Bài tập 1: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác vuông cân $AC=BC=3a$, hình chiếu vuông góc của ${B}'$lên mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng $\left( AB{B}'{A}' \right)$ tạo với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ một góc $60{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A. $\frac{9{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}$ B. $\frac{9{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$ C. $\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$ D. $\frac{9{{a}^{3}}}{4}$ |
Lời giải chi tiết
Dựng $CI\bot AB\Rightarrow I$ là trung điểm của AB.
Ta có: $\left( {B}'GI \right)\bot AB\Rightarrow \widehat{{B}'IG\,}=60{}^\circ .$
Lại có: $CI=\frac{1}{2}AB=\frac{3a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow GI=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow {B}'G=GI\tan 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{6}}{2}$
${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={B}'G.{{S}_{ABC}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}.\frac{9{{a}^{2}}}{2}=\frac{9{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$.Chọn B.
Bài tập 2: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của ${B}'$ lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của cạnh AB, góc giữa mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}' \right)$ và mặt phẳng đáy bằng $60{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A. $\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$ B. $\frac{9{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$ C. $\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{6}}{16}$ D. $\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$ |
Lời giải chi tiết
Kẻ $HK\bot BC\Rightarrow BC\bot \left( {B}'HK \right)\Rightarrow \widehat{{B}'KH}=60{}^\circ .$
Ta có: $HK=HB\sin 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{4}\Rightarrow {B}'H=HK\tan 60{}^\circ =\frac{3a}{4}$
${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={B}'H.{{S}_{ABC}}=\frac{3a}{4}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$.
Chọn D.
Bài tập 3: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của ${A}'$trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là trùng với trọng tâm tam giác ABC, góc giữa đường thẳng $A{A}'$ và mặt phẳng đáy $\left( ABC \right)$ bằng $30{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là:
A. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$ B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$ C. $\frac{5{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$ D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$ |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trọng tâm tam giác đều ABC và M là trung điểm của BC.
Ta có: $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AH=\frac{2}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
Khi đó: ${A}'H=HA\tan 30{}^\circ =\frac{a}{3},{{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
Do vậy: ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{ABC}}.{A}'H=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$
Chọn D.
Bài tập 4: Cho lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác đều cạnh 4a. Hình chiếu của ${A}'$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là điểm H thuộc cạnh AB sao cho $HB=3HA.$ Góc tạo bởi đường thẳng ${A}'C$ và mặt đáy bằng $30{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là:
A. $4{{a}^{3}}\sqrt{13}$ B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{13}}{8}$ C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{13}}{4}$ D. ${{a}^{3}}\sqrt{13}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $HB=3a;HA=a.$Gọi E là trung điểm của AB.
Ta có: $CE=\frac{\left( 4a \right)\sqrt{3}}{2}=2a\sqrt{3}$
$\Rightarrow C{{H}^{2}}=H{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}-2HA.AC\cos 60{}^\circ =13{{a}^{2}}$
Hoặc $CH=\sqrt{C{{E}^{2}}+H{{E}^{2}}}=a\sqrt{13}$
$\Rightarrow {A}'H=CH\tan 30{}^\circ =\frac{a\sqrt{13}}{\sqrt{3}};{{S}_{ABC}}=4{{a}^{2}}\sqrt{3}$
Khi đó ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={{S}_{ABC}}.{A}'H=4{{a}^{3}}\sqrt{13}$
Chọn A.
Bài tập 5: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C có $AC=BC=2a,$hình chiếu vuông góc của ${A}'$lên mặt đáy trùng với trung điểm của AB. Biết khoảng cách giữa 2 đường thẳng ${A}'C$và AB bằng $\frac{2a}{\sqrt{3}}.$ Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là:
A. $4{{a}^{3}}\sqrt{2}$ B. $8{{a}^{3}}$ C. $4{{a}^{3}}$ D. $2{{a}^{3}}$ |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trung điểm của $AB\Rightarrow CH=a\sqrt{2}$
Khi đó ta có: $\left\{ \begin{matrix} CH\bot AB \\ AB\bot {A}'H \\\end{matrix} \right.\Rightarrow AB\bot \left( {A}'HC \right)$
Dựng $HK\bot {A}'C\Rightarrow d\left( {A}'C;AB \right)=HK$
Mặt khác $\frac{1}{HK}=\frac{1}{A{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{C}^{2}}}\Rightarrow {A}'H=2a$
Do vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={A}'H.{{S}_{ABC}}=4{{a}^{3}}$. Chọn C.
