Bài tập số phức - Lấy môđun 2 vế tìm số phức có đáp án chi tiết

Bài tập số phức - Lấy môđun 2 vế tìm số phức có đáp án

Phương pháp lấy modun 2 về tìm số phức

Ta có: ${{z}_{1}}={{z}_{2}}\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|$

Lưu ý sử dụng các tính chất: $\left| z \right|=\left| \overline{z} \right|,\text{ }z.\overline{z}={{\left| z \right|}^{2}};\text{ }\left| {{z}_{1}}{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|$ và $\left| \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|=\frac{\left| {{z}_{1}} \right|}{\left| {{z}_{2}} \right|}\left( {{z}_{2}}\ne 0 \right)$.

Bài tập giải số phức bằng phương pháp lấy Modun 2 vế có Lời giải chi tiết

Lời giải chi tiết

Ta có: $PT\Leftrightarrow z-4=\left| z \right|+i\left| z \right|-4i-3iz\Leftrightarrow \left( 1+3i \right)z=\left( \left| z \right|+4 \right)+\left( \left| z \right|-4 \right)i\text{ }\left( * \right)$

Lấy môđun 2 vế ta được: $\left| \left( 1+3i \right)z \right|=\sqrt{{{\left( \left| z \right|+4 \right)}^{2}}+{{\left( \left| z \right|-4 \right)}^{2}}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{10}\left| z \right|=\sqrt{{{\left( \left| z \right|+4 \right)}^{2}}+{{\left( \left| z \right|-4 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow 10{{\left| z \right|}^{2}}=2{{\left| z \right|}^{2}}+32\Leftrightarrow \left| z \right|=2$

Thế vào (*) ta có: $\left( 1+3i \right)z=6+2i\Rightarrow z=\frac{6+2i}{1+3i}=\frac{6-8i}{5}\Rightarrow a=\frac{6}{5};b=\frac{-8}{5}\Rightarrow S=\frac{4}{5}$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\left( 2+3i \right)\left| z \right|=\frac{\sqrt{26}}{\overline{z}}+3-2i\Leftrightarrow 2\left| z \right|-3+3i\left| z \right|+2i=\frac{\sqrt{26}}{\overline{z}}$

$\Leftrightarrow \left( 2\left| z \right|-3 \right)+\left( 3\left| z \right|+2 \right)i=\frac{\sqrt{26}}{\overline{z}}\text{ }\left( * \right)$

Lấy môđun 2 vế của biểu thức (*) ta được: $\sqrt{{{\left( 2\left| z \right|-3 \right)}^{2}}+{{\left( 3\left| z \right|+2 \right)}^{2}}}=\left| \frac{\sqrt{26}}{\overline{z}} \right|=\frac{\sqrt{26}}{\left| z \right|}\text{ }\left( * \right)$

$\Leftrightarrow 13{{\left| z \right|}^{2}}+13=\frac{26}{{{\left| z \right|}^{2}}}\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{4}}+{{\left| z \right|}^{2}}-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{\left| z \right|}^{2}}=1 \\  {} {{\left| z \right|}^{2}}=-2 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left| z \right|=1$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

ĐK: $\left| z \right|\ne 1;\text{ }\overline{z}\ne 0$

Ta có: $\frac{\left( \left| z \right|-1 \right)\left( 1+iz \right)}{z-\frac{1}{\overline{z}}}=i\Leftrightarrow \left( \left| z \right|-1 \right)\left( 1+iz \right)=i\frac{z.\overline{z}-1}{\overline{z}}=i\frac{{{\left| z \right|}^{2}}-1}{\overline{z}}=i\frac{\left( \left| z \right|-1 \right)\left( \left| z \right|+1 \right)}{\overline{z}}$

$\Leftrightarrow \overline{z}\left( 1+iz \right)=i\left( \left| z \right|+1 \right)\Leftrightarrow \overline{z}=i\left( \left| z \right|+1-{{\left| z \right|}^{2}} \right)$

Lấy môđun 2 vế ta được: $\left| \overline{z} \right|=\left| i \right|\left| \left| z \right|+1-{{\left| z \right|}^{2}} \right|\Leftrightarrow \left| z \right|=\left| \left| z \right|+1-{{\left| z \right|}^{2}} \right|$. Đặt $\left| z \right|=t\ge 0$

Khi đó $t=\left| t+1-{{t}^{2}} \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} t+1-{{t}^{2}}=t \\  {} t+1-{{t}^{2}}=-t \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{t}^{2}}-2t-1=0\Rightarrow \left[ \begin{array}  {} t=1+\sqrt{2} \\  {} t=1-\sqrt{2}\left( loai \right) \\ \end{array} \right.$

Suy ra $\left| z \right|=1+\sqrt{2}\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left| z \right|}^{2}}=3+2\sqrt{2}$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Giả thiết $\left( 1+2i \right)\left| z \right|=\frac{\sqrt{10}}{z}-2+i\Leftrightarrow \left| z \right|+2i.\left| z \right|+2-i=\frac{\sqrt{10}}{z}\Leftrightarrow \left| z \right|+2+\left( 2\left| z \right|-1 \right)i=\frac{\sqrt{10}}{z}$.

