Giả sử hình chóp S.ABC có mặt phẳng $(SAB)\bot (ABC)$. Ta dựng $SH\bot AB$(trong trường hợp $\Delta SAB$cân tại S thì H là trung điểm của AB).
Khi đó $\left\{ \begin{array} {} (SAB)\bot (ABC) \\ {} SH\bot AB \\ {} AB=\left( SAB \right)\cap \left( ABC \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)$.
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B có AB=$a\sqrt{3}$, BC= a. Tam giác SAC cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy, mặt phẳng (SAB) tạo với đáy một góc bằng ${{60}^{o}}$. Thể tích khối chóp S.ABC là:
A. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$. B. $\frac{{{a}^{3}}}{4}$. C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$ . D.$2{{a}^{3}}$. |
Lời giải chi tiết:
Gọi H là trung điểm của AC ta có $SH\bot AC$
Mặt khác $\left( SAC \right)\bot \left( ABC \right)$suy ra $SH\bot \left( ABC \right)$ Dựng $HE\bot AB$ khi đó HE là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó: $HE=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$ Mặt khác: $\left\{ \begin{array} {} AB\bot HE \\ {} AB\bot SH \\ \end{array} \right.\Rightarrow AB\bot (SHE)\Rightarrow \widehat{SEH}=60{}^\circ $. |
Do đó $SH=HE.\tan 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{2},{{S}_{ABC}}=\frac{AB.BC}{2}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$$\Rightarrow $ ${{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{3}}}{4}$. Chọn B.
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC có AB= AC= 2a và BC= $2a\sqrt{3}$, gọi M là trung điểm của BC. Tam giác SAM cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Thể tích khối chóp S.ABC là:
A. $\frac{{{a}^{3}}}{6}$. B. $\frac{3{{a}^{3}}}{2}$. C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$ . D.$\frac{{{a}^{3}}}{2}$. |
Lời giải chi tiết:
Gọi H là trung điểm của AM ta có $SH\bot AM$
Mặt khác $\left( SAM \right)\bot \left( ABC \right)$nên $SH\bot \left( ABC \right)$ Ta có: $BM=MC=a\sqrt{3}\Rightarrow AM=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{M}^{2}}}=a$ $\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AM.BC={{a}^{2}}\sqrt{3}$. Dựng $HK\bot SM\Rightarrow HK\bot \left( SBC \right)$. Khi đó $d\left( A;\left( SBC \right) \right)=2d\left( H;\left( SBC \right) \right)=2HK$ $\Rightarrow HK=\frac{a\sqrt{3}}{4}\Rightarrow \frac{1}{S{{H}^{2}}}=\frac{1}{H{{K}^{2}}}-\frac{1}{H{{M}^{2}}}\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. ${{S}_{ABC}}={{a}^{2}}\sqrt{3}.$Do đó ${{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{3}}}{2}$. Chọn D. |
Bài tập 3: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, tam giác SAB vuông tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết SA=$a\sqrt{6}$, SB= $a\sqrt{3}$ và AC=$2a$. Thể tích khối chóp S.ABC là:
|
Lời giải chi tiết:
Dựng $SH\bot AB$. Mặt khác $\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right)$ suy ra $SH\bot \left( ABC \right)$. Ta có: $AB=\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}}=3a$. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAB ta có: $HA=\frac{S{{A}^{2}}}{AB}=2a$
$\Rightarrow SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-H{{A}^{2}}}=a\sqrt{2},{{S}_{ABC}}=\frac{AB.AC}{2}=3{{a}^{2}}$. Khi đó ${{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}={{a}^{3}}\sqrt{2}$.Chọn A. |
Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC), SAB là tam giác đều cạnh $a\sqrt{3}$, BC= $a\sqrt{3}$,đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (ABC) góc $60{}^\circ $. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng:
A.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$. B. $2{{a}^{3}}\sqrt{6}$. C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}$. D.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$. |
Lời giải chi tiết:
Ta có $\widehat{SC;\left( ABC \right)}=\widehat{\left( SC;AC \right)}=\widehat{SCA}=60{}^\circ $.
Gọi H là trung điểm của AB mà $\Delta ABC$ cân $\Rightarrow BH\bot \left( SAC \right)$.
Gọi K là trung điểm của SA mà $\Delta SAB$ đều $\Rightarrow BK\bot SA$
Suy ra $SA\bot \left( BHK \right)\Rightarrow SA\bot HK$ mà $HK\parallel SC\Rightarrow SA\bot SC$ .
Tam giác SAC vuông tại S, có $\widehat{SCA}=60{}^\circ \Rightarrow SC=SH=\frac{AC}{2}=a$.
Diện tích tam giác ABC là ${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$.
