Bài tập tìm nguyên hàm của hàm số bằng công thức nguyên hàm có đáp án chi tiết.

Bài tập tìm nguyên hàm của hàm số bằng công thức nguyên hàm có đáp án.

Một số bài tập trắc nghiệm tính, tìm nguyên hàm có đáp sán chi tiết

Lời giải chi tiết

Ta có: $\int{\left( 3x+cos3x \right)}=\frac{3{{x}^{2}}}{2}+\frac{\sin 3x}{3}+C$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\int{\left( {{2}^{x}}+{{e}^{x}} \right)}dx=\int{{{2}^{x}}}dx+\int{{{e}^{x}}}dx=\frac{{{2}^{x}}}{\ln 2}+{{e}^{x}}+C$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Với $x\in \left( 0;+\infty  \right)$ ta có: $\int{\left( {{x}^{2}}.\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}} \right)}dx=\int{{{x}^{2}}.\sqrt{x}}dx+\int{\frac{dx}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}}$

$=\int{{{x}^{2}}}.{{x}^{\frac{1}{2}}}dx+\int{{{x}^{\frac{-2}{3}}}dx}=\int{{{x}^{\frac{5}{2}}}dx}+\int{{{x}^{\frac{-2}{3}}}dx}=\frac{2}{7}\sqrt{{{x}^{7}}}+3\sqrt[3]{x}+C$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có $\int{\frac{1}{5x-2}dx=\frac{1}{5}\int{\frac{d\left( 5x-2 \right)}{5x-2}=}}\frac{1}{5}\ln \left| 5x-2 \right|+C$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\int{\left[ {{x}^{2}}+\sin \left( 3x+1 \right) \right]}dx=\int{{{x}^{2}}}dx+\int{\sin \left( 3x+1 \right)}dx$

$=\frac{{{x}^{3}}}{3}+\frac{1}{3}\int{\sin \left( 3x+1 \right)d\left( 3x+1 \right)}=\frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{cos\left( 3x+1 \right)}{3}+C$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\int{f\left( x \right)}=\int{\frac{dx}{\sqrt{x}}}+\int{{{e}^{-2x}}}dx=2\int{\frac{dx}{2\sqrt{x}}}-\frac{1}{2}\int{{{e}^{-2x}}}d\left( -2x \right)$

$=2\sqrt{x}-\frac{{{e}^{-2x}}}{2}+C=2\sqrt{x}-\frac{1}{2{{e}^{2x}}}+C$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\int{f\left( x \right)}=\int{{{\left( 2x+1 \right)}^{2019}}}dx=\frac{1}{2}\int{{{\left( 2x+1 \right)}^{2019}}}d\left( 2x+1 \right)=\frac{1}{2}.\frac{{{\left( 2x+1 \right)}^{2020}}}{2020}+C=\frac{{{\left( 2x+1 \right)}^{2020}}}{4040}+C$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\int{f\left( x \right)}dx=\int{{{x}^{3}}dx+\int{x}}dx=\frac{1}{4}{{x}^{4}}+\frac{1}{2}{{x}^{2}}+C$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: $F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)dx}=\int{2cos3xdx}-\int{{{3}^{x-1}}}dx=\frac{2\sin 3x}{3}-\frac{1}{3}\int{{{3}^{x}}dx=}=\frac{2\sin 3x}{3}-\frac{{{3}^{x}}}{3\ln 3}+C$

Mặt khác $F\left( 0 \right)=0\Rightarrow -\frac{1}{3\ln 3}+C=0\Leftrightarrow C=\frac{1}{3\ln 3}$

Vậy $F\left( x \right)=\frac{2\sin 3x}{3}-\frac{{{3}^{x}}}{3\ln 3}+\frac{1}{3\ln 3}$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có $F\left( x \right)=\int{\left( {{e}^{x}}+2x \right)dx={{e}^{x}}+{{x}^{2}}+C}$

Mà $F\left( 0 \right)=\frac{3}{2}\Rightarrow 1+C=\frac{3}{2}\Rightarrow C=\frac{1}{2}\Rightarrow F\left( x \right)={{e}^{x}}+{{x}^{2}}+\frac{1}{2}$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\int{{f}'\left( x \right)dx=\ln \left| 2x-1 \right|+C}$ $\left( x\ne \frac{1}{2} \right)$ . Hàm số gián đoạn tại điểm $x=\frac{1}{2}$

Nếu $x>\frac{1}{2}\Rightarrow f\left( x \right)=\ln \left( 2x-1 \right)+{{C}_{1}}$ mà $f\left( 1 \right)=2\Rightarrow {{C}_{1}}=2$

Vậy $f\left( x \right)=\ln \left( 2x-1 \right)+2$ khi $x>\frac{1}{2}$

Tương tự $f\left( x \right)=\ln \left( 2x-1 \right)+{{C}_{2}}$ khi $x<\frac{1}{2}$ mà $f\left( 0 \right)=1\Rightarrow {{C}_{2}}=1$

Do đó $f\left( -1 \right)+f\left( 3 \right)=\ln 3+1+\ln 5+2=ln15+3$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có $\int{{f}'\left( x \right)dx=3\ln \left| x+1 \right|+C}$ $\left( x\ne -1 \right)$

Nếu $x>-1\Rightarrow f\left( x \right)=3\ln \left( x+1 \right)+{{C}_{1}}$ mà $f\left( 0 \right)=1\Rightarrow {{C}_{1}}=1$

Vậy $f\left( x \right)=3\ln \left( x+1 \right)+1$ khi $x>-1$

Tương tự $f\left( x \right)=3\ln \left( -x-1 \right)+{{C}_{2}}$ khi $x<-1$

Do $f\left( 1 \right)+f\left( -2 \right)=2\Rightarrow 3\ln 2+1+{{C}_{2}}=2\Rightarrow {{C}_{2}}=1-3\ln 2$

Suy ra $f\left( -3 \right)=3\ln 2+1-3\ln 2=1$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${F}'\left( x \right)=\left( 3a{{x}^{2}}+2bx+c \right){{e}^{x}}+\left( a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d \right){{e}^{x}}$

$=\left[ a{{x}^{3}}+\left( 3a+b \right){{x}^{2}}+\left( 2b+c \right)x+c+d \right]{{e}^{x}}$

Do đó $\left\{ \begin{array}  {} a=2 \\  {} 3a+b=9 \\  {} 2b+c=-2 \\  {} c+d=5 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=2 \\  {} b=3 \\  {} c=-8 \\  {} d=13 \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}=246$. Chọn D.