Bài tập số phức – Dạng quy về giải hệ phương trình nghiệm thực có đáp án chi tiết - Tự Học 365

Bài tập số phức – Dạng quy về giải hệ phương trình nghiệm thực có đáp án chi tiết

Bài tập số phức – Dạng quy về giải hệ phương trình nghiệm thực có đáp án chi tiết

Bài tập số phức – Dạng quy về giải hệ phương trình nghiệm thực có đáp án

Phương pháp giải hệ phương trình nghiệm thực

Phương pháp: Đặt z=a+bi(a;bR) từ đó suy ra ¯z=a=bi; |z|=a2+b2.

Sử dụng tính chất 2 số phức bằng nhau: z1=a1+b1i; z2=a2+b2i ta có: z1=z2{a1=a2b1=b2.

Bài tập trắc nghiệm số phức có Lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tìm 2 số thực xy thỏa mãn (2x3yi)+(13i)=x+6i với i là đơn vị ảo

A. x=1;y=3. B. x=1;y=1. C. x=1;y=1. D. x=1;y=3.

Lời giải chi tiết

Ta có: (2x3yi)+(13i)=x+6i(2x+1)+(3y3)i=x+6i{2x+1=x3y3=6{x=1y=3. Chọn A.

Bài tập 2: Tìm mô-đun của số phức z biết rằng (1+2i)z+(1i)¯z=21+3i.

A. |z|=34. B. |z|=5. C. |z|=32. D. |z|=29.

Lời giải chi tiết

Đặt z=a+bi; a,bR.

Ta có: (1+2i)(a+bi)+(1i)(abi)=21+3i

a2b+(2a+b)i+abaibi=21+3i

(2a3b)+ai=21+3i{2a3b=21a=3{a=3b=5|z|=34. Chọn A.

Bài tập 3: Tìm tổng phần thực và phần ảo của số phức z biết rằng (1+2i)z+(22i)¯z=i.

A. T=7. B. T=13. C. T=73. D. T=13.

Lời giải chi tiết

Đặt z=a+bi; a,bR.

Ta có: (1+2i)(a+bi)+(22i)(abi)=i

a2b+(2a+b)i+2a2b2ai2bi=i

3a4bbi=i{3a4b=0b=1{a=43b=1S=73. Chọn C.

Bài tập 4: Cho số phức z=a+bi (a,bR) thỏa mãn: (23i)z+(4+i)¯z=(1+3i)2. Tính T=2a+b

A. T=8. B. T=8. C. T=1. D. T=1.

Lời giải chi tiết

Ta có: (23i)(a+bi)+(4+i)(abi)=86i

6a+4b(2a+2b)i=86i{6a+4b=82a+2b=6{a=2b=5T=2a+b=1. Chọn D.

Bài tập 5: Cho số phức z=a+bi (a,bR) thỏa mãn (1+i)(2z1)+(¯z+1)(1i)=22i. Tính P=a+b.

A. P=0. B. P=1. C. P=1. D. P=13.

Lời giải chi tiết

Đặt z=a+bi(a,bR)¯z=abi. Ta có (1+i)(2z1)+(¯z+1)(1i)=2(1+i)z+(1i)¯z2i.

Suy ra 2(1+i)z+(1i)¯z=22(1+i)(a+bi)+(1i)(abi)=2.

2a2b+ab+(a+b)i=23a3b2+(a+b)i=0{3a3b2=0a+b=0P=0. Chọn A.

Bài tập 6: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức (i+3)z+2+ii=(2i)¯z. Mô đun của số phức w=zi

A. 2625. B. 65. C. 255. D. 265.

Lời giải chi tiết

Đặt z=a+bi(a,bR)(i+3)(a+bi)+2+ii=(2i)(abi)(2a5b+2)+(a+1)i=0

{2a5b+2=0a+1=0{a=1b=45z=1+45iw=115i|w|=265. Chọn D.

Bài tập 7: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời |z(2+i)|=10z.¯z=25

A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.

Lời giải chi tiết

Đặt z=a+bi (a,bR)¯z=abiz.¯z=a2+b2=25

Ta có: |a+bi2i|=10(a2)2+(b1)2=10a2+b24a2b=5

Giải hệ {a2+b2=25a2+b24a2b=5[a=5;b=0a=3;b=4 có 2 số phức thỏa mãn. Chọn A.

Bài tập 8: [Đề THPT Quốc gia 2017] Cho số phức z thỏa mãn |z|=5|z+3|=|z+310i|. Tìm số phức w=z4+3i.

A. w=3+8i. B. w=1+3i. C. w=1+7i. D. w=4+8i.

Lời giải chi tiết

Đặt z=a+bi; a,bR.