Tam giác ABH vuông tại H, có $BH=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{H}^{2}}}=a\sqrt{2}$ Vậy thể tích khối chóp S.ABC là $V=\frac{1}{3}.BH.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$. Chọn D.
Bài tập 5: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều. Tam giác SAC cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy, đường thẳng SB tạo với đáy một góc $60{}^\circ $. Biết khoảng cách từ S đến mặt đáy (ABC) là h. Thể tích khối chóp tính theo h là:
A. $\frac{{{h}^{3}}\sqrt{3}}{3}$. B. $\frac{{{h}^{3}}\sqrt{3}}{9}$. C. $\frac{{{h}^{3}}\sqrt{3}}{27}$. D.$\frac{{{h}^{3}}\sqrt{3}}{18}$. |
Lời giải chi tiết:
Gọi H là trung điểm của AC ta có $SH\bot AC$
Mặt khác $\left( SAC \right)\bot \left( ABC \right)$ nên $SH\bot \left( ABC \right)$ Khi đó SH= $h$. Mặt khác $\widehat{SBH}=60{}^\circ $ Do vậy $HB\tan 60{}^\circ =h\Rightarrow HB=\frac{h}{\sqrt{3}}$. |
Đặt AB=$a\Rightarrow HB=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{h}{\sqrt{3}}\Rightarrow a=\frac{2h}{3}$. Do đó ${{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{h}^{2}}\sqrt{3}}{9}\Rightarrow $ ${{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}=\frac{{{h}^{3}}\sqrt{3}}{27}$. Chọn C.
Bài tập 6: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi M là trung điểm của BC. Tam giác SAM vuông tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết SA=$\frac{a}{\sqrt{2}}$, thể tích khối chóp S.ABC là:
A. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4}$. B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$. C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{18}$. D.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}$. |
Lời giải chi tiết:
Dựng $SH\bot AM$ta có $\left( SAM \right)\bot \left( ABC \right)$nên $SH\bot \left( ABC \right)$
Mặt khác $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ Suy ra $SM=\sqrt{A{{M}^{2}}-S{{A}^{2}}}=\frac{a}{2}$ Lại có: $SH=\frac{SA.SM}{\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{M}^{2}}}}=\frac{a}{\sqrt{6}}$ Vậy ${{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}$. Chọn D. |
Bài tập 7: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD. Tam giác SAB đều cạnh $2a$ và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng SC tạo với đáy một góc $30{}^\circ $. Thể tích khối chóp S.ABCD là:
A. $\frac{4{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$. B. $\frac{2{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$. C. $\frac{4{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$. D.$\frac{4{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$. |
Lời giải chi tiết:
Gọi H là trung điểm của AB ta có $SH\bot AB$.
Mặt khác $\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right)$ nên $SH\bot \left( ABC \right),SH=a\sqrt{3}$. Đường thẳng SC tạo với đáy một góc $30{}^\circ $ Do đó $HC\tan 30{}^\circ =SH\Rightarrow HC=3a$. Khi đó $BC=\sqrt{H{{C}^{2}}-H{{B}^{2}}}=2a\sqrt{2}$ Do vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{4{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.Chọn A. |
Bài tập 8: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Tam giác SAB vuông tại S và thuộc mặt phẳng đáy. Biết rằng SA= 3 và SB= 4, mặt phẳng (SCD) tạo với đáy một góc $60{}^\circ $. Thể tích khối chóp S.ABCD là:
A. $\frac{16\sqrt{3}}{15}$. B. $\frac{4\sqrt{3}}{5}$. C. $\frac{16}{5}$. D.$\frac{16\sqrt{3}}{5}$. |
Lời giải chi tiết:
Dựng $SH\bot AB$ ta có $\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right)$nên $SH\bot \left( ABC \right)$. Mặt khác $AB=\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}}=5$
Khi đó: $SH=\frac{SA.SB}{\sqrt{S{{A}^{2}}+S{{B}^{2}}}}=\frac{12}{5}$. Dựng $HK\bot CD$ ta có: $\left\{ \begin{array} {} CD\bot SH \\ {} CD\bot HK \\ \end{array} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SHK \right)$ Do đó $\widehat{SKH}=60{}^\circ \Rightarrow HK\tan 60{}^\circ =SH$ $\Rightarrow HK=AD=\frac{SH}{\tan 60{}^\circ }=\frac{4\sqrt{3}}{5}$ Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{16\sqrt{3}}{5}$. Chọn D. |
Bài tập 9: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD có AC= $2a$, BD=$2a\sqrt{3}$. Tam giác SAC cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAB) bằng $\frac{2a\sqrt{15}}{5}$.Thể tích khối chóp S.ABCD là:
A.$2{{a}^{3}}\sqrt{15}$ . B. $4{{a}^{3}}$. C. $2{{a}^{3}}\sqrt{2}$. D.$2{{a}^{3}}$. |
Lời giải chi tiết:
Gọi H là trung điểm của AC ta có $SH\bot AC$. Mặt khác $\left( SAC \right)\bot \left( ABC \right)$nên $SH\bot \left( ABC \right)$. Ta có:$DB=2HB$
Do vậy $d\left( D;\left( SAB \right) \right)=2d\left( H;\left( SAB \right) \right)$ Dựng $HE\bot AB$; $HF\bot SE$. Khi đó $HF=d\left( H;\left( SAB \right) \right)=\frac{1}{2}d\left( D;\left( SAB \right) \right)=\frac{a\sqrt{15}}{5}$. Lại có: $\frac{1}{H{{F}^{2}}}=\frac{1}{H{{E}^{2}}}+\frac{1}{S{{H}^{2}}}$ |
Mặt khác $\begin{array} {} \frac{1}{H{{E}^{2}}}=\frac{1}{H{{A}^{2}}}+\frac{1}{H{{B}^{2}}}=\frac{4}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow \frac{1}{S{{H}^{2}}}=\frac{1}{H{{F}^{2}}}-\frac{1}{H{{E}^{2}}}=\frac{1}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow S{{H}^{{}}}=a\sqrt{3} \\ {} \\ \end{array}$
${{S}_{ABCD}}=\frac{AC.BD}{2}=2{{a}^{2}}\sqrt{3}\Rightarrow $ ${{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=2{{a}^{3}}$. Chọn D.
