Trong biểu thức của $f\left( x \right)dx$ có chứa căn thì đặt căn đó bằng t.
Trong biểu thức của $f\left( x \right)dx$ có chứa biểu thức lũy thừa bậc cao thì đặt biểu thức đó bằng t.
Trong biểu thức của $f\left( x \right)dx$ có chứa hàm mũ với biểu thức trên mũ là một hàm số thì đặt biểu thức trên mũ bằng t.
Bài tập 1: Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:
a) $I=\int\limits_{0}^{4}{\frac{dx}{3+\sqrt{2x+1}}}.$ b) $I=\int\limits_{0}^{\ln 3}{\frac{dx}{\sqrt{{{e}^{x}}+1}}}.$ c) $I=\int\limits_{1}^{9}{x.\sqrt[3]{1-x}}dx.$ d) $I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{2}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}}}dx.$ |
Lời giải chi tiết
Chú ý: Đổi biến nhớ phải đổi cận.
Khi đó $I=\int\limits_{1}^{3}{\frac{t}{3+t}dt=}\int\limits_{1}^{3}{\left( 1-\frac{3}{t+3} \right)dt=}\left( t-3\ln \left| t+3 \right| \right)\left| \begin{matrix} ^{3} \\ _{1} \\\end{matrix} \right.=3-3.\ln 6-1+3.\ln 4=2+3.\ln \frac{2}{3}.$
Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x=0\Rightarrow t=\sqrt{2} \\ x=\ln 3\Rightarrow t=2 \\\end{matrix} \right.,$ khi đó $I=2\int\limits_{\sqrt{2}}^{2}{\frac{dt}{{{t}^{2}}-1}=}\ln \left| \frac{t-1}{t+1} \right|\left| \begin{matrix} ^{2} \\ _{\sqrt{2}} \\\end{matrix} \right.=-\ln 3\left( 3-2\sqrt{2} \right).$
Khi đó $I=\int\limits_{0}^{-2}{\left( 1-{{t}^{3}} \right)t\left( -3{{t}^{2}} \right)dt=}\int\limits_{0}^{-2}{\left( {{t}^{6}}-{{t}^{3}} \right)dt=}3\left( \frac{{{t}^{7}}}{7}-\frac{{{t}^{4}}}{4} \right)\left| \begin{matrix} ^{-2} \\ _{0} \\\end{matrix} \right.=\frac{-468}{7}.$
Khi đó $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{4\cos t}{\sqrt{4-4{{\sin }^{2}}t}}dt=}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{4\cos t}{2\cos t}dt=}2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{dt=}2t\left| \begin{matrix} ^{\frac{\pi }{3}} \\ _{0} \\\end{matrix} \right.=\frac{\pi }{3}.$
Bài tập 2: [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Cho $\int\limits_{16}^{55}{\frac{dx}{x\sqrt{x+9}}}=a\ln 2+b\ln 5+c\ln 11$ với $a,b,c$ là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng.
A. $a-b=-c.$ B. $a+b=c.$ C. $a+b=3c.$ D. $a-b=-3c.$ |
Lời giải chi tiết
Đặt $t=\sqrt{x+9}\Rightarrow {{t}^{2}}=x+9\Rightarrow 2tdt=dx.$ Đổi cận $\left| \begin{matrix} x=16\Rightarrow t=5\text{ } \\ x=55\Rightarrow t=8 \\\end{matrix} \right.$
Khi đó $I=\int\limits_{5}^{8}{\frac{2tdt}{\left( {{t}^{2}}-9 \right)t}=}\int\limits_{5}^{8}{\frac{2dt}{\left( t-3 \right)\left( t+3 \right)}=}\frac{2}{6}\ln \left| \frac{t-3}{t+3} \right|\left| \begin{matrix} ^{8} \\ _{5} \\\end{matrix} \right.=\frac{1}{3}\ln \frac{5}{11}-\frac{1}{3}\ln \frac{1}{4}=\frac{2}{3}\ln 2+\frac{1}{3}\ln 5-\frac{1}{3}\ln 11$
Do đó $a=\frac{2}{3};b=\frac{1}{3};c=-\frac{1}{3}\Rightarrow a-b=-c.$ Chọn A.
Bài tập 3: Cho $I=\int\limits_{2}^{6}{\frac{dx}{2x+1+\sqrt{4x+1}}}=a\ln 3+b\ln 2+c$ với $a,b,c$ là các số hữu tỷ, tính tổng $A=a+4b+12c.$
A. $A=-2.$ B. $A=-4.$ C. $A=4.$ D. $A=2.$ |
Lời giải chi tiết
Đặt $t=\sqrt{4x+1}\Rightarrow {{t}^{2}}=4x+1\Rightarrow tdt=2dx.$ Đổi cận $\left| \begin{matrix} x=6\Rightarrow t=5 \\ x=2\Rightarrow t=3 \\\end{matrix} \right.$
Khi đó $I=\frac{1}{2}\int\limits_{3}^{5}{\frac{tdt}{\left( \frac{{{t}^{2}}+1}{2} \right)+t}}dt=\int\limits_{3}^{5}{\frac{tdt}{{{(t+1)}^{2}}}=\int\limits_{3}^{5}{\left( \frac{1}{t+1}-\frac{1}{{{(t+1)}^{2}}} \right)dt=}}\left( \ln \left| t+1 \right|+\frac{1}{t+1} \right)\left| \begin{matrix} ^{5} \\ _{3} \\\end{matrix} \right.=\ln \frac{3}{2}-\frac{1}{12}$
$=\ln 3-\ln 2-\frac{1}{12}\Rightarrow a=1;b=-1;c=\frac{-1}{12}$
Do đó $A=a+4b+12c=1-4-1=-4.$ Chọn B.
TOÁN LỚP 12