Bài tập 6: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, tam giác ${C}'MC$ cân tại ${C}'$ và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng $A{C}'$ tạo với đáy góc $60{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ là:
A. $\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{7}}{16}$ B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{21}}{16}$ C. $\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}$ D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{21}}{4}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $CM=\frac{a\sqrt{3}}{2},{{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
Gọi H là trung điểm của CM suy ra ${C}'H\bot CM.$
Mặt khác có $\left( {C}'MC \right)\bot \left( ABC \right)\Rightarrow {C}'H\bot \left( ABC \right)$
$\Rightarrow \widehat{\left( A{C}';\left( ABC \right) \right)}=\widehat{{C}'AH}=60{}^\circ ..$
Lại có $AH=\sqrt{M{{H}^{2}}+A{{M}^{2}}}=\frac{a\sqrt{7}}{4}.$
Suy ra ${C}'H=AH\tan 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{21}}{4}$.
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={C}'H.{{S}_{ABC}}=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{7}}{16}$. Chọn A.
Bài tập 7: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có tam giác ABC vuông tại B, có $AB=a,AC=2a$. Tam giác ${A}'AC$ cân tại ${A}'$ và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng $\left( {A}'AC \right)$ tạo với đáy một góc $45{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là:
A. $2{{a}^{3}}\sqrt{3}$ B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$ C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$ D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$ |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trung điểm của AC khi đó $AH\bot AC$.
Mặt khác $\left( {A}'AC \right)\bot \left( ABC \right).$
Do đó ${A}'H\bot \left( ABC \right)$. Dựng $HK\bot BC$
$\Rightarrow \left( {A}'HK \right)\bot BC\Rightarrow \widehat{{A}'KH}=45{}^\circ $
Ta có: $HK=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}\Rightarrow {A}'H=HK=\frac{a}{2}$
${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={A}'H.{{S}_{ABC}}=\frac{a}{2}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$
Chọn D.
Bài tập 8: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác ABC vuông tại B có $AB=BC=2a$. Biết rằng hình chiếu của ${A}'$ lên mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết ${A}'C=\frac{2a\sqrt{14}}{3}$. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A. $2{{a}^{3}}$ B. $4{{a}^{3}}$ C. $\frac{4{{a}^{3}}}{3}$ D. $8{{a}^{3}}$ |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB ta có: $CM=\sqrt{M{{B}^{2}}+C{{B}^{2}}}=a\sqrt{5}$
$\Rightarrow CH=\frac{2}{3}a\sqrt{5}\Rightarrow {A}'H=\sqrt{{A}'{{C}^{2}}-C{{H}^{2}}}=2a$
Do vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={A}'H.{{S}_{ABC}}=2a.\frac{{{\left( 2a \right)}^{2}}}{2}=4{{a}^{3}}$.
Chọn B.
Bài tập 9: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác ABC đều cạnh 6a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh ${A}'$ xuống mặt đáy thuộc cạnh AC sao cho $HC=2HA$. Biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng $\left( AB{B}'{A}' \right)$bằng $\frac{9a}{2}$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là:
A. $18{{a}^{3}}\sqrt{3}$ B. $36{{a}^{3}}\sqrt{3}$ C. $54{{a}^{3}}\sqrt{3}$ D. $27{{a}^{3}}\sqrt{3}$ |
Lời giải chi tiết
Dựng $HK\bot AC,HF\bot {A}'E\Rightarrow HF\bot \left( AB{A}' \right)$
Ta có: $d\left( C;\left( AB{A}' \right) \right)=3d\left( H;\left( AB{A}' \right) \right)=3HF=\frac{9a}{2}$
Lại có: $HE=HA\sin 60{}^\circ =2a\sin 60{}^\circ =a\sqrt{3};HF=\frac{3a}{2}.$
Mặt khác: $\frac{1}{H{{E}^{2}}}+\frac{1}{{A}'{{H}^{2}}}=\frac{1}{H{{F}^{2}}}\Rightarrow {A}'H=3a.$
Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={A}'H.{{S}_{ABC}}=3a.\frac{{{\left( 6a \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}=27{{a}^{3}}\sqrt{3}$
Chọn D.
