Bài tập tính tích phân áp dụng công thức tích phân từng phần có đáp án chi tiết - Tự Học 365

Bài tập tính tích phân áp dụng công thức tích phân từng phần có đáp án chi tiết

Bài tập tính tích phân áp dụng công thức tích phân từng phần có đáp án chi tiết

Bài tập tính tích phân áp dụng công thức tích phân từng phần có đáp án

Dưới đây là một số bài tập trắc nghiệm tính tích phân từng phần có Lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho tích phân $I=\int\limits_{0}^{\pi }{{{x}^{2}}}\cos xdx$ và $u={{x}^{2}};\,\,dv=\cos xdx$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $I=\left. {{x}^{2}}\sin x \right|_{0}^{\pi }-\int\limits_{0}^{\pi }{x\sin xdx}$.                     B. $I=\left. {{x}^{2}}\sin x \right|_{0}^{\pi }+\int\limits_{0}^{\pi }{x\sin xdx}$.

C. $I=\left. {{x}^{2}}\sin x \right|_{0}^{\pi }+2\int\limits_{0}^{\pi }{x\sin xdx}$.                  D. $I=\left. {{x}^{2}}\sin x \right|_{0}^{\pi }-2\int\limits_{0}^{\pi }{x\sin xdx}$.

Lời giải chi tiết

Ta có $\left\{ \begin{array}  {} u={{x}^{2}} \\  {} dv=\cos xdx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} du=2xdx \\  {} v=\sin x \\ \end{array} \right.\Rightarrow I=\left. {{x}^{2}}\sin x \right|_{0}^{\pi }-2\int\limits_{0}^{\pi }{x\sin xdx}$ . Chọn D.

Bài tập 2: Cho tích phân $\int\limits_{0}^{2}{\left( 2x+1 \right){{e}^{x}}}dx=a{{e}^{2}}+be+c$ $\left( a,b,c\in \mathbb{Q} \right)$. Tính $S={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$

A. $S=13$.                                    B. $S=10$.                                          C. $S=5$.                                      D. $S=8$.

Lời giải chi tiết

Đặt $\left\{ \begin{array}  {} u=2x+1 \\  {} du={{e}^{x}}dx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} du=2dx \\  {} v={{e}^{x}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{\left( 2x+1 \right){{e}^{x}}}dx=\left. \left( 2x+1 \right){{e}^{x}} \right|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{{{e}^{x}}}dx=\left. \left( 2x-1 \right){{e}^{x}} \right|_{0}^{2}=3{{e}^{2}}+1$

Suy ra $a=3;b=0;c=1\Rightarrow S={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=10$. Chọn B.

Bài tập 3: Cho tích phân $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)\sin xdx=a{{\pi }^{2}}}+b\pi +c$ với $a,b,c\in \mathbb{Q}$. Tính $T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$

A. $T=9$.                                      B. $T=12$.                                          C. $T=2$.                                      D. $T=10$.

Lời giải chi tiết

Đặt $\left\{ \begin{array}  {} u={{x}^{2}}+1 \\  {} dv=\sin xdx \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} du=2xdx \\  {} v=-\cos x \\ \end{array} \right.$

Khi đó $I=-\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left. \cos x \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}+2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x\cos xdx-1+2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x\cos xdx}}$

Xét tích phân $J=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x\cos xdx}$, ta đặt $\left\{ \begin{array}  {} u=x \\  {} dv=\cos xdx \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} du=dx \\  {} v=\sin x \\ \end{array} \right.$

Khi đó $J=\left. x\sin x \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin x}dx=\left. \frac{\pi }{2}+\cos x \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{\pi }{2}-1$

Vậy $I=\pi -1\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=0 \\  {} b=1 \\  {} c=-1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow T=2$. Chọn C.

Bài tập 4: Cho tích phân $I=\int\limits_{2}^{3}{\left( 3{{x}^{2}}+1 \right)\ln xdx=a\ln 3+b\ln 2+c}$ với $a,b,c\in \mathbb{Q}$. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A. $a=3b$.                                   B. $a=-3b$.                                        C. $a+b=40$.                               D. $a-b=20$.

Lời giải chi tiết

Đặt $\left\{ \begin{array}  {} u=\ln x \\  {} dv=\left( 3{{x}^{2}}+1 \right)dx \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} du=\frac{dx}{x} \\  {} v={{x}^{3}}+x \\ \end{array} \right.\Rightarrow I=\left. \left( {{x}^{3}}+x \right)\ln x \right|_{2}^{3}-\int\limits_{2}^{3}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}$

$=30\ln 3-10\ln 2-\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}+x \right) \right|_{2}^{3}=30\ln 3-10\ln 2-\frac{22}{3}\Rightarrow a=30;b=-10;c=-3b$. Chọn B.

Bài tập 5: Cho $I=\int\limits_{1}^{4}{\frac{\ln \left( \sqrt{x}+1 \right)}{\sqrt{x}}}dx=a.\ln 3+b.\ln 2+c$ , với $a,b,c\in \mathbb{Q}$, tổng $a+b+c$ bằng

A. 8.                                                B. 4.                                                      C. 12.                                              D. 0.

Lời giải chi tiết

Đặt $\left\{ \begin{array}  {} u=\ln \left( \sqrt{x}+1 \right) \\  {} v=\frac{dx}{\sqrt{x}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} du=\frac{dx}{2\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+1 \right)} \\  {} v=2\left( \sqrt{x}+1 \right) \\ \end{array} \right.$, khi đó $I=\left. 2\left( \sqrt{x}+1 \right)\ln \left( \sqrt{x}+1 \right) \right|_{1}^{4}-\int\limits_{1}^{4}{\frac{dx}{\sqrt{x}}}$

$=\left. 2\left( \sqrt{x}+1 \right)\ln \left( \sqrt{x}+1 \right) \right|_{1}^{4}-\left. 2\sqrt{x} \right|_{1}^{4}=6.\ln 3-4.\ln 2-2=a.\ln 3+b.\ln 2+c\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=6 \\  {} b=-4 \\  {} c=-2 \\ \end{array} \right.$

Vậy tổng $a+b+c=6-4-2=0$. Chọn D.

Bài tập 6: Cho tích phân $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{x\sin x}{{{\left( 1+\cos x \right)}^{2}}}}dx=\frac{a}{b}\pi -c$ với $a,b,c\in \mathbb{N}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $a+b=3c$.                               B. $a+2b=c$.                                     C. $a+b=2c$.                               D. $a+2b=3c$.

Lời giải chi tiết

Đặt $\left\{ \begin{array}  {} u=x \\  {} dv=\frac{x\sin x}{{{\left( 1+\cos x \right)}^{2}}}dx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} du=dx \\  {} v=\frac{1}{1+\cos x} \\ \end{array} \right.\Rightarrow I=\left. \frac{x}{1+\cos x} \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{1+\cos x}}$

$=\frac{1}{2}\pi -\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{2{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}}}=\frac{1}{2}\pi -\left. \tan \frac{x}{2} \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{1}{2}\pi -1\Rightarrow a=1;b=2;c=1$

Do đó $a+b=3c$. Chọn A.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12