▪ Dựa vào đồ thị hàm số để xác định nghiệm của mẫu số và tử số từ đó suy ra các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
▪ Tìm các giới hạn $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,y$ để tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Bài tập 1: Cho đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ như hình vẽ bên.
Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{x-2}{f\left( x \right)+3}$ là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. |
Lời giải chi tiết
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình $f\left( x \right)+3=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=-3$ có nghiệm kép $x=2$ và một nghiệm $x=a<0$ .
Do đó $y=\frac{x-2}{f\left( x \right)+3}=\frac{x-2}{k\left( x-a \right).{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\Rightarrow $ Đồ thị hàm số $y=\frac{x-2}{f\left( x \right)+3}$ có 2 đường tiệm cận đứng là $x=a$ và $x=2$. Chọn B.
Bài tập 2: Cho đồ thị hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ như hình vẽ bên.
Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+2x}{f\left( x \right)+2}$ là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. |
Lời giải chi tiết
Dựa vào đồ thị dễ thấy hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có $a\ne 0$.
Ta có: $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-4}{f\left( x \right)+2}=0\Rightarrow y=0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Phương trình $f\left( x \right)=-2$ có nghiệm kép $x=-2$ và một nghiệm $x>0$
Phương trình ${{x}^{2}}+2x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=-2 \\ {} x=0 \\ \end{array} \right.$ do đó đồ thị hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}+2x}{f\left( x \right)+2}$ có 2 đường tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận. Chọn C.
Bài tập 3: Cho hàm số $y=\frac{ax+2}{cx+b}$ có đồ thị (C) như hình vẽ bên.
Tính tổng $T=a+2b+3c$. A. $T=0.$ B. $T=-1.$ C. $T=3.$ D. $T=2.$ |
Lời giải chi tiết
Từ hình vẽ, ta có nhận xét sau:
Đường thẳng $x=2$ là tiệm cận đứng của đồ thị $\left( C \right)\Rightarrow x=-\frac{b}{c}=2\Leftrightarrow b=-2c.$
Đường thẳng $y=1$ là tiệm cận ngang của đồ thị $\left( C \right)\Rightarrow x=\frac{a}{c}=1\Leftrightarrow a=c$.
Điểm $M\left( 0;-1 \right)\in \left( C \right)$ suy ra $y\left( 0 \right)=-1\Leftrightarrow \frac{2}{b}=-1\Leftrightarrow b=-2$.
Suy ra $\left\{ \begin{array} {} b=-2 \\ {} b=-2c=-2\text{a} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} a=1 \\ {} b=-2 \\ {} c=1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow T=a+2b+3c=1+2.\left( -2 \right)+3=0$. Chọn A.
Bài tập 4: Cho hàm số bậc 3 có đồ thị như hình vẽ bên.
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{{{x}^{2}}-x}{{{f}^{2}}\left( x \right)-3f\left( x \right)+2}$ là: A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. |
Lời giải chi tiết
Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} f\left( x \right)-1\ne 0 \\ {} f\left( x \right)-2\ne 0 \\ \end{array} \right..$ Ta có: $y=\frac{x\left( x-1 \right)}{\left[ f\left( x \right)-1 \right]\left[ f\left( x \right)-2 \right]}$
Phương trình $f\left( x \right)-1=0$ có nghiệm kép $x=1$ và $x={{x}_{1}}<0\Rightarrow $ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=1,\,\,x={{x}_{1}}$.
Phương trình $f\left( x \right)-2=0$ có nghiệm $x=0$ và $x={{x}_{2}}<0;\,\,x={{x}_{3}}>1$ suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x={{x}_{2}}$ và $x={{x}_{3}}$.
Do đó đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng. Chọn B.
Bài tập 5: Cho hàm số bậc 3 có đồ thị như hình vẽ bên.
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{\left( {{x}^{2}}-1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+x}}{x\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-2f\left( x \right) \right]}$ là: A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. |
Lời giải chi tiết
Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} x\ge -1 \\ {} x<0 \\ {} {{f}^{2}}\left( x \right)-2f\left( x \right)\ne 0 \\ \end{array} \right..$
Ta có: $y=\frac{\left( {{x}^{2}}-1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+x}}{x\left[ {{f}^{2}}\left( x \right)-2f\left( x \right) \right]}=\sqrt{\frac{x+1}{x}}.\frac{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}{f\left( x \right)\left[ f\left( x \right)-2 \right]}$
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=0$.
Phương trình $f\left( x \right)=0$ có nghiệm kép $x=1$ và $x={{x}_{1}}<-1$ suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=1$ và $x={{x}_{1}}$.
Phương trình $f\left( x \right)-2=0$ có 3 nghiệm phân biệt trong đó $\left[ \begin{array} {} {{x}_{2}}=-1 \\ {} {{x}_{3}}\in \left( -1;0 \right) \\ {} {{x}_{4}}>1 \\ \end{array} \right.$ do đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x={{x}_{4}}$.
Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng. Chọn B.
Bài tập 6: Cho hàm số bậc 3 có đồ thị như hình vẽ bên.
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{\left( {{x}^{2}}-3\text{x}+2 \right)\sqrt{{{x}^{2}}-x}}{{{f}^{2}}\left( x \right)-f\left( x \right)}$ là: A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. |
Lời giải chi tiết
Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} x\ge 1 \\ {} x\le 0 \\ {} {{f}^{2}}\left( x \right)-f\left( x \right)\ne 0 \\ \end{array} \right.$ và $y=\frac{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\sqrt{x\left( x-1 \right)}}{f\left( x \right)\left[ f\left( x \right)-1 \right]}$
Phương trình $f\left( x \right)=0$ có nghiệm $x=0$ và nghiệm kép $x=2$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=0,\,\,x=2$.
Phương trình $f\left( x \right)-1=0$ có 3 nghiệm đơn $\left[ \begin{array} {} x={{x}_{1}}\in \left( 0;1 \right) \\ {} x=1 \\ {} x={{x}_{2}}>2 \\ \end{array} \right.$ suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x={{x}_{2}}$. Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận đứng. Chọn A.
TOÁN LỚP 12