Bài tập Sử dụng định lý hình chiếu để tính góc giữa hai mặt phẳng - Tự Học 365

Bài tập Sử dụng định lý hình chiếu để tính góc giữa hai mặt phẳng

Bài tập Sử dụng định lý hình chiếu để tính góc giữa hai mặt phẳng

Bài tập Sử dụng định lý hình chiếu để tính góc giữa hai mặt phẳng

Dưới đây là một số bài tập góc giữa hai mặt phẳng có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA(ABC). Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho diện tích tam giác MBC bằng a232. Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBC) và (ABC).

Lời giải chi tiết

Ta có: SABC=a234. Gọi φ=^((MBC);(ABC))

Do ΔABC là hình chiếu của tam giác MBC trên mặt phẳng (ABC) do đó cosφ=SABCSMBC=a234a232=12φ=60.

Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA(ABCD). Gọi N là trung điểm của SA, mặt phẳng (NCD) cắt khối chóp theo một thiết diện có diện tích S=2a23. Tính góc giữa mặt phẳng (NDC) và mặt phẳng (ABCD).

Lời giải chi tiết

Đặt φ=^((NCD);(ABCD)).

Do CD//AB(NCD) cắt (SAB) theo thiết diện NM//AB MN là đường trung bình của tam giác SAB.

Khi đó thiết diện là tứ giác MNDC.

Gọi H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (ABCD) thì

H là trung điểm của AB và SABCD=a+2a2.2a=3a2.

Do tứ giác HADC là hình chiếu của tứ giác MNDC trên

mặt phẳng (ABCD) cosφ=SAHCDSNMCD=3a22a23=32.

Do đó φ=30.

Bài tập 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác cân với AB=AC=a, ^BAC=120, cạnh bên BB=a, gọi I là trung điểm của CC. Chứng minh rằng tam giác ABI vuông tại A và tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (ABI) và (ABC).

Lời giải chi tiết

Ta có: BC=BC=AB2+AC22AB.ACcos^BAC=a3.

Mặt khác {AB=AB2+BB2=a2AI=AC2+CI2=a52BI=BC2+CI2=a132.

Do AB2+AI2=BI=13a24ΔBAI vuông tại A.

Ta có: SABI=12AB.AI=a2104.

SABC=12AB.ACsin^BAC=a234cos^((ABI);(ABC))=SABCSABI=3010.

Bài tập 5: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao AA=6a. Trên CC lấy điểm M, trên DD lấy điểm N sao cho CM=2MCDN=2ND. Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng (BMN) và (ABCD).

Lời giải chi tiết

Gọi φ=^((BMN);(ABCD)).

Ta có: SBCD=a22;DN=2a;CM=4a

Lại có: BD=a2BN=BD2+DN2=a6

BM=BC2+CM2=a17,

MN=a2+(2a)2=a5.

Theo công thức Herong S=p(pa)(pb)(pc)

Ta tính được: SBMN=212.

Do ΔBCD là hình chiếu của ΔBMN trên mặt phẳng (ABCD) nên cosφ=SBCDSBMN=121.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12