Bài tập thực tế ứng dụng Min - Max

BÀI TẬP THỰC TẾ ỨNG DỤNG MIN – MAX

Các bài toán thực tế về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấtCác bài toán thực thế

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Yêu cầu bài toán: Tìm giá trị của $t\in (0;24)$ để $C(t)=\frac{0,28t}{{{t}^{2}}+4}$ đạt giá trị lớn nhất

Xét hàm số $C(t)=\frac{0,28t}{{{t}^{2}}+4}$trên $(0;24)$, có $C'(t)=\frac{0,28({{t}^{2}}+4)-0,28t.2t}{{{({{t}^{2}}+4)}^{2}}}=\frac{-0,28{{t}^{2}}+1,12}{{{({{t}^{2}}+4)}^{2}}}$

Phương trình $C'(t)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 0<t<24 \\  {} -0,28{{t}^{2}}+1,12=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow t=2.$ Tính $C(2)=0,07$

Suy ra $\underset{(0;24)}{\mathop{\max }}\,C(t)=C(2)=0,07.$ Vậy sau 2 giờ thì nồng độ hấp thu là cao nhất.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Yêu cầu bài toán: Tìm giá trị của $t\in [0;30]$ để $N(t)=1000+30{{t}^{2}}-{{t}^{3}}$ đạt giá trị lớn nhất

Xét hàm số $N(t)=1000+30{{t}^{2}}-{{t}^{3}}$ trên [0;3], có $N'(t)=60t-3{{t}^{2}}$

Phương trình $N'(t)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 0\le t\le 30 \\  {} 60t-3{{t}^{2}}=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow t=20$. Tính $\left\{ \begin{array}  {} N(0)=N(30)=1000 \\  {} N(20)=5000 \\ \end{array} \right.$

Suy ra $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;30]}{\mathop{\max }}\,N(t)=N(20)=5000.$ Vậy sau 20 phút thì số vi khuẩn là lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

Yêu cầu bài toán: Cho diện tích và tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi hình chữ nhật

Gọi x, y lần lượt là chiều rộng, chiều dài của hình chữ nhật

Diện tích hình chữ nhật là $S=xy=100\Leftrightarrow y=\frac{100}{x}$

Chu vi hình chữ nhật (bờ rào mảnh đất) là $C=2x+2y=2x+\frac{200}{x}$

Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có $2x+\frac{200}{x}\ge 2\sqrt{2.\frac{200}{x}}=40\Rightarrow {{C}_{\min }}=40$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2x=\frac{200}{x}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=100\Leftrightarrow x=10\Rightarrow y=10$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Gọi h, x lần lượt là chiều cao và độ dài cạnh đáy của hình hợp chữ nhật

Thể tích khối hộp chữ nhật là $V=Bh={{x}^{2}}h=8\Leftrightarrow h=\frac{8}{{{x}^{2}}}$

Diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật là ${{S}_{tp}}={{S}_{xq}}+{{S}_{d}}=4hx+2{{x}^{2}}=2{{x}^{2}}+\frac{32}{x}$

Ta có $2{{x}^{2}}+\frac{32}{x}=2{{x}^{2}}+\frac{16}{x}+\frac{16}{x}\ge 3\sqrt[3]{2{{x}^{2}}.\frac{16}{x}.\frac{16}{x}}=24\Rightarrow {{S}_{\min }}=24$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2{{x}^{2}}=\frac{16}{x}\Leftrightarrow {{x}^{3}}=8\Leftrightarrow x=2$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Khi cắt và gấp tấm nhôm, ta được hình hộp chữ nhật có chiều cao x; đáy là hình vuông cạnh

$12-2x\Rightarrow $ Thể tích khối hộp chữ nhật là $V=Bh=x.(12-2x)(12-2x)$

Cách 1. Khảo sát hàm số $f(x)=x.(12-2x).(12-2x)$ trên $(0;6)\xrightarrow{{}}\underset{(0;6)}{\mathop{\max }}\,f(x)$

