Bài tập 1: Cho tích phân $I=\int\limits_{0}^{\pi }{{{x}^{2}}}\cos xdx$ và $u={{x}^{2}};\,\,dv=\cos xdx$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $I=\left. {{x}^{2}}\sin x \right|_{0}^{\pi }-\int\limits_{0}^{\pi }{x\sin xdx}$. B. $I=\left. {{x}^{2}}\sin x \right|_{0}^{\pi }+\int\limits_{0}^{\pi }{x\sin xdx}$. C. $I=\left. {{x}^{2}}\sin x \right|_{0}^{\pi }+2\int\limits_{0}^{\pi }{x\sin xdx}$. D. $I=\left. {{x}^{2}}\sin x \right|_{0}^{\pi }-2\int\limits_{0}^{\pi }{x\sin xdx}$. |
Lời giải chi tiết
Ta có $\left\{ \begin{array} {} u={{x}^{2}} \\ {} dv=\cos xdx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} du=2xdx \\ {} v=\sin x \\ \end{array} \right.\Rightarrow I=\left. {{x}^{2}}\sin x \right|_{0}^{\pi }-2\int\limits_{0}^{\pi }{x\sin xdx}$ . Chọn D.
Bài tập 2: Cho tích phân $\int\limits_{0}^{2}{\left( 2x+1 \right){{e}^{x}}}dx=a{{e}^{2}}+be+c$ $\left( a,b,c\in \mathbb{Q} \right)$. Tính $S={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$
A. $S=13$. B. $S=10$. C. $S=5$. D. $S=8$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $\left\{ \begin{array} {} u=2x+1 \\ {} du={{e}^{x}}dx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} du=2dx \\ {} v={{e}^{x}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \int\limits_{0}^{2}{\left( 2x+1 \right){{e}^{x}}}dx=\left. \left( 2x+1 \right){{e}^{x}} \right|_{0}^{2}-\int\limits_{0}^{2}{{{e}^{x}}}dx=\left. \left( 2x-1 \right){{e}^{x}} \right|_{0}^{2}=3{{e}^{2}}+1$
Suy ra $a=3;b=0;c=1\Rightarrow S={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=10$. Chọn B.
Bài tập 3: Cho tích phân $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)\sin xdx=a{{\pi }^{2}}}+b\pi +c$ với $a,b,c\in \mathbb{Q}$. Tính $T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$
A. $T=9$. B. $T=12$. C. $T=2$. D. $T=10$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $\left\{ \begin{array} {} u={{x}^{2}}+1 \\ {} dv=\sin xdx \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} du=2xdx \\ {} v=-\cos x \\ \end{array} \right.$
Khi đó $I=-\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left. \cos x \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}+2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x\cos xdx-1+2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x\cos xdx}}$
Xét tích phân $J=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x\cos xdx}$, ta đặt $\left\{ \begin{array} {} u=x \\ {} dv=\cos xdx \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} du=dx \\ {} v=\sin x \\ \end{array} \right.$
Khi đó $J=\left. x\sin x \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin x}dx=\left. \frac{\pi }{2}+\cos x \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{\pi }{2}-1$
Vậy $I=\pi -1\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} a=0 \\ {} b=1 \\ {} c=-1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow T=2$. Chọn C.
Bài tập 4: Cho tích phân $I=\int\limits_{2}^{3}{\left( 3{{x}^{2}}+1 \right)\ln xdx=a\ln 3+b\ln 2+c}$ với $a,b,c\in \mathbb{Q}$. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A. $a=3b$. B. $a=-3b$. C. $a+b=40$. D. $a-b=20$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $\left\{ \begin{array} {} u=\ln x \\ {} dv=\left( 3{{x}^{2}}+1 \right)dx \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} du=\frac{dx}{x} \\ {} v={{x}^{3}}+x \\ \end{array} \right.\Rightarrow I=\left. \left( {{x}^{3}}+x \right)\ln x \right|_{2}^{3}-\int\limits_{2}^{3}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}$
$=30\ln 3-10\ln 2-\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}+x \right) \right|_{2}^{3}=30\ln 3-10\ln 2-\frac{22}{3}\Rightarrow a=30;b=-10;c=-3b$. Chọn B.
Bài tập 5: Cho $I=\int\limits_{1}^{4}{\frac{\ln \left( \sqrt{x}+1 \right)}{\sqrt{x}}}dx=a.\ln 3+b.\ln 2+c$ , với $a,b,c\in \mathbb{Q}$, tổng $a+b+c$ bằng
A. 8. B. 4. C. 12. D. 0. |
Lời giải chi tiết
Đặt $\left\{ \begin{array} {} u=\ln \left( \sqrt{x}+1 \right) \\ {} v=\frac{dx}{\sqrt{x}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} du=\frac{dx}{2\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+1 \right)} \\ {} v=2\left( \sqrt{x}+1 \right) \\ \end{array} \right.$, khi đó $I=\left. 2\left( \sqrt{x}+1 \right)\ln \left( \sqrt{x}+1 \right) \right|_{1}^{4}-\int\limits_{1}^{4}{\frac{dx}{\sqrt{x}}}$
$=\left. 2\left( \sqrt{x}+1 \right)\ln \left( \sqrt{x}+1 \right) \right|_{1}^{4}-\left. 2\sqrt{x} \right|_{1}^{4}=6.\ln 3-4.\ln 2-2=a.\ln 3+b.\ln 2+c\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} a=6 \\ {} b=-4 \\ {} c=-2 \\ \end{array} \right.$
Vậy tổng $a+b+c=6-4-2=0$. Chọn D.
Bài tập 6: Cho tích phân $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{x\sin x}{{{\left( 1+\cos x \right)}^{2}}}}dx=\frac{a}{b}\pi -c$ với $a,b,c\in \mathbb{N}$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $a+b=3c$. B. $a+2b=c$. C. $a+b=2c$. D. $a+2b=3c$. |
Lời giải chi tiết
Đặt $\left\{ \begin{array} {} u=x \\ {} dv=\frac{x\sin x}{{{\left( 1+\cos x \right)}^{2}}}dx \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} du=dx \\ {} v=\frac{1}{1+\cos x} \\ \end{array} \right.\Rightarrow I=\left. \frac{x}{1+\cos x} \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{1+\cos x}}$
$=\frac{1}{2}\pi -\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{dx}{2{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}}}=\frac{1}{2}\pi -\left. \tan \frac{x}{2} \right|_{0}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{1}{2}\pi -1\Rightarrow a=1;b=2;c=1$
Do đó $a+b=3c$. Chọn A.
TOÁN LỚP 12