Bài tập 10: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác đều cạnh a. Biết rằng hình chiếu vuông góc ${A}'$ xuống đáy trùng với trung điểm của AB và $A{C}'=\frac{3a}{2}$. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A. $\frac{{{a}^{3}}}{4}$ B. $\frac{{{a}^{3}}}{12}$ C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$ D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$ |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trung điểm của $AB\Rightarrow AH=\frac{a}{2}.$
Ta có: $AB\bot {A}'H;AB\bot CH\Rightarrow {C}'H\bot AB$
$\Rightarrow A{{H}^{2}}+H{{{C}'}^{2}}=A{{{C}'}^{2}}\Rightarrow H{{{C}'}^{2}}=A{{{C}'}^{2}}-A{{H}^{2}}=2{{a}^{2}}$
$\Rightarrow {A}'H=\sqrt{H{{{{C}'}}^{2}}-A{{{{C}'}}^{2}}}=a$
${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}={A}'H.{{S}_{ABC}}=a.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$. Chọn C.
Bài tập 11: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ biết ${C}'.ABC$là hình chóp tam giác đều có đường cao bằng h. Đường thẳng $A{A}'$tạo với đáy một góc $60{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ đã cho tính theo h là:
A. $\frac{{{h}^{3}}\sqrt{3}}{8}$ B. $\frac{{{h}^{3}}\sqrt{3}}{4}$ C. $\frac{3{{h}^{3}}}{4}$ D. $\frac{{{h}^{3}}\sqrt{3}}{2}$ |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trọng tâm tam giác đều ABC.
Khi đó ${C}'H\bot \left( ABC \right)$ và ${C}'H=h.$
Ta có: $A{A}'//C{C}'$ suy ra $C{C}'$tạo với đáy một góc $60{}^\circ $
$\Rightarrow \widehat{{C}'CH}=60{}^\circ .$ Khi đó $CH\tan 60{}^\circ =h\Rightarrow CH=\frac{h}{\sqrt{3}}.$
Đặt $AB=a\Rightarrow CH=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{h}{\sqrt{3}}\Rightarrow h=a.$
Do đó ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\frac{{{h}^{3}}\sqrt{3}}{4}$. Chọn B.
Bài tập 12: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của ${A}'$ xuống đáy là trung điểm của AB. Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng $\left( {A}'BC \right)$ bằng $\frac{a\sqrt{15}}{5}$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là:
A. $\frac{3{{a}^{3}}}{8}$ B. $\frac{3{{a}^{3}}}{4}$ C. $\frac{{{a}^{3}}}{8}$ D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$ |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trung điểm của $AB\Rightarrow {A}'H\bot \left( ABC \right)$
Dựng $HE\bot BC,HF\bot {A}'E.$Khi đó $d\left( H;\left( {A}'BC \right) \right)=HF.$
Mặt khác $HE=HB\sin \widehat{ABC}=\frac{a}{2}\sin 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{4}.$
Lại có $d\left( A;\left( {A}'BC \right) \right)=2d\left( H;\left( {A}'BC \right) \right)=2HF=\frac{a\sqrt{15}}{5}$
$\Rightarrow HF=\frac{a\sqrt{15}}{10}$. Mặt khác: $\frac{1}{H{{F}^{2}}}=\frac{1}{H{{E}^{2}}}+\frac{1}{{A}'{{H}^{2}}}$
$\Rightarrow {A}'H=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow V={A}'H.{{S}_{ABC}}=\frac{3{{a}^{3}}}{8}$. Chọn A.