Cách 2. Ta có $4x(12-2x).(12-2x)\le \frac{{{(4x+12-2x+12-2x)}^{3}}}{27}=512\Rightarrow V\le 128$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $4x=12-2x\Leftrightarrow 6x=12\Leftrightarrow x=2.$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Gọi R, h lần lượt là bán kính đáy, chiều cao của lon sữa

Thể tích của lon sữa hình trụ là $V=\pi {{R}^{2}}h=314\Leftrightarrow h=\frac{314}{\pi {{R}^{2}}}$

Diện tích nguyên liệu làm vỏ hộp (${{S}_{tp}}$ hình trụ) là ${{S}_{tp}}=2\pi Rh+2\pi {{R}^{2}}=2\pi {{R}^{2}}+\frac{628}{R}$

Ta có $2\pi {{R}^{2}}+\frac{628}{R}=2\pi {{R}^{2}}+\frac{314}{R}+\frac{314}{R}\ge 3\sqrt[3]{2\pi {{R}^{2}}.\frac{314}{R}.\frac{314}{R}}=3\sqrt[3]{2.{{(314)}^{2}}\pi }$

Dấu bằng xảy ra khi $2\pi {{R}^{2}}=\frac{314}{R}\Leftrightarrow {{R}^{3}}=\frac{314}{2\pi }\Leftrightarrow R=\sqrt[3]{\frac{314}{2\pi }}$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Đặt $SA=x\,(km;\,\,0\le x\le 4),$ ta có $SA+SB=AB\Rightarrow SB=4-x\,(km)$

Tam giác SBC vuông tại B, có $SC=\sqrt{S{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{1+{{(4-x)}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}-8x+17}$

Do đó, số tiền để mắc dây điện trên đất liền là ${{T}_{1}}=$3000 x SA = 3000x

Số tiền để mắc dây điện ngầm dưới biển là ${{T}_{2}}=5000\,$x $SC=5000\sqrt{{{x}^{2}}-8x+17}$

Suy ra tổng số tiền mắc dây điện là $T={{T}_{1}}+{{T}_{2}}=3000x+5000\sqrt{{{x}^{2}}-8x+17}$

Xét hàm số $f(x)=3x+5\sqrt{{{x}^{2}}-8x+17}$ trên [0;4], có $f'(x)=3+\frac{5x-20}{\sqrt{{{x}^{2}}-8x+17}}$

Phương trình $f'(x)=0\Leftrightarrow 3\sqrt{{{x}^{2}}-8x+17}=20-5x\Leftrightarrow x=\frac{13}{4}$

Dựa vào bảng biến thiên, ta được $\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;4]}{\mathop{\min }}\,f(x)=f\left( \frac{13}{4} \right)=16$

Vậy số tiền ít nhất là $T=100.16=16000\,USD.$ Dấu bằng xảy ra khi $x=\frac{13}{4}$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Gọi x là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn $(0<x<60)$

Suy ra chiều dài đoạn còn lại là $60-x$

Chu vi đường tròn: $2\pi r=x\Rightarrow r=\frac{x}{2\pi }\xrightarrow{{}}$ Diện tích hình tròn: ${{S}_{1}}=\pi {{r}^{2}}=\frac{{{x}^{2}}}{4\pi }$

Diện tích hình vuông: ${{S}_{2}}={{\left( \frac{60-x}{4} \right)}^{2}}$

Tổng diện tích hai hình: $S=\frac{{{x}^{2}}}{4\pi }+{{\left( \frac{60-x}{4} \right)}^{2}}=\frac{(4+\pi ){{x}^{2}}-120\pi x+3600\pi }{16\pi }$

Đạo hàm: $S'=\frac{(4+\pi ).x-60\pi }{8\pi };S'=0\Leftrightarrow x=\frac{60\pi }{4+\pi };S''=\frac{4+\pi }{8\pi }>0$