Lấy môđun hai vế của (*) ta được $\sqrt{{{\left( \left| z \right|+2 \right)}^{2}}+{{\left( 2\left| z \right|-1 \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{10}}{\left| z \right|}\Rightarrow \left| z \right|=1$.

Do đó $1+2i=\frac{\sqrt{10}}{z}-2+i\Leftrightarrow z=\frac{\sqrt{10}}{3+i}\Rightarrow w=\frac{1}{1+z}=\frac{1}{2}+\frac{-3+\sqrt{10}}{2}i$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có $\left( 3-4i \right)z-\frac{4}{\left| z \right|}=8\Leftrightarrow \left( 3-4i \right)z=8+\frac{4}{\left| z \right|}\text{     }\left( * \right)$.

Lấy môđun hai vế của (*) và sử dụng công thức $\left| {{z}_{1}}.{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|.\left| {{z}_{2}} \right|$, ta được

$\left( * \right)\Leftrightarrow \left| \left( 3-4i \right)z \right|=\left| 8+\frac{4}{\left| z \right|} \right|=8+\frac{4}{\left| z \right|}$

$\Leftrightarrow 5\left| z \right|=8+\frac{4}{\left| z \right|}\Leftrightarrow 5{{\left| z \right|}^{2}}-8\left| z \right|-4=0\Leftrightarrow \left| z \right|=2$. Gọi $M\left( x;y \right)$ là điểm biểu diễn số phức z. Khi đó $OM=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\left| z \right|=2\in \left( \frac{1}{2};\frac{9}{4} \right)$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: $2iz=\left( i-1 \right)\left| z \right|-\left( 1+i \right)\Leftrightarrow 2iz=\left| z \right|i-\left| z \right|-1-i\Leftrightarrow 2iz=-\left| z \right|-1+\left( \left| z \right|-1 \right)i\text{     }\left( * \right)$

Lấy môđun hai vế của (*), ta được $\left| 2iz \right|=\sqrt{{{\left( \left| z \right|+1 \right)}^{2}}+{{\left( \left| z \right|-1 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow 2\left| z \right|=\sqrt{{{\left( \left| z \right|+1 \right)}^{2}}+{{\left( \left| z \right|-1 \right)}^{2}}}$

$\Leftrightarrow 4{{\left| z \right|}^{2}}={{\left( \left| z \right|+1 \right)}^{2}}+{{\left( \left| z \right|-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 4{{\left| z \right|}^{2}}=2{{\left| z \right|}^{2}}+2\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{2}}=1\Leftrightarrow \left| z \right|=1$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

$PT\Leftrightarrow z\left( 5-i-\left| z \right| \right)=-4\left| z \right|+\left( 2-\left| z \right| \right)i$

Lấy môđun 2 vế ta được: $\left| z \right|.\left| 5-i-\left| z \right| \right|=\sqrt{16{{\left| z \right|}^{2}}+{{\left( 2-\left| z \right| \right)}^{2}}}$

Đặt $t=\left| z \right|\left( t\ge 0 \right)$ ta có: $t.\left| 5-i-t \right|=\sqrt{16{{t}^{2}}+{{\left( 2-t \right)}^{2}}}\Leftrightarrow t.\sqrt{{{\left( 5-t \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{17{{t}^{2}}-4t+4}$

$\Leftrightarrow {{t}^{4}}-10{{t}^{3}}+9{{t}^{2}}+4t-4=0\Leftrightarrow \left( t-1 \right)\left( {{t}^{3}}-9{{t}^{2}}+4 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} t=1 \\  {} t=8,95 \\  {} t=0,69 \\  {} t=-0,64\left( loai \right) \\ \end{array} \right.$

Ứng với mỗi giá trị $t\ge 0\Rightarrow z=\frac{-4t+\left( 2-t \right)i}{5-i-t}\Rightarrow $ có một số phức z.

Do vậy có 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có $\left\{ \begin{array}  {} \left| {{z}_{1}} \right|=2 \\  {} \left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{2} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left| {{z}_{1}} \right|=2 \\  {} \left| i{{z}_{2}} \right|=\sqrt{2} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left| {{z}_{1}} \right|=2 \\  {} i{{z}_{2}}=\sqrt{2} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left| {{z}_{1}} \right|=2 \\  {} {{z}_{2}}=-i\sqrt{2} \\ \end{array} \right.$

Do đó, điểm N biểu diễn số phức $i{{z}_{2}}$ có tọa độ là $N\left( \sqrt{2};0 \right)$.

Vì $\widehat{MON}=45{}^\circ $ và $OM=2\Rightarrow OM=ON\sqrt{2}\Rightarrow M\left( \sqrt{2};\sqrt{2} \right)$.

