Bài tập Thể tích khối chóp có đường cao sẵn có – có đáp án chi tiết

Bài tập vận dụng!

Bài tập Thể tích khối chóp có đường cao sẵn có – có đáp án chi tiết

Dưới đây là một số bài tập trắc nghiệm thể tích khối chóp có đường cao

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, đường thẳng SC tạo với đáy một góc

$60{}^\circ$ . Thể tích khối chóp S.ABC bằng?

A. $\frac{{{a}^{3}}}{8}$ . B. $\frac{{{a}^{3}}}{4}$ . C. $\frac{{{a}^{3}}}{2}$ . D. $\frac{3{{a}^{3}}}{4}$ .

Lời giải chi tiết:

Chú ý: Nếu tam giác ABC đều cạnh a thì độ dài đường trung tuyến

bằng m = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Ta có: $SA\bot (ABC)\Rightarrow \widehat{(SC;(ABC))}=\widehat{SCA}=60{}^\circ$

$\begin{array} {} \Rightarrow \tan 60{}^\circ =\frac{SA}{\text{A}C}\Rightarrow SA=AC\tan 60{}^\circ =a\sqrt{3},{{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \\ {} \Rightarrow V=\frac{1}{3}SA.{{S}_{ABC}}=\frac{1}{3}a\sqrt{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}}{4} \\ \end{array}$

Chọn B

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của cạnh AD, cạnh bên SB hợp với đáy một góc

$60{}^\circ$ . Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD

A. V $=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{2}$ . B. V $=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}$ . C. V $=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{5}}{4}$ . D. V $=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{18}$ .

Lời giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của

$AD\Rightarrow AH\bot (ABCD)$

Ta có: $BH=\sqrt{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$ $\begin{array} {} SH=BH\tan 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{5}}{2}.\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{15}}{2} \\ {} {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{15}}{2}.{{a}^{2}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6} \\ \end{array}$

Chọn B.

Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a,

$SA\bot (ABC)$ . Biết mặt phẳng

$(SBC)$ tạo với đáy một góc

$60{}^\circ$ . Thể tích khối chóp S.ABC là

A. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$ . B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$ .

C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$ . D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{18}$ .

Lời giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm của

$BC\Rightarrow AM\bot BC$ và

$AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Lại có: $BC\bot SA\Rightarrow BC\bot (SMA)\Rightarrow \widehat{((SBC);(ABC))}=\widehat{SMA}=60{}^\circ$ .

Khi đó $SA=AM\tan 60{}^\circ =\frac{3a}{2},{{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.$

Thể tích khối chóp là: $V=\frac{1}{4}SA.{{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$ . Chọn B.

Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B có AB=a, BC=

$a\sqrt{3}$ . Hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh AC. Biết SB tạo với đáy một góc

$30{}^\circ$ . Thể tích khối chóp S.ABC là:

A. $\frac{{{a}^{3}}}{2}$ . B. $\frac{{{a}^{3}}}{4}$ . C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$ . D. $\frac{{{a}^{3}}}{6}$ .

Lời giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm của $AC\Rightarrow AH\bot (ABC).$

Khi đó $\widehat{(SB);(ABC))}=\widehat{SBH}.$ Ta có: $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=2a.$

Tam giác ABC có đường trung tuyến BH ứng với cạnh huyền nên

$BH=\frac{AC}{2}=a.$ Do $\widehat{SBH}=30{}^\circ \Rightarrow SH=HB\tan 30{}^\circ =\frac{a}{\sqrt{3}}.$

Lại có: ${{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}BA.BC=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$

Suy ra: ${{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABC}}=\frac{1}{3}.\frac{a}{\sqrt{3}}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\frac{{{a}^{3}}}{6}.$ Chọn D

Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB= 2a, AD=

$a\sqrt{3}$ , cạnh bên SA vuông góc với đáy, gọi M là trung điểm của cạnh CD. Biết SM tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc

$60{}^\circ$ , tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. V= $2{{a}^{3}}$ . B. V= $4{{a}^{3}}\sqrt{3}$ . C. V= $12{{a}^{3}}$ . D. V= $4{{a}^{3}}$ .

Lời giải chi tiết:

$SA\bot (ABCD)\Rightarrow \widehat{(SM;(ABCD))}=\widehat{SMA}=60{}^\circ .$

Ta có: $AM=\sqrt{A{{D}^{2}}+D{{M}^{2}}}=2a$

$\Rightarrow SA=AM\tan 60=2a\sqrt{3}$ .