Bài tập 13: Cho hình chóp hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có đáy là hình chữ nhật có $AB=3a,AD=4a$
. Biết ${A}'A={A}'B={A}'C={A}'D$ và mặt phẳng $\left( {A}'CD \right)$ tạo với đáy một góc $60{}^\circ$. Thể tích khối hộp đã cho là: A. $4{{a}^{3}}\sqrt{3}$ B. $12{{a}^{3}}\sqrt{3}$ C. $8{{a}^{3}}\sqrt{3}$ D. $24{{a}^{3}}\sqrt{3}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có ${A}'A={A}'B={A}'C={A}'D$ nên hình chiếu của ${A}'$xuống mặt đáy trùng với tâm H của hình chữ nhật ABCD. Dựng $HK\bot CD.$
Lại có ${A}'H\bot CD\Rightarrow CD\bot \left( {A}'CD \right)$
Do vậy $\widehat{\left( \left( {A}'CD \right);\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{{A}'KH}=60{}^\circ .$
Lại có $HK=\frac{AD}{2}=2\Rightarrow {A}'H=HK\tan 60{}^\circ =2a\sqrt{3}$
Vậy ${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}={A}'H.{{S}_{ABCD}}=24{{a}^{3}}\sqrt{3}$. Chọn D.
Bài tập 14: Cho hình lăng trụ $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có đáy là hình thoi ABCD tâm O có $AC=2a,$$BD=2a\sqrt{3}.$ Hình chiếu vuông góc của ${B}'$ xuống đáy trùng cới trung điểm của OB. Đường thẳng ${B}'C$ tạo với đáy góc $45{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A. $2{{a}^{3}}\sqrt{7}.$ B. $2{{a}^{3}}\sqrt{3}.$ C. $3{{a}^{3}}\sqrt{21}.$ D. ${{a}^{3}}\sqrt{21}.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trung điểm của OB. Khi đó
$OC=a,OH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow CH=\sqrt{O{{C}^{2}}+O{{H}^{2}}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}.$
Ta có: $\widehat{\left( {B}'C;\left( ABC \right) \right)}=\widehat{{B}'CH}=45{}^\circ $
$\Rightarrow {B}'H=CH=\frac{a\sqrt{7}}{2}$
Lại có: ${{S}_{ABCD}}=\frac{1}{2}AC.BD=2{{a}^{2}}\sqrt{3}$
$\Rightarrow {{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=2{{a}^{2}}\sqrt{3}.\frac{a\sqrt{7}}{2}={{a}^{3}}\sqrt{21}.$ Chọn D
Bài tập 15: Cho hình lăng trụ $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có đáy là hình vuông ABCD cạnh 6a. Hình chiếu vuông góc của ${A}'$xuống đáy trùng với trọng tâm tam giác ABD. Biết tam giác $A{A}'C$ vuông tại ${A}'$. Thể tích khối lăng trụ $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ là:
A. $72{{a}^{3}}$ B. $144{{a}^{3}}$ C. $72{{a}^{3}}\sqrt{3}$ D. $48{{a}^{3}}$ |
Lời giải chi tiết
Gọi G là trọng tâm tam giác ABD khi đó ta có:
$GA=\frac{1}{3}AC$. Mặt khác $AC=6a\sqrt{2}.$
Suy ra $GA=2a\sqrt{2},GC=4a\sqrt{2}.$ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác $AC{A}'$ vuông tại ${A}'$có đường cao ${A}'G$ nên ta có: ${A}'G=\sqrt{GA.GC}=4a$
$\Rightarrow {{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}={A}'G.{{S}_{ABCD}}=144{{a}^{3}}$. Chọn B.
Bài tập 16: Cho lăng trụ $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có đáy ABCD là hình chữ nhật có $AB=2a,AD=2a\sqrt{3},$hình chiếu vuông góc của ${A}'$ lên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ trùng với tâm O của hình chữ nhật ABCD. Biết cạnh $A{A}'$ tạo với đáy một góc $60{}^\circ $. Thể tích lăng trụ $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ là:
A. $8{{a}^{3}}$ B. $12\sqrt{3}{{a}^{3}}$ C. $24{{a}^{3}}$ D. $8\sqrt{3}{{a}^{3}}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\widehat{\left( A{A}';\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{{A}'AO}=60{}^\circ .$
Mặt khác: $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=4a\Rightarrow OA=2a$
$\Rightarrow O{A}'=OA\tan 60{}^\circ =2a\sqrt{3}$
${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=O{A}'.{{S}_{ABCD}}=2a\sqrt{3}.4{{a}^{2}}\sqrt{3}=24{{a}^{3}}$
Chọn C.
.
TOÁN LỚP 12