Suy ra $\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)}dx+\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)}dx=\int\limits_{-1}^{1}{{{x}^{2}}}dx\Leftrightarrow 2\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)}dx=\frac{{{x}^{3}}}{3}\left| \begin{matrix}   ^{1}  \\   _{-1}  \\\end{matrix} \right.=\frac{2}{3}\Rightarrow \int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)}dx=\frac{1}{3}.$ Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: $f\left( x \right).f\left( a-x \right)=1\Leftrightarrow \left( 1+f\left( x \right) \right)f\left( a-x \right)=1+f\left( a-x \right)\Leftrightarrow \frac{1}{1+f\left( x \right)}=\frac{f\left( a-x \right)}{1+f\left( a-x \right)}$

Lấy tích phân 2 vế ta có: $I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{dx}{1+f\left( x \right)}}=\int\limits_{0}^{a}{\frac{f\left( a-x \right)}{1+f\left( a-x \right)}}dx$

Đặt $t=a-x\Rightarrow dt=-dx$ khi đó $\int\limits_{0}^{a}{\frac{1+f\left( a-x \right)}{f\left( a-x \right)}}dx=\int\limits_{a}^{0}{\frac{f\left( t \right)}{1+f\left( t \right)}}\left( -dt \right)=\int\limits_{0}^{a}{\frac{f\left( t \right)}{1+f\left( t \right)}}dt=\int\limits_{0}^{a}{dt}-\int\limits_{0}^{a}{\frac{dt}{1+f\left( t \right)}}$

$=a-\int\limits_{0}^{a}{\frac{dx}{a+f\left( x \right)}}.$ Khi đó $I=a-I\Leftrightarrow I=\frac{a}{2}.$ Chọn A.

Cách 2: Vì $f\left( x \right).f\left( a-x \right)=1$ ta có thể chọn $f\left( x \right)=1\Rightarrow f\left( a-x \right)=1\Rightarrow I=\int\limits_{0}^{a}{\frac{dx}{2}}=\frac{x}{2}\left| \begin{matrix}   ^{a}  \\   _{0}  \\\end{matrix} \right.=\frac{a}{2}.$