Bài tập tính một logarit theo các logarit đã cho có đáp án chi tiết - Tự Học 365

Bài tập tính một logarit theo các logarit đã cho có đáp án chi tiết

Bài tập tính một logarit theo các logarit đã cho có đáp án chi tiết

Bài tập tính một logarit theo các logarit đã cho có đáp án – cách giải

Một số bt trắc nghiệm dạng bài  biểu diễn biểu thức logarit theo biểu thức cho trước

Ví dụ 1: Với các số thực dương x,y tùy ý, đặt ${{\log }_{2}}x=\alpha ,{{\log }_{2}}y=\beta $ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. ${{\log }_{16}}{{\left( \frac{\sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} \right)}^{4}}=\frac{3}{2}\alpha -2\beta $                       B.${{\log }_{16}}{{\left( \frac{\sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} \right)}^{4}}=24\alpha -32\beta $

C.${{\log }_{16}}{{\left( \frac{\sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} \right)}^{4}}=\frac{2}{3}\alpha -2\beta $               D. ${{\log }_{16}}{{\left( \frac{\sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} \right)}^{4}}=\frac{2}{3}\alpha +2\beta $

Lời giải chi tiết

Ta có ${{\log }_{16}}{{\left( \frac{\sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} \right)}^{4}}={{\log }_{{{2}^{4}}}}{{\left( \frac{\sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} \right)}^{4}}={{\log }_{2}}\frac{\sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}}={{\log }_{2}}\sqrt{{{x}^{3}}}-{{\log }_{2}}{{y}^{2}}=\frac{3}{2}{{\log }_{2}}x-2{{\log }_{2}}y$

= $\frac{3}{2}\alpha -2\beta $.Chọn A

Ví dụ 2: Với các số thực dương x, y tùy ý, đặt ${{\log }_{2}}x=\alpha ,{{\log }_{2}}y=\beta $. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. ${{\log }_{\sqrt{2}}}{{\left( \frac{2\sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} \right)}^{2}}=1+\frac{3}{2}\alpha -2\beta $               B. ${{\log }_{\sqrt{2}}}{{\left( \frac{2\sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} \right)}^{2}}=4+6\alpha +8\beta $

C. ${{\log }_{\sqrt{2}}}{{\left( \frac{2\sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} \right)}^{2}}=1+\frac{3}{2}\alpha +2\beta $              D. ${{\log }_{\sqrt{2}}}{{\left( \frac{2\sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} \right)}^{2}}=4+6\alpha -8\beta $

Lời giải chi tiết

Ta có ${{\log }_{\sqrt{2}}}{{\left( \frac{2\sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} \right)}^{2}}={{\log }_{{{2}^{\frac{1}{2}}}}}{{\left( \frac{2\sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}} \right)}^{2}}=4{{\log }_{2}}\frac{2\sqrt{{{x}^{3}}}}{{{y}^{2}}}=4.\left( {{\log }_{2}}2+{{\log }_{2}}\sqrt{{{x}^{3}}}-{{\log }_{2}}{{y}^{2}} \right)$

$=4\left( 1+{{\log }_{2}}{{x}^{\frac{3}{2}}}-2{{\log }_{2}}y \right)=4\left( 1+\frac{3}{2}{{\log }_{2}}x-2{{\log }_{2}}y \right)=4+6{{\log }_{2}}x-8{{\log }_{2}}y=4+6\alpha -8\beta $. Chọn D

Ví dụ 3: Cho ${{\log }_{b}}a=x;{{\log }_{b}}c=y$. Hãy biểu diễn ${{\log }_{{{a}^{2}}}}\left( \sqrt[3]{{{b}^{5}}{{c}^{4}}} \right)$ theo x và y

A. $\frac{5+4y}{6x}$ B. $\frac{20y}{3x}$ C. $\frac{5+3{{y}^{4}}}{3{{x}^{2}}}$ D. $2x+\frac{20y}{3}$

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{\log }_{{{a}^{2}}}}\left( \sqrt[3]{{{b}^{5}}{{c}^{4}}} \right)=\frac{1}{2}{{\log }_{a}}{{\left( {{b}^{5}}{{c}^{4}} \right)}^{\frac{1}{3}}}=\frac{1}{2}{{\log }_{a}}\left( {{b}^{\frac{5}{3}}}{{c}^{\frac{4}{3}}} \right)=\frac{1}{2}{{\log }_{a}}{{b}^{\frac{5}{3}}}+\frac{1}{2}{{\log }_{a}}{{c}^{\frac{4}{3}}}=\frac{5}{6}{{\log }_{a}}b+\frac{4}{6}{{\log }_{a}}c$

$=\frac{5}{6}.\frac{1}{{{\log }_{b}}a}+\frac{4}{6}\frac{{{\log }_{b}}c}{{{\log }_{b}}a}=\frac{5}{6x}+\frac{4y}{6x}=\frac{5+4y}{6x}$. Chọn A