Suy ra ${{z}_{1}}=\sqrt{2}+i\sqrt{2}$ và ${{z}_{2}}=-i\sqrt{2}\xrightarrow{{}}\left| z_{1}^{2}+4z_{2}^{2} \right|=4\sqrt{5}$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Chọn ${{z}_{2}}=4\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{array}  {} \left| {{z}_{1}} \right|=3 \\  {} \left| {{z}_{1}}-4 \right|=\sqrt{37} \\ \end{array} \right.$. Gọi ${{z}_{1}}=a+bi\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=9 \\  {} {{\left( a-4 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=37 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=-\frac{3}{2} \\  {} b=-\frac{3\sqrt{3}}{2} \\ \end{array} \right.$.

Vậy $z=\frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}=\frac{-\frac{3}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}i}{4}=-\frac{3}{8}-\frac{3\sqrt{3}}{8}i\xrightarrow[{}]{}\left| b \right|=\frac{3\sqrt{3}}{8}$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Chọn ${{z}_{2}}=1\xrightarrow{{}}\left\{ \begin{array}  {} \left| {{z}_{1}} \right|=1 \\  {} \left| {{z}_{1}}+1 \right|=\sqrt{3} \\ \end{array} \right.$. Gọi ${{z}_{1}}=a+bi\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \\  {} {{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=\frac{1}{2} \\  {} b=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{array} \right.$.

Vậy ${{z}_{1}}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\xrightarrow{{}}{{z}_{1}}\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{1}}}{{z}_{2}}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=1$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có $A=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}} \right)}^{2}}-2\left( {{z}_{1}}{{z}_{2}}+{{z}_{2}}{{z}_{3}}+{{z}_{3}}{{z}_{1}} \right)=-2\left( {{z}_{1}}{{z}_{2}}+{{z}_{2}}{{z}_{3}}+{{z}_{3}}{{z}_{1}} \right)$

$=-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{z}_{3}}\left( \frac{1}{{{z}_{1}}}+\frac{1}{{{z}_{2}}}+\frac{1}{{{z}_{3}}} \right)=-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{z}_{3}}\left( \frac{\left| {{z}_{1}} \right|}{{{z}_{1}}}+\frac{\left| {{z}_{2}} \right|}{{{z}_{2}}}+\frac{\left| {{z}_{3}} \right|}{{{z}_{3}}} \right)=-{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{z}_{3}}\left( \overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{3}}} \right)$

Mặt khác ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}=0\Rightarrow \overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{3}}}=0$ suy ra $P=0$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Cách 1. Tư duy nhanh, w là số thực ® $\frac{1}{w}$ là số thực ® $z+\frac{1}{z}$ là số thực.

Mà dễ thấy $z+\overline{z}$ là số thực nên $\overline{z}=\frac{1}{z}\Leftrightarrow z.\overline{z}=1\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{2}}=1\Leftrightarrow \left| z \right|=1\Rightarrow \frac{\left| z \right|}{1+{{\left| z \right|}^{2}}}=\frac{1}{2}$.

Cách 2. Ta có biến đổi $\frac{z}{1+{{z}^{2}}}=\frac{\overline{z}}{1+{{\overline{z}}^{2}}}\Leftrightarrow z+z.{{\overline{z}}^{2}}=\overline{z}+\overline{z}.{{z}^{2}}\Leftrightarrow z-\overline{z}=\left( z-\overline{z} \right).z.\overline{z}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} z-\overline{z}=0 \\  {} z.\overline{z}=1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow z.\overline{z}=1\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{2}}=1\Rightarrow \frac{\left| z \right|}{1+{{\left| z \right|}^{2}}}=\frac{1}{2}$.

Cách 3. Chọn $w=\frac{z}{1+{{z}^{2}}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow {{\left( z-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow z=1\Rightarrow \left| z \right|=1\Rightarrow \frac{\left| z \right|}{1+{{\left| z \right|}^{2}}}=\frac{1}{2}$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Cách 1. Ta có $\frac{1}{{{z}_{1}}}+\frac{2}{{{z}_{2}}}=\frac{1}{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}\Leftrightarrow \frac{2{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}{{z}_{2}}}=\frac{1}{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}\Leftrightarrow \left( 2{{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)={{z}_{1}}{{z}_{2}}$.

$\Leftrightarrow {{\left( {{z}_{2}} \right)}^{2}}+2.{{z}_{1}}.{{z}_{2}}+2{{\left( {{z}_{1}} \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow 2{{\left( \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right)}^{2}}+2\left( \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right)+1=0\Leftrightarrow \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}=-\frac{1+i}{2}$.

Khi đó $P=\left| \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|=\left| -\frac{1+i}{2} \right|=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Cách 2. Chọn ${{z}_{1}}=i\Rightarrow \frac{1}{i}+\frac{2}{{{z}_{2}}}=\frac{1}{i+{{z}_{2}}}\Rightarrow {{z}_{2}}=1-i\Rightarrow \left| \frac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}} \right|=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Chọn A.

.