Suy ra hàm S chỉ có một cực trị và là cực tiểu tại $x=\frac{60\pi }{4+\pi }$

Do đó S đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=\frac{60\pi }{4+\pi }$

Với $x=\frac{60\pi }{4+\pi }\xrightarrow{{}}r=\frac{30}{(4+\pi )}$ và $a=\frac{240}{(4+\pi ).4}\xrightarrow{{}}\frac{a}{r}=\frac{240}{120}=2$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Tổng số tiền hai máy làm được là $T={{T}_{A}}+{{T}_{B}}={{x}^{3}}-27{{y}^{2}}+2x+326y$

Theo bài ra, ta có $x+y=10;y\le 6$ nên $y=10-x$ và $4\le x\le 10$

Suy ra $T={{x}^{3}}-27{{(10-x)}^{2}}+2x+326(10-x)={{x}^{3}}-27{{x}^{2}}+216x+560$

Xét hàm số $f(x)={{x}^{3}}-27{{x}^{2}}+216x+560$ trên [4;10], có $f'(x)=3({{x}^{2}}-18x+72)$

Phương trình $f'(x)=0\Leftrightarrow x=6\xrightarrow{{}}\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ }4;10]}{\mathop{\max }}\,f(x)=f(6)=1100$

Vậy $x=6$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn A

•    Cách 1: Đặt $BE=x$ với $x>0$. Ta có $BD=\sqrt{{{5}^{2}}-{{(4-1)}^{2}}}=4$ nên $ED=BD-BE=4-x$

Lại có $AE+EC=\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\sqrt{{{(4-x)}^{2}}+16}$. Đặt $f(x)=\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\sqrt{{{x}^{2}}-8x+32},x>0$

Ta có $f'(x)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+\frac{x-4}{\sqrt{{{x}^{2}}-8x+32}};\forall x>0$

Giải phương trình $f'(x)=0,$ ta thu được $x=\frac{4}{5}$ và tìm được $\min f(x)=\sqrt{41}$

•    Cách 2: Gọi H là điểm đối xứng với A qua B và K là điểm đối xứng với C qua D

Và I là hình chiếu của A lên CD. Khi đó AHKC là hình thang cân và $AG=\sqrt{A{{C}^{2}}-G{{C}^{2}}}=4$

Ta thấy $EC=EK$ nên $AE+EC=AE+EK$

Để ${{\left\{ AE+EC \right\}}_{\min }}$ khi và chỉ khi ${{\left\{ AE+EK \right\}}_{\min }}$ và điều đó có nghĩa là A, E, K thẳng hàng.

Vì thế $AK=\sqrt{K{{G}^{2}}+A{{G}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{5}^{2}}}=\sqrt{41}$. Hay độ dài ngắn nhất của đoạn dây chính bằng $\sqrt{41}$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Gọi x (m), y (m)  (x>0, y>0) lần lượt là hai kích thước mảnh vườn hình chữ nhật;

R (m) là bán kính hình tròn ngoại tiếp mảnh vườn $\xrightarrow{{}}{{R}^{2}}=O{{B}^{2}}=\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{4}$

Theo đề bài, ta có $xy=961\,\,{{m}^{2}}$. Diện tích 4 phần đất mở rộng: $S={{S}_{tron}}-{{S}_{ABCD}}=\pi {{R}^{2}}-xy$

$=\pi .\frac{({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}{4}-xy\overset{Cosi}{\mathop{\ge }}\,\pi .\frac{2xy}{4}-xy=480,5\pi -961$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn D

Đặt $CN=x(cm)$ và $MC=y\,(cm)$

Độ dài đường gấp khúc cần tìm chính là độ dài đoạn thẳng $MN=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$

Dễ thấy MHNC  là hình thoi nên $MC=MH=y,\,NC=NH=x$

Gọi K là hình chiếu của M xuống $BD\Rightarrow MK=8\Rightarrow HK=\sqrt{{{y}^{2}}-64}$