Ví dụ 4: Cho ${{\log }_{a}}x=m;{{\log }_{b}}x=n;{{\log }_{c}}x=p$. Hãy biểu diễn ${{\log }_{\frac{ab}{c}}}x$ theo m, n, p

A. $\frac{mnp}{mn+mp-np}$ B. $\frac{mnp}{np+mp-mn}$ C. $\frac{1}{m+n-p}$              D. $\frac{mnp}{m+n-p}$

Lời giải chi tiết

Ta có ${{\log }_{\frac{ab}{c}}}x=\frac{1}{{{\log }_{x}}\frac{ab}{c}}=\frac{1}{{{\log }_{x}}a+{{\log }_{x}}b-{{\log }_{x}}c}=\frac{1}{\frac{1}{{{\log }_{a}}x}+\frac{1}{{{\log }_{b}}x}-\frac{1}{{{\log }_{c}}x}}$

$=\frac{1}{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}-\frac{1}{p}}=\frac{mnp}{np+mp-mn}$. Chọn B

Ví dụ 5: Đặt ${{\log }_{2}}7=a;{{\log }_{3}}7=b$. Hãy tính ${{\log }_{14}}12$ theo a,b

A. ${{\log }_{14}}12=\frac{a+2b}{ab+a}$                                        B. ${{\log }_{14}}12=\frac{a+2b}{ab+b}$

C. ${{\log }_{14}}12=\frac{2a+b}{ab+a}$                                       D. ${{\log }_{14}}12=\frac{2a+b}{ab+b}$

Lời giải chi tiết

Ta có ${{\log }_{14}}12=\frac{{{\log }_{2}}12}{{{\log }_{2}}14}=\frac{{{\log }_{2}}\left( {{2}^{2}}.3 \right)}{{{\log }_{2}}\left( 2.7 \right)}=\frac{2+{{\log }_{2}}3}{1+{{\log }_{2}}7}=\frac{2+{{\log }_{2}}7.{{\log }_{7}}3}{1+a}=\frac{2+\frac{a}{b}}{a+1}=\frac{a+2b}{ab+b}$

Cách 2 (Casio): Nhập ${{\log }_{2}}7-SHIFT-STO-A$ ( mục đích gán ${{\log }_{2}}7=A$)

Nhập ${{\log }_{3}}7-SHIFT-STO-B$ (gán ${{\log }_{3}}7=B$)

Lấy ${{\log }_{14}}12-\frac{A+2B}{AB+A};{{\log }_{14}}12-\frac{A+2B}{AB+B}.......$trong 4 kết quả kết quả nào cho đáp án bằng 0 thì đáp án đó là đáp án đúng. Chọn B

Ví dụ 6: Cho ${{\log }_{2}}3=a,{{\log }_{2}}5=b$. Tính ${{\log }_{6}}45$ theo a,b

A. ${{\log }_{6}}45=\frac{a+2b}{2\left( 1+a \right)}$ B. ${{\log }_{6}}45=2a+b$

C. ${{\log }_{6}}45=\frac{2a+b}{1+a}$ D. ${{\log }_{6}}45=a+b-1$

Lời giải chi tiết

Ta có ${{\log }_{6}}45=\frac{{{\log }_{2}}45}{{{\log }_{2}}6}=\frac{{{\log }_{2}}\left( {{3}^{2}}.5 \right)}{{{\log }_{2}}\left( 2.3 \right)}=\frac{2{{\log }_{2}}3+{{\log }_{2}}5}{1+{{\log }_{2}}3}=\frac{2a+b}{1+a}$. Chọn C

Ví dụ 7:Đặt $a={{\log }_{3}}4,b={{\log }_{5}}4$. Hãy biểu diễn ${{\log }_{12}}80$ theo a, b

A. ${{\log }_{12}}80=\frac{2{{a}^{2}}-2ab}{ab+b}$ B. ${{\log }_{12}}80=\frac{a+2ab}{ab}$

C. ${{\log }_{12}}80=\frac{a+2ab}{ab+b}$ D. ${{\log }_{12}}80=\frac{2{{a}^{2}}-2ab}{ab}$

Lời giải chi tiết

Ta có ${{\log }_{12}}80=\frac{{{\log }_{4}}80}{{{\log }_{4}}12}=\frac{{{\log }_{4}}16+{{\log }_{4}}5}{{{\log }_{4}}3+{{\log }_{4}}4}=\frac{2+\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}+1}=\frac{a+2ab}{ab+b}$. Chọn C

Ví dụ 8: Đặt $a={{\log }_{2}}3;b={{\log }_{5}}2;c={{\log }_{2}}7$. Hãy ${{\log }_{42}}15$ biểu diễn theo a, b, c

