Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA⊥(ABC). Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho diện tích tam giác MBC bằng a2√32. Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBC) và (ABC). |
Lời giải chi tiết
Ta có: SABC=a2√34. Gọi φ=^((MBC);(ABC))
Do ΔABC là hình chiếu của tam giác MBC trên mặt phẳng (ABC) do đó cosφ=SABCSMBC=a2√34a2√32=12⇒φ=60∘.
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA⊥(ABCD). Gọi N là trung điểm của SA, mặt phẳng (NCD) cắt khối chóp theo một thiết diện có diện tích S=2a2√3. Tính góc giữa mặt phẳng (NDC) và mặt phẳng (ABCD). |
Lời giải chi tiết
Đặt φ=^((NCD);(ABCD)).
Do CD//AB⇒(NCD) cắt (SAB) theo thiết diện NM//AB⇒ MN là đường trung bình của tam giác SAB.
Khi đó thiết diện là tứ giác MNDC.
Gọi H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (ABCD) thì
H là trung điểm của AB và SABCD=a+2a2.2a=3a2.
Do tứ giác HADC là hình chiếu của tứ giác MNDC trên
mặt phẳng (ABCD) ⇒cosφ=SAHCDSNMCD=3a22a2√3=√32.
Do đó φ=30∘.
Bài tập 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác cân với AB=AC=a, ^BAC=120∘, cạnh bên BB′=a, gọi I là trung điểm của CC′. Chứng minh rằng tam giác AB′I vuông tại A và tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (AB′I) và (ABC). |
Lời giải chi tiết
Ta có: BC=B′C′=√AB2+AC2−2AB.ACcos^BAC=a√3.
Mặt khác {AB′=√AB2+BB′2=a√2AI=√AC2+CI2=a√52B′I=√B′C′2+C′I2=a√132.
Do AB′2+AI2=B′I=13a24⇒ΔB′AI vuông tại A.
Ta có: SAB′I=12AB′.AI=a2√104.
SABC=12AB.ACsin^BAC=a2√34⇒cos^((AB′I);(ABC))=SABCSAB′I=√3010.
Bài tập 5: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao AA′=6a. Trên CC′ lấy điểm M, trên DD′ lấy điểm N sao cho CM=2MC và DN=2ND′. Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng (B′MN) và (ABCD). |
Lời giải chi tiết
Gọi φ=^((B′MN);(ABCD)).
Ta có: SBCD=a22;D′N=2a;C′M=4a
Lại có: B′D′=a√2⇒B′N=√B′D′2+D′N2=a√6
B′M=√B′C′2+C′M2=a√17,
MN=√a2+(2a)2=a√5.
Theo công thức Herong S=√p(p−a)(p−b)(p−c)
Ta tính được: SBMN=√212.
Do ΔBCD là hình chiếu của ΔB′MN trên mặt phẳng (ABCD) nên cosφ=SBCDSB′MN=1√21.
TOÁN LỚP 12