Phương pháp: Đặt z=a+bi(a;b∈R) từ đó suy ra ¯z=a=bi; |z|=√a2+b2.
Sử dụng tính chất 2 số phức bằng nhau: z1=a1+b1i; z2=a2+b2i ta có: z1=z2⇔{a1=a2b1=b2.
Bài tập 1: Tìm 2 số thực x và y thỏa mãn (2x−3yi)+(1−3i)=x+6i với i là đơn vị ảo A. x=−1;y=−3. B. x=−1;y=−1. C. x=1;y=−1. D. x=1;y=−3. |
Lời giải chi tiết
Ta có: (2x−3yi)+(1−3i)=x+6i⇔(2x+1)+(−3y−3)i=x+6i⇔{2x+1=x−3y−3=6⇔{x=−1y=−3. Chọn A.
Bài tập 2: Tìm mô-đun của số phức z biết rằng (1+2i)z+(1−i)¯z=21+3i. A. |z|=√34. B. |z|=5. C. |z|=3√2. D. |z|=√29. |
Lời giải chi tiết
Đặt z=a+bi; a,b∈R.
Ta có: (1+2i)(a+bi)+(1−i)(a−bi)=21+3i
⇔a−2b+(2a+b)i+a−b−ai−bi=21+3i
⇔(2a−3b)+ai=21+3i⇔{2a−3b=21a=3⇔{a=3b=−5⇒|z|=√34. Chọn A.
Bài tập 3: Tìm tổng phần thực và phần ảo của số phức z biết rằng (1+2i)z+(2−2i)¯z=i. A. T=−7. B. T=13. C. T=−73. D. T=−13. |
Lời giải chi tiết
Đặt z=a+bi; a,b∈R.
Ta có: (1+2i)(a+bi)+(2−2i)(a−bi)=i
⇔a−2b+(2a+b)i+2a−2b−2ai−2bi=i
⇔3a−4b−bi=i⇔{3a−4b=0−b=1⇔{a=−43b=−1⇒S=−73. Chọn C.
Bài tập 4: Cho số phức z=a+bi (a,b∈R) thỏa mãn: (2−3i)z+(4+i)¯z=−(1+3i)2. Tính T=2a+b A. T=−8. B. T=8. C. T=−1. D. T=1. |
Lời giải chi tiết
Ta có: (2−3i)(a+bi)+(4+i)(a−bi)=8−6i
⇔6a+4b−(2a+2b)i=8−6i⇔{6a+4b=82a+2b=6⇔{a=−2b=5⇒T=2a+b=1. Chọn D.
Bài tập 5: Cho số phức z=a+bi (a,b∈R) thỏa mãn (1+i)(2z−1)+(¯z+1)(1−i)=2−2i. Tính P=a+b. A. P=0. B. P=1. C. P=−1. D. P=−13. |
Lời giải chi tiết
Đặt z=a+bi(a,b∈R)⇒¯z=a−bi. Ta có (1+i)(2z−1)+(¯z+1)(1−i)=2(1+i)z+(1−i)¯z−2i.
Suy ra 2(1+i)z+(1−i)¯z=2⇔2(1+i)(a+bi)+(1−i)(a−bi)=2.
⇔2a−2b+a−b+(a+b)i=2⇔3a−3b−2+(a+b)i=0⇔{3a−3b−2=0a+b=0⇒P=0. Chọn A.
Bài tập 6: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức (i+3)z+2+ii=(2−i)¯z. Mô đun của số phức w=z−i là A. √2625. B. √65. C. 2√55. D. √265. |
Lời giải chi tiết
Đặt z=a+bi(a,b∈R)⇒(i+3)(a+bi)+2+ii=(2−i)(a−bi)⇔(−2a−5b+2)+(a+1)i=0
⇔{−2a−5b+2=0a+1=0⇔{a=−1b=45⇒z=−1+45i⇒w=−1−15i⇒|w|=√265. Chọn D.
Bài tập 7: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời |z−(2+i)|=√10 và z.¯z=25 A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. |
Lời giải chi tiết
Đặt z=a+bi (a,b∈R)⇒¯z=a−bi⇒z.¯z=a2+b2=25
Ta có: |a+bi−2−i|=√10⇔(a−2)2+(b−1)2=10⇔a2+b2−4a−2b=5
Giải hệ {a2+b2=25a2+b2−4a−2b=5⇔[a=5;b=0a=3;b=4⇒ có 2 số phức thỏa mãn. Chọn A.
Bài tập 8: [Đề THPT Quốc gia 2017] Cho số phức z thỏa mãn |z|=5 và |z+3|=|z+3−10i|. Tìm số phức w=z−4+3i. A. w=−3+8i. B. w=1+3i. C. w=−1+7i. D. w=−4+8i. |
Lời giải chi tiết
Đặt z=a+bi; a,b∈R.
⇒{|a+bi|=5|a+bi+3|=|a+3+(b−10)i|⇔{a2+b2=25(a+3)2+b2=(a+3)2+(b−10)2
⇔{a2+b2=25b=5⇒{a=0b=5⇒z=5i⇒w=5i−4+3i=−4+8i. Chọn D.