Mặt khác ${{S}_{ABCD}}=AB.AD=2{{a}^{2}}\sqrt{3}$ .

${{V}_{S}}_{.ABCD}=\frac{1}{3}.2a\sqrt{3}.2{{a}^{2}}\sqrt{3}=4{{a}^{3}}$ . Chọn D.

Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng (SAB) một góc bằng

$30{}^\circ$ .Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. V= $\frac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{18}$ . B. V= $\sqrt{3}{{a}^{3}}$ .

C. V= $\frac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3}$ D. V= $\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\left\{ \begin{array} {} AD\bot AB \\ {} AD\bot SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow AD\bot (SAB)$

Khi đó: $\left( \widehat{SD;(SAB)} \right)=\widehat{DSA}=30{}^\circ$ suy ra

$SA\tan 30{}^\circ =AD\Rightarrow SA=a\sqrt{3}$

Do đó ${{V}_{S.}}_{ABCD}=\frac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$ . Chọn D.

Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB= 2a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy là trung điểm của AB. Biết rằng SA=

$a\sqrt{7}$ và mặt phẳng (SCD) tạo với đáy một góc

$60{}^\circ$ . Thể tích khối chóp là:

A. $\frac{4{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$ . B. $\frac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$ .

C. $\frac{2{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$ . D. $\frac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-H{{A}^{2}}}=a\sqrt{6}$ .

Dựng $HK\bot CD$ ta có: $\left\{ \begin{array} {} HK\bot CD \\ {} SH\bot CD \\ \end{array} \right.$

Suy ra $CD\bot (SHK)\Rightarrow \widehat{SKH}=60{}^\circ$ .

Khi đó $HK\tan 60{}^\circ =SH\Rightarrow HK=\frac{a\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=a\sqrt{2}=AD$ .

Khi đó ${{S}_{ABCD}}=2{{a}^{2}}\sqrt{2}\Rightarrow V=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$ .

Chọn D.

Bài tập 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B có AD = 2AB= 2CD= 2a và

$SA\bot (ABCD)$ . Biết SA tạo với (SCD) một góc

$30{}^\circ$ . Thể tích khối chóp

$S.ABCD$ là:

A. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}$ . B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$ .

C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$ . D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có: $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}$

Gọi I là trung điểm của $AD\Rightarrow ABCI$ là hình vuông cạnh $a\Rightarrow CI=\frac{AD}{2}=a\Rightarrow \Delta ACD$ vuông tại C.

Khi đó: $\left\{ \begin{array} {} CD\bot SA \\ {} CD\bot AC \\ \end{array} \right.\Rightarrow CD\bot (SAC)$ .

Dựng $AN\bot SC\Rightarrow \left( \widehat{SA;(SCD)} \right)=\widehat{ASN}=\widehat{ASC}=30{}^\circ$ .

Suy ra $SA=AC\cot 30{}^\circ =a\sqrt{6}$ .

Lại có: ${{S}_{ABCD}}=\frac{AD+BC}{2}.AB=\frac{3{{a}^{2}}}{2}$ .

Do đó ${{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{2}$ . Chọn D.

Bài tập 9: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông có cạnh a, SA vuông góc với đáy và SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc

$30{}^\circ$ . Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A. V= $\frac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3}$ . B. V= $\frac{2{{a}^{3}}}{3}$ .

C. V= $\sqrt{2}{{a}^{3}}$ . D. V= $\frac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\left\{ \begin{array} {} BC\bot AB \\ {} BC\bot SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow BC\bot (SAB)$

Do đó $\left( \widehat{SC;(SAB)} \right)=\widehat{SCB}=30{}^\circ$

Khi đó: $SB=BC.\cot 30{}^\circ =a\sqrt{3}\Rightarrow SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2}$

Mặt khác ${{S}_{ABCD}}={{a}^{2}}\Rightarrow$ ${{V}_{S.ABCD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$ . Chọn D.

Bài tập 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy trùng với tâm H của tam giác đều ABC, biết mặt phẳng (SDC) tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc

$60{}^\circ$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$ . B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$ .

C. $\frac{{{a}^{3}}}{6}$ . D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có $\Delta ABC$ đều cạnh a nên H là trực tâm của tam giác $ABC\Rightarrow CH\bot AB\Rightarrow CH\bot BC$

$\Rightarrow CD\bot (SHC)\Rightarrow \widehat{SCH}=60{}^\circ$ .

