Bài tập tìm cực trị của hàm số hợp có đáp án chi tiết

BÀI TẬP TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HỢP CÓ ĐÁP ÁN

Lời giải chi tiết

HD: Ta có $g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-2x=\left( 3-x \right)\left( {{x}^{2}}-1 \right);g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=3\text{  }  \\   x=\pm 1  \\\end{matrix} \right.$

Lập bảng xét dấu $\xrightarrow[{}]{}$ Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1.$Chọn B.

Lời giải chi tiết

HD: Ta có $g'\left( x \right)=f'\left( x \right)+3{{x}^{2}}=\left( x+3 \right)\left( 9-{{x}^{2}} \right)={{\left( x+3 \right)}^{2}}\left( 3-x \right);g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=-3\text{  }  \\   x=3\text{    }  \\\end{matrix} \right.$

Và $g'\left( x \right)$ không đổi dấu khi qua điểm $x=-3\Rightarrow x=3$là điểm cực đại. Chọn A.

Lời giải chi tiết

HD: Ta có $g'\left( x \right)=f'\left( x \right)={{x}^{2}}-3x;g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{    }  \\   x=3\text{    }  \\\end{matrix} \right.$

Suy ra $x=3$ là điểm cực tiểu của hàm số $\Rightarrow g\left( 3 \right)<g\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)+3<13.$ Chọn B.

Lời giải chi tiết

HD: Ta có $g'\left( x \right)=-f'\left( 1-x \right)=-\left( 1-x \right)\left( -1-x \right)=\left( 1-x \right)\left( x+1 \right)$

Phương trình $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=1\text{  }  \\   x=-1  \\\end{matrix} \right.\xrightarrow{{}}x=1$ là điểm cực đại. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: $f'\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}-3x \right)\left( 1-x \right)$

Khi đó: $g'\left( x \right)=\left[ f\left( {{x}^{2}}-x+1 \right) \right]\begin{matrix}   '  \\   {}  \\\end{matrix}=\left( 2x-1 \right)f'\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)=\left( 2x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)\left( x-{{x}^{2}} \right)$

$=\left( 2x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)\left( x+1 \right)\left( x-2 \right)x\left( 1-x \right)$

Do   đổi dấu qua 5 điểm suy ra hàm số   có 5 điểm cực trị. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: $f'\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+1 \right)(x-3)$

Khi đó: $g'\left( x \right)=\left( 2x+2 \right)f'\left( {{x}^{2}}+2x \right)=\left( 2x+2 \right){{\left( {{x}^{2}}+2x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)$

$=\left( 2x+2 \right){{\left( {{x}^{2}}+2x-1 \right)}^{2}}{{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( x-1 \right)\left( x+3 \right).$Ta có bảng xét dấu:

Do $g'\left( x \right)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua 1 điểm nên hàm số $g\left( x \right)$ có 1 điểm cực đại. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: $f'\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}-2 \right)\left( x+2 \right)x$

Khi đó: $g'\left( x \right)=\left( 2x+3 \right)f'\left( {{x}^{2}}+3x \right)=\left( 2x+3 \right){{\left( {{x}^{2}}+3x-2 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+3x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+3x \right)$

$=\left( 2x+3 \right){{\left( {{x}^{2}}+3x-2 \right)}^{2}}\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)x\left( x+3 \right).$

Do $g'\left( x \right)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua 3 điểm nên hàm số $g\left( x \right)$ có 3 điểm cực tiểu. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có $f'\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x-2 \right)\xrightarrow{{}}f'\left( 2-x \right)=-x{{\left( 1-x \right)}^{2}}$

Lại có $g'\left( x \right)=2f\left( 2-x \right)+2x=-2x{{\left( 1-x \right)}^{2}}+2x=2{{x}^{2}}\left( 2-x \right).$

Phương trình $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}\left( 2-x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0  \\

x=2  \\\end{matrix}. \right.$

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm   Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có $y=\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x+2} \right)\xrightarrow{{}}y'=\frac{2x-1}{2\sqrt{{{x}^{2}}+x+2}}.f'\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x+2} \right).$

Xét $y'=0\Leftrightarrow \left( 2x+1 \right).f'\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x+2} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=-\frac{1}{2}\text{                             }  \\   f'\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x+2} \right)=0\text{     (*)}  \\\end{matrix} \right.$

Lại có $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=\pm 1  \\   x=2\text{  }  \\   x=4\text{  }  \\   {}  \\\end{matrix} \right.$ suy ra (*)$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   \sqrt{{{x}^{2}}+x+2}=\pm 1  \\   \sqrt{{{x}^{2}}+x+2}=2\text{  }  \\   \sqrt{{{x}^{2}}+x+2}=4\text{  }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   {{x}^{2}}+x+1=0  \\   {{x}^{2}}+x=2\text{    }  \\   {{x}^{2}}+x=14\text{   }  \\\end{matrix} \right.$ (có 4 nghiệm).

Suy ra hàm số đã cho có 5 điểm cực trị. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y=\left| f\left( x \right) \right|$ thì $y'=\frac{f'\left( x \right).f\left( x \right)}{\left| f\left( x \right) \right|}$

Ta có: $y=\left| f\left( 2x-1 \right) \right|\Rightarrow y'=\frac{\left[ f\left( 2x-1 \right) \right]'.f\left( 2x-1 \right)}{\left| f\left( 2x-1 \right) \right|}=\frac{2f'\left( 2x-1 \right).f\left( 2x-1 \right)}{\left| f\left( 2x-1 \right) \right|}(*)$

Dựa vào BBT suy ra phương trình $f\left( x \right)=0$ có một nghiệm $x=a>2$ nên phương trình

$f\left( 2x-1 \right)=0\Leftrightarrow 2x-1=a(1)$có 1  nghiệm.