Bài tập 9: [Đề THPT Quốc gia 2017] Cho số phức z=a+bi(a,b∈R) thỏa mãn z+1+3i−|z|i=0. Tính S=a+3b. A. S=−73. B. S=−5. C. S=73. D. S=5. |
Lời giải chi tiết
Đặt z=a+bi(a,b∈R) ta có: a+1+bi+3i−√a2+b2i=0⇔{a=−1b+3=√a2+b2
⇔{a=−1b+3=√b2+1⇔{a=−1b=−43⇒S=−5. Chọn B.
Bài tập 10: [Đề THPT Quốc gia 2017] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z+2−i|=2√2 và (z−1)2 là số thuần ảo? A. 0. B. 2. C. 4. D. 3. |
Lời giải chi tiết
Đặt z=a+bi(a,b∈R) ta có: |a+bi+2−i|=2√2⇔(a+2)2+(b−1)2=8.
Mặt khác (z−1)2=(a+bi−1)2=(a−1)2−b2+2(a−1)bi là số thuần ảo suy ra (a−1)2−b2=0
Do đó {(a+2)2+(b−1)2=8(a−1)2=b2⇔[a−1=ba−1=−b⇔[a=0; b=−1a=−1−√3; b=2+√3a=−1+√3; b=2−√3
Suy ra có 3 số phức thỏa mãn. Chọn D.
Bài tập 11: [Đề THPT Quốc gia 2017] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z−3i|=5 và zz−4 là số thuần ảo? A. Vô số. B. 0. C. 1. D. 2. |
Lời giải chi tiết
Đặt z=a+bi(z≠4) ta có: zz−4=a+bia+bi−4=(a+bi)(a−4−bi)√(a−4)2+b2 là số thuần ảo khi a(a−4)+b2=0 (1). Mặt khác |z−3i|=5⇔a2+(b−3)2=25 (2)
Từ (1) và (2) suy ra {a2+b2−4a=0a2+b2−6b=16⇔{2a−3b=8a2+b2=4a⇔{a=4; b=0(loai)a=1613; b=−243(t/m). Chọn C.
Bài tập 12: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z−1|=5 và số phức w=z2 là số ảo? A. Vô số. B. 4. C. 5. D. 3. |
Lời giải chi tiết
Đặt z=a+bi ta có: w=(a+bi)2=a2−b2+2abi là số thuần ảo nên a2=b2
Mặt khác |a−1+bi|=5⇔a2−2a+b2=24⇒2a2−2a−24=0⇔[a=4⇒b=±4a=−3⇒b=±3
Vậy z=4±4i;z=−3±3i là các số phức cần tìm. Chọn B.
Bài tập 13: Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z|=2√2 và z2 là số thuần ảo? A. 4. B. 1. C. 3. D. 2. |
Lời giải chi tiết
Đặt z=a+bi; a,b∈R⇒|a+bi|=2√2⇔a2+b2=8 (1).
Mặt khác z2=(a+bi)2=a2−b2+2ab.i là số thuần ảo, suy ra a2−b2=0 (2).
Từ (1) và (2), suy ra {a2+b2=8a2−b2=0⇒|a|=|b|=2⇒Có 4 số phức z thỏa mãn đề bài. Chọn A.
Bài tập 14: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện |z.¯z+z|=2, |z|=2. A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. |
Lời giải chi tiết
Đặt z=a+bi;a,b∈R⇒{|(a+bi)(a−bi)+a+bi|=2|a+bi|=2⇔{|a2+b2+a+bi|=2|a+bi|=2
⇔{(a2+b2+a)2+b2=4a2+b2=4⇔{(a+4)2+b2=4a2+b2=4⇔{(a+4)2=a2a2+b2=4⇔{a=−2b2=0⇒{a=−2b=0⇒z=−2.
Chọn C.
Bài tập 15: Cho số phức z=a+bi (a,b∈R) thỏa mãn |z|2z=2(z+i)i−1−2iz. Tính S=ab. A. S=19. B. S=127. C. S=59. D. S=527. |
Lời giải chi tiết
Đặt z=a+bi (a,b∈R), ta có |z|2z=¯z=a−bi và 2i−1=−1−i, khi đó giả thiết trở thành
¯z+(1+i)(z+i)+2iz=0⇔¯z+(3i+1)z=1−i⇔a−bi+(3i+1)(a+bi)=1−i
⇔2a−3b+3ai=1−i⇔{2a−3b=13a=−1⇔a=−13⇒b=−59⇒S=527. Chọn D.
Bài tập 16: [Đề Chuyên Đại học Vinh 2017]: Cho số phức z; w khác 0 sao cho |z−w|=2|z|=|w|. Phần thực của số phức u=zw. A. a=−18. B. a=14. C. a=1. D. a=18. |
Lời giải chi tiết
Giả sử u=a+bi(a;b∈R). Theo giả thiết suy ra {|u|=|zw|=|z||w|=12|z−w||w|=|z−ww|=|zw−1|=|u−1|
⇔{a2+b2=14(a−1)2+b2=1⇒(a−1)2−a2=34⇒−2a+1=34⇔a=18. Chọn D.
TOÁN LỚP 12