Bài tập tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác có đáp án chi tiết cực hay.

Bài tập tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác có đáp án chi tiết cực hay.

Dưới đây là bài tập trắc nghiệm tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác có Lời giải chi tiết

Lời giải chi tiết

a) $I=\int{{{\sin }^{3}}x.{{\cos }^{2}}xdx=-\int{{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}xd\left( \cos x \right)=-\int{\left( 1-{{\cos }^{2}}x \right){{\cos }^{2}}xd\left( \cos x \right)}}}$

$\xrightarrow{t=\cos x}I=\int{\left( {{t}^{2}}-1 \right){{t}^{2}}dt=\int{\left( {{t}^{4}}-{{t}^{2}} \right)dt=\frac{{{t}^{5}}}{5}-\frac{{{t}^{3}}}{3}+C=\frac{{{\cos }^{5}}x}{5}-\frac{{{\cos }^{3}}x}{3}+C}}$

b) $I=\int{{{\sin }^{3}}x.{{\cos }^{5}}xdx=-\int{{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{5}}xd\left( \cos x \right)=-\int{\left( 1-{{\cos }^{2}}x \right){{\cos }^{5}}xd\left( \cos x \right)}}}$

$\xrightarrow{t=\cos x}I=\int{\left( {{t}^{2}}-1 \right){{t}^{5}}dt=\int{\left( {{t}^{7}}-{{t}^{5}} \right)dt=\frac{{{t}^{8}}}{8}-\frac{{{t}^{6}}}{6}+C=\frac{{{\cos }^{8}}x}{8}-\frac{{{\cos }^{6}}x}{6}+C}}$

c) $I=\int{{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}xdx=\int{{{\left( \operatorname{sinx}.cosx \right)}^{2}}dx=\frac{1}{4}\int{{{\left( \sin 2x \right)}^{2}}dx}}}$

$=\frac{1}{8}\int{\left( 1-\cos 4x \right)dx=\frac{x}{8}-\frac{\sin 4x}{32}+C}$

d) $I=\int{{{\sin }^{4}}xdx=\int{{{\left( {{\sin }^{2}}x \right)}^{2}}dx=\int{{{\left( \frac{1-\cos 2x}{2} \right)}^{2}}dx}}}$

$\begin{array} {} =\frac{1}{4}\int{\left( 1-2\cos 2x+{{\cos }^{2}}2x \right)dx=\frac{1}{4}\int{\left( 1-2\cos 2x+\frac{1+\cos 4x}{2} \right)}dx} \\ {} =\frac{1}{8}\int{\left( 3-4\cos 2x+\cos 4x \right)dx=\frac{3x}{8}-\frac{\sin 2x}{4}+\frac{\sin 4x}{32}+C} \\ \end{array}$

Lời giải chi tiết

a) $I=\int{\frac{{{\cos }^{3}}x}{1+\sin x}dx}=\int{\frac{{{\cos }^{2}}xd\left( \sin x \right)}{1+\sin x}=\int{\frac{\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right)d\left( \sin x \right)}{1+\sin x}=\int{\left( 1-\sin x \right)d\left( \sin x \right)=\sin x-\frac{{{\sin }^{2}}x}{2}+C}}}$

b) $\begin{array} {} I=\int{\frac{\left( 2+\cos x \right)dx}{\sin x}=\int{\frac{2dx}{\sin x}+\int{\frac{\cos xdx}{\sin x}=\int{\frac{2\sin xdx}{{{\sin }^{2}}x}+\int{\frac{d\left( \sin x \right)}{\sin x}=-\int{\frac{2d\left( \cos x \right)}{1-{{\cos }^{2}}x}+\ln \left| \sin x \right|}}}}}} \\ {} =\ln \left| \sin x.\frac{\cos x-1}{\cos x+1} \right|+C \\ \end{array}$

c) $\begin{array} {} I=\int{\frac{dx}{\sin x.{{\cos }^{2}}x}=\int{\frac{\sin xdx}{{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x}=-\int{\frac{d\left( \cos x \right)}{\left( 1-{{\cos }^{2}}x \right){{\cos }^{2}}x}\xrightarrow{t=\cos x}I=\int{\frac{dt}{{{t}^{2}}\left( {{t}^{2}}-1 \right)}}}}} \\ {} =\int{\left( \frac{1}{{{t}^{2}}-1}-\frac{1}{{{t}^{2}}} \right)dt=\frac{1}{2}\ln \left| \frac{t-1}{t+1} \right|+\frac{1}{t}+C=\frac{1}{2}\ln \left| \frac{\cos x-1}{\cos x+1} \right|+\frac{1}{\cos x}+C} \\ \end{array}$

d)$I=\int{\frac{dx}{{{\sin }^{4}}x.{{\cos }^{2}}x}=\int{\frac{{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{4}}x{{\cos }^{2}}x}dx=\int{\frac{dx}{{{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x}+\int{\frac{dx}{{{\sin }^{4}}x}}}}}$