$f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=-3  \\   x=2\text{  }  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow f\left( 2x-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   2x-1=-3  \\   2x-1=2\text{  }  \\\end{matrix} \right.(2)$

Từ (1) và (2) suy ra phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy hàm số $y=\left| f\left( 2x-1 \right) \right|$ có 3 điểm cực trị. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=-2  \\   x=3\text{  }  \\\end{matrix} \right.$

Ta có: $y=\left( \left| f\left( {{x}^{2}}+2 \right) \right| \right)\begin{matrix}   '  \\   {}  \\\end{matrix}=\frac{f\left( {{x}^{2}}+2 \right)\left[ f\left( {{x}^{2}}+2 \right) \right]'}{\left| f\left( {{x}^{2}}+2 \right) \right|}=\frac{f\left( {{x}^{2}}+2 \right).2x.f'\left( {{x}^{2}}+2 \right)}{\left| f\left( {{x}^{2}}+2 \right) \right|}(*)$

Dựa vào BBT ta có thể giả sử $f\left( x \right)=0$ có 1 nghiệm duy nhất là$x=a>3$

Khi đó $f\left( {{x}^{2}}+2 \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2=a(1)$

Mặt khác $2x.f'\left( {{x}^{2}}+2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{              }  \\   {{x}^{2}}+2=-2(2)  \\   {{x}^{2}}+2=3\text{        }  \\\end{matrix} \right.$

Từ (1) và (2) suy ra (*) có 5 nghiệm phân biệt suy ra hàm số $y=\left| f\left( {{x}^{2}}+2 \right) \right|$ có 5 điểm cực trị.

Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có $g'\left( x \right)=\left( 2x-4 \right)f'\left( {{x}^{2}}-4x-m \right)=2\left( x-2 \right){{\left( t+1 \right)}^{2}}\left( {{t}^{2}}-3t \right)$ (với $t={{x}^{2}}-4x-m$)

Số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)$ là số nghiệm bội lẻ của phương trình $\left( x-2 \right)\left( {{t}^{2}}-3t \right)=0$

$\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-4x-m \right)\left( {{x}^{2}}-4x-m-3 \right)=0$

Hàm số có 5 điểm cực trị khi các phương trình $u\left( x \right)={{x}^{2}}-4m-m=0$ và $v\left( x \right)={{x}^{2}}-4m-m-3=0$

Có 2 nghiệm phân biệt khác nhau và khác 2 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   \Delta _{u}^{'}=4+m>0\text{    }  \\   \Delta _{u}^{'}=4+m+3>0  \\   u\left( 2 \right)=-4-m\ne 0  \\   v\left( 2 \right)=-7-m\ne 0  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m>-4$

Vậy 3 giá trị nguyên âm của m thỏa mãn yêu cầu. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có $g'\left( x \right)=\left[ f\left( {{x}^{2}}+m \right) \right]'=2x.f'\left( {{x}^{2}}+m \right)=2x{{\left( t-2 \right)}^{4}}\left( {{t}^{3}}-t \right)$ (với $t={{x}^{2}}+m$)

Số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right)$ là số nghiệm bội lẻ của phương trình $x.t\left( {{t}^{2}}-1 \right)$

$\Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}+m \right)\left( {{x}^{2}}+m-1 \right)\left( {{x}^{2}}+m+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{          }  \\   {{x}^{2}}=-m\text{     }  \\   {{x}^{2}}=1-m\text{  }  \\   {{x}^{2}}=-1-m  \\\end{matrix} \right.(*)$

PT (*) có 7 nghiệm phân biệt khi $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   -m>0\text{     }  \\   1-m>0\text{  }  \\   -1-m>0  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m<-1.$

Vậy có 8 giá trị nguyên âm của $m\in \left[ -10;0 \right]$ thỏa mãn. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có: $g'\left( x \right)=2.f'\left( x \right).\left[ f\left( x \right)+m \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   f'\left( x \right)=0\text{   }  \\   f\left( x \right)=-m  \\\end{matrix} \right.$

Do hàm số $y=f\left( x \right)$ có 3 điểm cực trị nên phương trình $f'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt.

Để hàm số$g\left( x \right)$ có 5 điểm cực trị thì phương trình $f\left( x \right)=-m$ có 2 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   -2\le m<0  \\   m\le -3\text{     }  \\\end{matrix} \right.$

Chú ý:Với $m=-2,m=-3$ thì $f'\left( x \right)=-m$ có nghiệm kép tại $x=-2.$

Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ -10;-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1 \right\}.$ Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có $f'\left( x \right)=\left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}} \right)\left( {{x}^{3}}-2x \right)={{x}^{3}}\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-2 \right);\forall x\in \mathbb{R}.$

Số điểm cực trị của hàm số $y=g\left( x \right)=\left| f\left( 1-2018x \right) \right|$ là tổng số nghiệm của phương trình

$g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2018.f'\left( 1-2018x \right)=0\xrightarrow{{}}$ có 4 điểm.

Số nghiệm của phương trình $\left( 1-2018x \right)=0\xrightarrow{{}}$ có tối đa 5 nghiệm vì đạo hàm có 4 nghiệm.

Vậy hàm số đã cho có tối đa 9 điểm cực trị. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( ax+b \right)$ bằng số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( x \right)$

Dựa vào hình vẽ, ta thấy hàm số $y=f\left( x \right)$ có 5 điểm cực trị.

Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta thấy $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=-1  \\   x=2\text{  }  \\   x=4\text{  }  \\\end{matrix} \right.$ và $f'\left( x \right)$ không xác định tại $x=0.$