A. ${{\log }_{42}}15=\frac{ab+1}{b\left( a+c+1 \right)}$ B. ${{\log }_{42}}15=\frac{ac+1}{c\left( a+c+1 \right)}$

C. ${{\log }_{42}}15=\frac{ac+1}{ab+b+c}$ D. ${{\log }_{42}}15=\frac{a+c}{a+b+bc}$

Lời giải chi tiết

Ta có ${{\log }_{42}}15=\frac{{{\log }_{2}}15}{{{\log }_{2}}42}=\frac{{{\log }_{2}}3+{{\log }_{2}}5}{{{\log }_{2}}2+{{\log }_{2}}3+{{\log }_{2}}7}=\frac{a+\frac{1}{b}}{1+a+c}=\frac{ab+1}{b\left( a+c+1 \right)}$. Chọn A

Ví dụ 9: Đặt $a={{\log }_{2}}5;b={{\log }_{3}}5$. Hãy biểu diễn $\log 75$ theo a,b

A. $\log 75=\frac{a+2ab}{ab+b}$ B.$\log 75=\frac{2{{a}^{2}}-2ab}{ab}$

C. $\log 75=\frac{a+ab}{ab}$ D. $\log 75=\frac{2{{a}^{2}}-2ab}{ab+b}$

Lời giải chi tiết

Ta có $\log 75=\frac{{{\log }_{2}}75}{{{\log }_{2}}10}=\frac{{{\log }_{2}}\left( {{5}^{2}}.3 \right)}{{{\log }_{2}}\left( 2.5 \right)}=\frac{2{{\log }_{2}}5+{{\log }_{2}}3}{1+{{\log }_{2}}5}=\frac{2a+{{\log }_{2}}5.{{\log }_{5}}3}{1+a}$

$=\frac{\frac{a}{b}+2a}{1+a}=\frac{a+2ab}{\left( a+1 \right)b}$.Chọn C

Ví dụ 10: Đặt $a={{\log }_{2}}3;b={{\log }_{5}}3$. Hãy biểu diễn ${{\log }_{6}}45$ theo a và b

A. ${{\log }_{6}}45=\frac{a+2ab}{ab}$ B. ${{\log }_{6}}45=\frac{2{{a}^{2}}-2ab}{ab}$

C. ${{\log }_{6}}45=\frac{a+2ab}{ab+b}$ D. ${{\log }_{6}}45=\frac{2{{a}^{2}}-2ab}{ab+b}$

Lời giải chi tiết

Ta có ${{\log }_{6}}45=\frac{{{\log }_{2}}45}{{{\log }_{2}}6}=\frac{{{\log }_{2}}\left( 5.9 \right)}{{{\log }_{2}}\left( 2.3 \right)}=\frac{{{\log }_{2}}5+{{\log }_{2}}9}{1+{{\log }_{2}}3}=\frac{{{\log }_{2}}3.{{\log }_{3}}5+2{{\log }_{2}}3}{1+a}$

$=\frac{\frac{a}{b}+2a}{1+a}=\frac{a+2ab}{\left( a+1 \right)b}$. Chọn C

Ví dụ 11: Biết ${{\log }_{27}}5=a,{{\log }_{8}}7=b,{{\log }_{2}}3=c$ thì ${{\log }_{12}}35$ tính theo a, b và c bằng

A. $\frac{3b+2ac}{c+2}$      B. $\frac{3(b+ac)}{c+2}$ C. $\frac{3b+2ac}{c+1}$ D. $\frac{3(b+ac)}{c+1}$

Lời giải chi tiết

${{\log }_{12}}35=\frac{{{\log }_{2}}35}{{{\log }_{2}}12}=\frac{{{\log }_{2}}7+{{\log }_{2}}5}{{{\log }_{2}}4+{{\log }_{2}}3}=\frac{3{{\log }_{8}}7+{{\log }_{2}}3.{{\log }_{3}}5}{c+2}=\frac{3b+3c.{{\log }_{27}}15}{c+2}=\frac{3\left( ac+b \right)}{c+2}$. Chọn B

Ví dụ 12: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy={{10}^{a}},yz={{10}^{2b}},zx={{10}^{3c}}\left( a,b,c\in \mathbb{R} \right)$.

Tính $P=\log x+\operatorname{logy}+logz$ theo a, b, c

A. $P=3abc$ B. $P=a+2b+3c$ C. $P=6abc$ D. $P=\frac{a+2b+3c}{2}$

Lời giải chi tiết

Ta có $xy={{10}^{a}},yz={{10}^{2b}},zx={{10}^{3c}}\Rightarrow {{\left( xyz \right)}^{2}}={{10}^{a+2b+3c}}$

Suy ra $P=\log x+\log y+\log z=\log \left( xyz \right)=\frac{1}{2}\log {{\left( xyz \right)}^{2}}=\frac{1}{2}\log {{10}^{a+2b+3c}}=\frac{a+2b+3c}{2}$. Chọn D

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12