$\begin{array} {} =\int{\frac{{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x}dx+\int{\frac{{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x}{{{\sin }^{4}}x}dx}} \\ {} =\int{\left( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x} \right)dx+\int{\left( \frac{1}{{{\sin }^{2}}x}+\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}.{{\cot }^{2}}x \right)dx}} \\ {} =\tan x-2\cot x-\int{{{\cot }^{2}}xd\left( \cot x \right)=\tan x-2\cot x-\frac{{{\cot }^{3}}x}{3}+C} \\ \end{array}$

Lời giải chi tiết

a)$I=\int{{{\tan }^{4}}xdx=\int{{{\tan }^{2}}x{{\tan }^{2}}xdx=\int{{{\tan }^{2}}x\left( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1 \right)dx}}}$

$=\int{\frac{{{\tan }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}dx}-\int{{{\tan }^{2}}xdx}=\int{{{\tan }^{2}}xd\left( \tan x \right)-\int{\left( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1 \right)dx}=\frac{{{\tan }^{3}}x}{4}-\tan x+x+C}$

b)$I=\int{\frac{{{\tan }^{4}}x}{\cos 2x}dx=\int{\frac{{{\tan }^{4}}xdx}{{{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x}=\int{\frac{\frac{{{\tan }^{4}}x}{{{\cos }^{2}}x}}{1-{{\tan }^{2}}x}dx\xrightarrow{t=\tan x}I=\int{\frac{{{t}^{4}}dt}{1-{{t}^{2}}}}}}}$

$\begin{array} {} =\int{\frac{{{t}^{4}}-1+1}{1-{{t}^{2}}}dt=-\int{\left( {{t}^{2}}+1+\frac{1}{{{t}^{2}}-1} \right)dt=-\frac{{{t}^{3}}}{3}-t-\frac{1}{2}\ln \left| \frac{t-1}{t+1} \right|+C}} \\ {} \Rightarrow I=-\frac{{{\tan }^{3}}t}{3}-\tan t-\frac{1}{2}\ln \left| \frac{\tan t-1}{\tan t+1} \right|+C \\ \end{array}$

c) $I=\int{\sin 2x\cos 3xdx=\frac{1}{2}\int{\left( \sin 5x-\sin x \right)dx=-\frac{\cos 5x}{10}+\frac{\operatorname{cosx}}{2}+C}}$

d) $I=\int{\frac{1-\cos 2x}{2}\cos 3xdx}=\frac{1}{2}\int{\left( \cos 3x-\cos 2x\cos 3x \right)dx}$

$=\frac{1}{2}\frac{\sin 3x}{3}-\frac{1}{2}\int{\cos 2x\cos 3xdx=\frac{\sin 3x}{6}-\frac{1}{4}\int{\left( \cos 5x+\cos x \right)dx=\frac{\sin 3x}{6}-\frac{\sin 5x}{20}-\frac{\operatorname{sinx}}{4}+C}}$

Lời giải chi tiết

Ta có: $\int{\frac{dx}{\operatorname{sinx}}=\int{\frac{\sin xdx}{{{\sin }^{2}}x}=\int{\frac{d\left( \cos x \right)}{{{\cos }^{2}}x-1}=\frac{1}{2}\ln \left| \frac{\operatorname{cosx}-1}{\cos x+1} \right|+C}}}$

$\begin{array} {} \int{{{\sin }^{6}}x\cos xdx=\int{{{\sin }^{6}}xd\left( \sin x \right)=\frac{{{\sin }^{7}}x}{7}+C}} \\ {} \int{\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{4}}x}dx}=\int{{{\tan }^{2}}x}.\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx=\int{{{\tan }^{2}}xd\left( \tan x \right)=\frac{{{\tan }^{3}}x}{3}+C} \\ {} \int{{{\cos }^{3}}xdx=\int{{{\cos }^{2}}xd\left( \sin x \right)}=\int{\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right)d\left( \sin x \right)=\operatorname{sinx}-\frac{{{\sin }^{3}}x}{3}+C}} \\ \end{array}$