{|a+bi|=5|a+bi+3|=|a+3+(b10)i|{a2+b2=25(a+3)2+b2=(a+3)2+(b10)2

{a2+b2=25b=5{a=0b=5z=5iw=5i4+3i=4+8i. Chọn D.

Bài tập 9: [Đề THPT Quốc gia 2017] Cho số phức z=a+bi(a,bR) thỏa mãn z+1+3i|z|i=0. Tính S=a+3b.

A. S=73. B. S=5. C. S=73. D. S=5.

Lời giải chi tiết

Đặt z=a+bi(a,bR) ta có: a+1+bi+3ia2+b2i=0{a=1b+3=a2+b2

{a=1b+3=b2+1{a=1b=43S=5. Chọn B.

Bài tập 10: [Đề THPT Quốc gia 2017] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z+2i|=22(z1)2 là số thuần ảo?

A. 0. B. 2. C. 4. D. 3.

Lời giải chi tiết

Đặt z=a+bi(a,bR) ta có: |a+bi+2i|=22(a+2)2+(b1)2=8.

Mặt khác (z1)2=(a+bi1)2=(a1)2b2+2(a1)bi là số thuần ảo suy ra (a1)2b2=0

Do đó {(a+2)2+(b1)2=8(a1)2=b2[a1=ba1=b[a=0; b=1a=13; b=2+3a=1+3; b=23

Suy ra có 3 số phức thỏa mãn. Chọn D.

Bài tập 11: [Đề THPT Quốc gia 2017] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z3i|=5zz4 là số thuần ảo?

A. Vô số. B. 0. C. 1. D. 2.

Lời giải chi tiết

Đặt z=a+bi(z4) ta có: zz4=a+bia+bi4=(a+bi)(a4bi)(a4)2+b2 là số thuần ảo khi a(a4)+b2=0 (1). Mặt khác |z3i|=5a2+(b3)2=25 (2)

Từ (1) và (2) suy ra {a2+b24a=0a2+b26b=16{2a3b=8a2+b2=4a{a=4; b=0(loai)a=1613; b=243(t/m). Chọn C.

Bài tập 12: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z1|=5 và số phức w=z2 là số ảo?

A. Vô số. B. 4. C. 5. D. 3.

Lời giải chi tiết

Đặt z=a+bi ta có: w=(a+bi)2=a2b2+2abi là số thuần ảo nên a2=b2

Mặt khác |a1+bi|=5a22a+b2=242a22a24=0[a=4b=±4a=3b=±3

Vậy z=4±4i;z=3±3i là các số phức cần tìm. Chọn B.

Bài tập 13: Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z|=22z2 là số thuần ảo?

A. 4. B. 1. C. 3. D. 2.

Lời giải chi tiết

Đặt z=a+bi; a,bR|a+bi|=22a2+b2=8 (1).

Mặt khác z2=(a+bi)2=a2b2+2ab.i là số thuần ảo, suy ra a2b2=0 (2).

Từ (1) và (2), suy ra {a2+b2=8a2b2=0|a|=|b|=2Có 4 số phức z thỏa mãn đề bài. Chọn A.

Bài tập 14: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện |z.¯z+z|=2, |z|=2.

A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.

Lời giải chi tiết

Đặt z=a+bi;a,bR{|(a+bi)(abi)+a+bi|=2|a+bi|=2{|a2+b2+a+bi|=2|a+bi|=2

{(a2+b2+a)2+b2=4a2+b2=4{(a+4)2+b2=4a2+b2=4{(a+4)2=a2a2+b2=4{a=2b2=0{a=2b=0z=2.

Chọn C.

Bài tập 15: Cho số phức z=a+bi (a,bR) thỏa mãn |z|2z=2(z+i)i12iz. Tính S=ab.

A. S=19. B. S=127. C. S=59. D. S=527.

Lời giải chi tiết

Đặt z=a+bi (a,bR), ta có |z|2z=¯z=abi2i1=1i, khi đó giả thiết trở thành

¯z+(1+i)(z+i)+2iz=0¯z+(3i+1)z=1iabi+(3i+1)(a+bi)=1i

2a3b+3ai=1i{2a3b=13a=1a=13b=59S=527. Chọn D.

Bài tập 16: [Đề Chuyên Đại học Vinh 2017]: Cho số phức z; w khác 0 sao cho |zw|=2|z|=|w|. Phần thực của số phức u=zw.

A. a=18. B. a=14. C. a=1. D. a=18.

Lời giải chi tiết

Giả sử u=a+bi(a;bR). Theo giả thiết suy ra {|u|=|zw|=|z||w|=12|zw||w|=|zww|=|zw1|=|u1|

{a2+b2=14(a1)2+b2=1(a1)2a2=342a+1=34a=18. Chọn D.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12