Bài tập 10: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D có AB= BC=$2a$, AD= $3a$. Tam giác SAB cân tại A và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của CD. Đường thẳng SM tạo với đáy một góc $60{}^\circ $. Thể tích khối chóp S.ABCD là:
A. $\frac{25{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$. B. $\frac{25{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$. C.$\frac{5{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$ . D.$\frac{5{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$. |
Lời giải chi tiết:
Gọi H là trung điểm của AB ta có $SH\bot AB$.
Mặt khác $\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right)$nên $SH\bot \left( ABC \right)$. Do $\widehat{SM;\left( ABCD \right)}=60{}^\circ \Rightarrow \widehat{SMH}=60{}^\circ $ Lại có $HM=\frac{AD+BC}{2}=\frac{5a}{2}$ $\Rightarrow SH=HM\tan \widehat{SMH}=HM\tan 60{}^\circ =\frac{5a\sqrt{3}}{2}$ Ta có ${{S}_{ABCD}}=\frac{AD+BC}{2}.AB=5{{a}^{2}}$. ${{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{25{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$. Chọn A. |
Bài tập 11: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và B có AB= $a\sqrt{3}$, AD= $3a$, BC=$a$. Tam giác SBD cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng SA tạo với đáy một góc. Thể tích khối chóp S.ABCD là:
A. $6{{a}^{3}}$. B. $\frac{2{{a}^{3}}}{3}$. C. $\frac{3{{a}^{3}}}{2}$. D.$2{{a}^{3}}$. |
Lời giải chi tiết:
Gọi H là trung điểm của BD ta có $SH\bot BD$. Mặt khác $\left( SBD \right)\bot \left( ABC \right)$ nên $SH\bot \left( ABC \right)$
Lại có $BD=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=2a\sqrt{3}$ $\Rightarrow AH=\frac{1}{2}BD=a\sqrt{3}$. Do SA tạo với đáy góc $45{}^\circ \Rightarrow \widehat{SAH}=45{}^\circ \Rightarrow SH=a\sqrt{3}$ |
Mặt khác ${{S}_{ABCD}}=\frac{AD+BC}{2}.AB=2{{a}^{2}}\sqrt{3}\Rightarrow $ ${{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=2{{a}^{3}}$.Chọn D.
Bài tập 12: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều đường kính AD= $2a$. Tam giác SAD cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Thể tích khối chóp S.ABCD là:
A. $\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$. B.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$ . C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$. D.$\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$. |
Lời giải chi tiết:
Gọi H là trung điểm của AD ta có $SH\bot AD$.
Mặt khác $\left( SAD \right)\bot \left( ABC \right)$nên $SH\bot \left( ABC \right)$. Do $AD=2HD\Rightarrow d\left( A;\left( SCD \right) \right)=2d\left( H;\left( SCD \right) \right)$. Dựng $HE\bot CD,HF\bot SE$ $\Rightarrow d\left( H;\left( SCD \right) \right)=HF=\frac{1}{2}d\left( A;\left( SCD \right) \right)=\frac{a\sqrt{3}}{4}$. Mặt khác HCD là tam giác đều cạnh $a$ nên E là trung điểm của CD và HE=$\frac{a\sqrt{3}}{2}$ Suy ra $SH=\frac{a}{2}$ $\Rightarrow $ ${{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}SH.3{{S}_{HCD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$. Chọn B. |
TOÁN LỚP 12