Mà $HD=\sqrt{H{{N}^{2}}-N{{D}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}-{{(8-x)}^{2}}}=\sqrt{16x-64}=4\sqrt{x-4}$

$\Rightarrow KD=y=HK+HD=\sqrt{{{y}^{2}}-64}+4\sqrt{x-4}\Leftrightarrow y-\sqrt{{{y}^{2}}-64}=4\sqrt{x-4}$

$\Leftrightarrow \frac{64}{y+\sqrt{{{y}^{2}}-64}}=4\sqrt{x-4}\Leftrightarrow y+\sqrt{{{y}^{2}}-64}=\frac{16}{\sqrt{x-4}}$

Khi đó $2y=\frac{16}{\sqrt{x-4}}+4\sqrt{x-4}\Leftrightarrow y=\frac{8+2(x-4)}{\sqrt{x-4}}=\frac{2x}{\sqrt{x-4}}$

Do đó $M{{N}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{x}^{2}}+\frac{4{{x}^{2}}}{x-4}.$ Đặt $f(x)={{x}^{2}}+\frac{4{{x}^{2}}}{x-4}$ với $8>x>4$

Có $f'(x)=2x+4-\frac{64}{{{(x-4)}^{2}}};f'(x)=0\Leftrightarrow (x+2){{(x-4)}^{2}}=32\Leftrightarrow x=6$

Suy ra $\underset{(4;8)}{\mathop{\min }}\,f(x)=f(6)=108\Rightarrow MN_{\min }^{2}=108\Rightarrow M{{N}_{\min }}=6\sqrt{3}$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Gọi $\left\{ \begin{array}  {} AD=BC=x \\  {} AI=IB=R \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{C}_{hcn}}=CD+2BC=2(R+x);{{C}_{hcn}}=\pi R$

Suy ra $\pi R+2(R+x)=4\Leftrightarrow x=\frac{4-(\pi +2)R}{2}$

Và ${{S}_{hcn}}=AB.BC=2Rx;{{S}_{hcn}}=\frac{\pi {{R}^{2}}}{2}$

Tổng diện tích của cửa sổ là

$S=2Rx+\frac{\pi {{R}^{2}}}{2}=2R.\frac{4-(\pi +2)R}{2}+\frac{\pi {{R}^{2}}}{2}=R\left[ 4-(\pi +2)R \right]+\frac{\pi {{R}^{2}}}{2}$

$=4R-\left( 2+\frac{\pi }{2} \right){{R}^{2}}=\frac{8}{4+\pi }-{{\left( \sqrt{\frac{8}{4+\pi }}-R\sqrt{2+\frac{\pi }{2}} \right)}^{2}}\le \frac{8}{4+\pi }$

Do đó diện tích lớn nhất của cửa sổ là $S=\frac{8}{4+\pi }$

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn C

Đặt $\widehat{DAP}=x$, ta có $\widehat{DAP}+\widehat{BAQ}=\frac{1}{2}\widehat{A}={{45}^{o}}$ suy ra $\widehat{BAQ}={{45}^{o}}-x$

Khi đó $PQ=AD\tan \,x+AB\tan ({{45}^{o}}-x)=2\left( \tan \,x+\frac{1-\tan \,x}{1+\tan \,x} \right)=2.\frac{{{\tan }^{2}}\,x+1}{\tan \,x+1}$

Đặt $t=\tan \,x\,(0<t<1),$ ta được $PQ=\frac{2{{t}^{2}}+2}{t+1}$

Xét $f(t)=\frac{{{t}^{2}}+1}{t+1}$ trên (0;1),  có $f'(t)=\frac{{{t}^{2}}+2t-1}{{{(t+1)}^{2}}};f'(t)=0\Leftrightarrow t=-1+\sqrt{2}$

Suy ra hàm số $f(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $t=-1+\sqrt{2}.$ Vậy $P{{Q}_{\min }}\approx 1,66.$