Ta có: $OB=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow BD=a\sqrt{3}\Rightarrow HB=HC=\frac{2}{3}OB=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ .

Khi đó: $SH=\frac{a\sqrt{3}}{3}.\tan 60{}^\circ =a,{{S}_{ABCD}}=2{{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}$

${{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.a.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$ . Chọn A.

Bài tập 11: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC tam giác vuông tại B có AB= a, BC=

$a\sqrt{3}$ , biết góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng

$60{}^\circ$ . Tính thể tích khối chóp S.ABC.

A.. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$ . B. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{4}$ .

C. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$ . D. $\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}$ .

Lời giải chi tiết:

Dựng $BH\bot AC\Rightarrow BH\bot (SAC)$

Dựng $HK\bot SC\Rightarrow (HKB)\bot SC\Rightarrow \widehat{HKB}=60{}^\circ$ .

Ta có: $BH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow BK\sin 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow BK=a$ .

Do $\left\{ \begin{array} {} BC\bot AB \\ {} BC\bot SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow BC\bot SB$ . Khi đó $\Delta SBC$ vuông tại B nên ta có:

$\frac{1}{S{{B}^{2}}}+\frac{1}{B{{C}^{2}}}=\frac{1}{B{{K}^{2}}}\Rightarrow SB=a\sqrt{\frac{3}{2}}\Rightarrow SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\frac{a}{\sqrt{2}}$

${{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.\frac{a}{\sqrt{2}}.\frac{1}{2}{{a}^{2}}\sqrt{3}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}$ . Chọn A.

Bài tập 12: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh 4a, M là một điểm thuộc cạnh AB sao cho MA=3MB, hình chiếu vuông góc của H lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh OM. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và đáy là

$60{}^\circ$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A. $4{{a}^{3}}\sqrt{3}$ . B. $\frac{8\sqrt{3}}{3}{{a}^{3}}$ . C. $8{{a}^{3}}\sqrt{3}$ . D. $4{{a}^{3}}$ .

Lời giải chi tiết:

Dựng $HE\bot BC,OF\bot BC$

Ta có $(SHE)\bot BC\Rightarrow \widehat{SEH}=60{}^\circ$

Mặt khác ME là đường trung bình của hình thang MOFB $\Rightarrow ME=\frac{MB+OF}{2}=\frac{3a}{2}$

Ta có: $SH=HE.\tan 60{}^\circ =\frac{3a\sqrt{3}}{2}$ .

V $_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{3a\sqrt{3}}{2}.16{{a}^{2}}=8{{a}^{3}}\sqrt{3}$ . Chọn C.

Bài tập 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều cạnh a, AD= 2a,

$SA\bot (ABCD)$ . Mặt phẳng

$(SCD)$ tạo với đáy một góc

$45{}^\circ$ . Thể tích khối chóp S.ACD là:

A. $\frac{{{a}^{3}}}{2}$ . B. $\frac{{{a}^{3}}}{4}$ . C. $\frac{3{{a}^{3}}}{4}$ . D. ${{a}^{3}}$ .

Lời giải chi tiết:

Gọi O là trung điểm của AD dễ thấy

$OC=AB=a=\frac{1}{2}AD\Rightarrow \Delta ACD$ vuông tại C

Khi đó $\left\{ \begin{array} {} CD\bot AC \\ {} CD\bot SA \\ \end{array} \right.\Rightarrow CD\bot (SAC)$

Do vậy $\widehat{SCA}=45{}^\circ$ . Lại có tam giác ACD vuông tại C nên $AC=\sqrt{A{{D}^{2}}-C{{D}^{2}}}=a\sqrt{3}\Rightarrow SA=a\sqrt{3}.\tan 45{}^\circ =a\sqrt{3}$

Ta có: $d(C;AD)=CD\sin \widehat{CDA}=CD.\sin 60{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Do đó ${{S}_{ABCD}}=\frac{AD+BC}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$

Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\frac{3{{a}^{3}}}{4}$ . Chọn C.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12

CHUYÊN ĐỀ 1: HÀM SỐ

CHUYÊN ĐỀ 2: LOGARIT

CHUYÊN ĐỀ 3: TÍCH PHÂN

CHUYÊN ĐỀ 4: SỐ PHỨC

CHUYÊN ĐỀ 5: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

CHUYÊN ĐỀ 6: HÌNH HỌC TỌA ĐỘ