Vậy có 2 mệnh đề đúng. Chọn B

Lời giải chi tiết

Ta có: $f\left( x \right)=\int{f'\left( x \right)dx=\frac{{{x}^{2}}}{2}+\int{2{{\sin }^{2}}x\cos xdx}=\frac{{{x}^{2}}}{2}+2\int{{{\sin }^{2}}xd\left( \sin x \right)}=\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{2{{\sin }^{3}}x}{3}+C}$

Lại có: $f\left( 0 \right)=C=2\Rightarrow f\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{{{\pi }^{2}}}{4}+\frac{8}{3}$ . Chọn B

Lời giải chi tiết

Ta có: $f\left( x \right)=\int{f'\left( x \right)dx}=\int{\frac{{{\sin }^{3}}x}{{{\cos }^{3}}x}.\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x}=\int{{{\tan }^{3}}xd\left( \tan x \right)=\frac{{{\tan }^{4}}x}{4}+C}}$

Lại có: $f\left( \frac{\pi }{4} \right)=2\Rightarrow \frac{1}{4}+C=2\Rightarrow C=\frac{7}{4}\Rightarrow f\left( \frac{\pi }{3} \right)=\frac{9}{4}+\frac{7}{4}=4$ . Chọn C

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array} {} I=\int{\frac{\sin 2xdx}{{{\left( 2+\sin x \right)}^{2}}}=\int{\frac{2\sin x\cos xdx}{{{\left( 2+\sin x \right)}^{2}}}=\int{\frac{2\sin xd\left( \sin x \right)}{{{\left( 2+\sin x \right)}^{2}}}}}} \\ {} =\int{\frac{2\left( 2+\sin x \right)-4}{{{\left( 2+\sin x \right)}^{2}}}d\left( \sin x \right)=\int{\left[ \frac{2}{2+\sin x}-\frac{4}{{{\left( 2+\sin x \right)}^{2}}} \right]d\left( \sin x \right)}} \\ {} =2\ln \left( 2+\sin x \right)+\frac{4}{2+\sin x}+C \\ \end{array}$

(do 2 + sinx > 0). Chọn A

Lời giải chi tiết

Ta có: $I=-\int{\frac{{{\cos }^{2}}xd\left( \cos x \right)}{1+\cos x}\xrightarrow{t=\cos x}-\int{\frac{{{t}^{2}}dt}{1+t}=\int{\left( -t+1-\frac{1}{t+1} \right)dt}}}$

$\begin{array} {} =-\frac{{{t}^{2}}}{2}+t-\ln \left| 1+t \right|+C=-\frac{{{\cos }^{2}}x}{2}+\cos x-\ln \left( 1+\cos x \right)+C \\ {} =-\frac{1}{4}\cos 2x+\cos x-\ln \left( 1+\cos x \right)+C+\frac{1}{4} \\ \end{array}$

Do đó: $a=1,b=\frac{-1}{4}\Rightarrow a+b=\frac{3}{4}.$ Chọn C

Lời giải chi tiết

Ta có $f\left( x \right)=\int{\frac{dx}{{{\left( 2\sin x+3\cos x \right)}^{2}}}}=\int{\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x{{\left( 2\tan \,x+3 \right)}^{2}}}=\int{\frac{d\left( \tan \,x \right)}{{{\left( 2\tan \,x+3 \right)}^{2}}}=-\frac{1}{2\left( 2\tan \,x+3 \right)}}}+C$

Do $F\left( 0 \right)=\frac{5}{6}\Rightarrow \frac{-1}{6}+C=\frac{5}{6}\Rightarrow C=1$ $\Rightarrow F\left( x \right)=\frac{-1}{4\tan x+6}+1$. Chọn A

Lời giải chi tiết

Ta có: $I=\int{\frac{\tan xdx}{{{\cos }^{2}}x\sqrt{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}+1}}=\int{\frac{\tan xdx}{{{\cos }^{2}}x\sqrt{{{\tan }^{2}}x+2}}\xrightarrow{t=\tan x}\int{\frac{tdt}{\sqrt{2+{{t}^{2}}}}}}}$

$=\frac{1}{2}\int{\frac{d\left( {{t}^{2}}+2 \right)}{\sqrt{{{t}^{2}}+2}}=\sqrt{{{t}^{2}}+2}+C=\sqrt{{{\tan }^{2}}x+2}+C.}$ Chọn A