Bài tập phương trình logarit cơ bản có đáp án chi tiết

Bài tập phương trình logarit cơ bản có đáp án

Dưới đây là một số bài tập giải pt logarit cơ bản nhất có Lời giải chi tiết

Bài tập 1: Giải các phương trình sau: a) ${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+x+2 \right)=3.$  b) ${{\log }_{3}}\left( 2x+1 \right)+{{\log }_{3}}\left( x-3 \right)=2.$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $PT\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x+2=8\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=2 \\  {} x=-3 \\ \end{array} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2; -3}.

b) Điều kiện: $x>3$. Khi đó $\text{PT}\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left[ \left( 2x+1 \right)\left( x-3 \right) \right]={{\log }_{3}}9\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-5x-3=9$

$\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-5x-12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=4 \\  {} x=\frac{-3}{2} \\ \end{array} \right.$.

Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là $x$ = 4.

Bài tập 2: Giải các phương trình sau: a) ${{\log }_{2}}\left( x+4 \right)=3-2{{\log }_{2}}x.$ b) $3{{\log }_{8}}\left( x-2 \right)-{{\log }_{\sqrt{2}}}\left( 3x+2 \right)+7=0.$

Lời giải chi tiết:

a) Điều kiện: $x>0$. Khi đó $\text{PT}\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x+4 \right)+{{\log }_{2}}{{x}^{2}}=3\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ {{x}^{2}}\left( x+4 \right) \right]=3\Leftrightarrow {{x}^{3}}+4{{x}^{2}}=8$

$\Leftrightarrow \left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x-4 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=-2 \\  {} x=-1+\sqrt{5} \\  {} x=-1-\sqrt{5} \\ \end{array} \right.$.

Kết hợp ĐK $x>0$. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $x=-1+\sqrt{5}$

b) Điều kiện: $x>2$. Khi đó $\text{PT}\Leftrightarrow 3{{\log }_{{{2}^{3}}}}\left( x-2 \right)-{{\log }_{{{2}^{\frac{1}{2}}}}}\left( 3x+2 \right)+7=0$

$\begin{array}  {} \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x-2 \right)-2{{\log }_{2}}\left( 3x+2 \right)+7=0\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x-2 \right)-{{\log }_{2}}{{\left( 3x+2 \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}{{2}^{7}}=0 \\  {} \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\frac{128\left( x-2 \right)}{{{\left( 3x+2 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow 128\left( x-2 \right)={{\left( 3x+2 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 9{{x}^{2}}-116x+260=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=10 \\  {} x=\frac{26}{9} \\ \end{array} \right.\,\,\left( t/m \right). \\ \end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=10;\,x=\frac{26}{9}.$

Bài tập 3: Giải các phương trình sau: a) ${{\log }_{2}}\left[ x\left( x-1 \right) \right]=1$  b) ${{\log }_{2}}x+{{\log }_{2}}\left( x-1 \right)=1$ c) ${{\log }_{2}}\left( x-2 \right)-6{{\log }_{\frac{1}{8}}}\sqrt{3x-5}=2$ d) ${{\log }_{2}}\left( x-3 \right)+{{\log }_{2}}\left( x-1 \right)=3$

Lời giải chi tiết:

a) Điều kiện: $x\left( x-1 \right)>0\Leftrightarrow x>1;x<0$.

Ta có: $PT\Leftrightarrow x\left( x-1 \right)=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2=0\Leftrightarrow x=-1;x=2$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=-1;x=2.$

b) Điều kiện: $x>1$.

Ta có phương trình tương đương với ${{\log }_{2}}\left[ x\left( x-1 \right) \right]=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2=0\Leftrightarrow x=-1;x=2$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=-1;x=2.$

c) Điều kiện: $x>2$.

Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x-2 \right)+{{\log }_{2}}\left( 3x-5 \right)=2\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( 3x-5 \right)=4\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-11x+6=0\Leftrightarrow x=3;x=\frac{2}{3}$

Đối chiếu với đk ta được nghiệm của phương trình là $x=3.$

d) Điều kiện: $x>3$.

Ta có: $PT\Leftrightarrow \left( x-3 \right)\left( x-1 \right)=8\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-5=0\Leftrightarrow x=-1;x=5$

Đối chiếu với đk ta được nghiệm của phương trình là $x=5.$

Bài tập 4: Giải các phương trình sau: a) $\lg \left( x-2 \right)+\lg \left( x-3 \right)=1-\lg 5$ b) $2{{\log }_{8}}\left( x-2 \right)-{{\log }_{8}}\left( x-3 \right)=\frac{2}{3}$ c) $\lg \sqrt{5x-4}+\lg \sqrt{x+1}=2+\lg 0,18$ d) ${{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-6 \right)={{\log }_{3}}\left( x-2 \right)+1$

Lời giải chi tiết:

a) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} x-2>0 \\  {} x-3>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>3$.

Ta có: $PT\Leftrightarrow \lg \left( x-2 \right)\left( x-3 \right)=\lg 2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+4=0\Leftrightarrow x=1;x=4.$

Đối chiếu với điều kiện pt có nghiệm là $x=4.$

b) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} x>2 \\  {} x>3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>3.$

Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{8}}\frac{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}{x-3}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-8x+16=0\Leftrightarrow x=4\,\,(TM).$

Vậy PT có nghiệm là $x=4.$

c) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} x>\frac{5}{4} \\  {} x>-1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>\frac{5}{4}$.

Ta có: $PT\Leftrightarrow \lg \sqrt{\left( 5x-4 \right)\left( x+1 \right)}=\lg 18\Leftrightarrow \sqrt{\left( 5x-4 \right)\left( x+1 \right)}=18\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}+x-328=0\Leftrightarrow x=8;x=-\frac{41}{5}.$

Đối chiếu với điều kiện nên phương trình có nghiệm là $x=8.$

d) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} {{x}^{2}}-6>0 \\  {} x-2>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>\sqrt{6}$.

Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-6 \right)={{\log }_{3}}3\left( x-2 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x=0\Leftrightarrow x=0;x=3.$

Đối chiếu điều kiện PT có nghiệm $x$= 3.

Bài tập 5: Giải các phương trình sau: a) ${{\log }_{2}}\left( x+3 \right)+{{\log }_{2}}\left( x-1 \right)=\frac{1}{{{\log }_{5}}2}$ b) ${{\log }_{4}}x+{{\log }_{4}}\left( 10-x \right)=2$ c) ${{\log }_{5}}\left( x-1 \right)-{{\log }_{\frac{1}{5}}}\left( x+2 \right)=0$ d) ${{\log }_{2}}\left( x-1 \right)+{{\log }_{2}}\left( x+3 \right)={{\log }_{2}}10-1$

Lời giải chi tiết:

a) Điều kiện:$\left\{ \begin{array}  {} x+3>0 \\  {} x-1>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>1$.

Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x+3 \right)\left( x-1 \right)={{\log }_{2}}5\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-8=0\Leftrightarrow x=2;x=-4$

Đối chiếu điều kiện nên pt có nghiệm là $x=2.$

b) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} x>0 \\  {} 10-x>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 0<x<10.$

Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{4}}x\left( 10-x \right)=2\Leftrightarrow x=2;x=8$

Đối chiếu điều kiện nên PT có nghiệm $x=8.$

c) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} x+1>0 \\  {} x-2>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>2$.

Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( x-1 \right)+{{\log }_{5}}\left( x+2 \right)=0\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-3=0\Leftrightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{2}$

Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm là $x=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}.$

d) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} x-1>0 \\  {} x+3>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>1$.

Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)={{\log }_{2}}5\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-8=0\Leftrightarrow x=2;x=-4$

Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm $x$= 2.

Bài tập 6: Giải các phương trình sau: a) ${{\log }_{9}}\left( x+8 \right)-{{\log }_{3}}\left( x+26 \right)+2=0$ b) ${{\log }_{3}}x+{{\log }_{\sqrt{3}}}x+{{\log }_{\frac{1}{3}}}x=6$ c) $1+\lg \left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)-\lg \left( {{x}^{2}}+1 \right)=2\lg \left( 1-x \right)$ d) ${{\log }_{4}}x+{{\log }_{\frac{1}{16}}}x+{{\log }_{8}}x=5$

Lời giải chi tiết:

a) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} x+8>0 \\  {} x+26>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>-8$.

Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{9}}\frac{81\left( x+8 \right)}{{{\left( x+26 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-29x+28=0\Leftrightarrow x=1;x=28$

Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm là $x=1;x=28.$

b) Điều kiện: $x>0$

Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x+2{{\log }_{3}}x-{{\log }_{3}}x=6\Leftrightarrow {{\log }_{3}}x=3\Leftrightarrow x=27$

Vậy PT có nghiệm $x=27.$

c) Điều kiện: $1-x<0\Leftrightarrow x<1$.

Ta có: $PT\Leftrightarrow 1-\lg {{\left( x-1 \right)}^{2}}-\lg \left( {{x}^{2}}+1 \right)=\lg {{\left( 1-x \right)}^{2}}\Leftrightarrow \lg \left( {{x}^{2}}+1 \right)=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}=9\Leftrightarrow x=\pm 3$

Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm $x=-3$.

d) Điều kiện: $x>0$.

Ta có: $PT\Leftrightarrow \frac{1}{2}{{\log }_{2}}x-\frac{1}{4}{{\log }_{2}}x+\frac{1}{3}{{\log }_{2}}x=5\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=\frac{60}{17}\Leftrightarrow x={{2}^{\frac{60}{17}}}\,\,(TM)$

Vậy PT có nghiệm là $x={{2}^{\frac{60}{17}}}.$

Bài tập 7: Giải các phương trình sau: a) $2+\lg \left( 4{{x}^{2}}-4x+1 \right)-\lg \left( {{x}^{2}}+19 \right)=2\lg \left( 1-2x \right)$ b) ${{\log }_{2}}x+{{\log }_{4}}x+{{\log }_{8}}x=11$ c) ${{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( x-1 \right)+{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( x+1 \right)=1+{{\log }_{\frac{1}{\sqrt{2}}}}\left( 7-x \right)$              d) ${{\log }_{\frac{1}{\sqrt{6}}}}\left( {{5}^{x+1}}-{{25}^{x}} \right)=-2$

Lời giải chi tiết:

a) Điều kiện: $1-2x>0\Leftrightarrow x<\frac{1}{2}$.

Ta có: $\lg \left( 4{{x}^{2}}-4x+1 \right)=\lg {{\left( 2x-1 \right)}^{2}}=2\lg \left( 1-2x \right)$

$PT\Leftrightarrow 2-\lg \left( {{x}^{2}}+19 \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+19=100\Leftrightarrow x=\pm 9$

Đối chiếu với điều kiện nên PT có nghiệm là $x=-9.$

b) Điều kiện: $x>0$

Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x+\frac{1}{2}{{\log }_{2}}x+\frac{1}{3}{{\log }_{2}}x=11\Leftrightarrow {{\log }_{2}}x=6\Leftrightarrow x=64\,\,\,\left( TM \right)$

Vậy PT có nghiệm $x=64.$

c) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} x-1>0 \\  {} x+1>0 \\  {} 7-x>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 1<x<7$.

Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)={{\log }_{\frac{1}{2}}}\frac{1}{2}.\left( 7-x \right)\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+x-9=0\Leftrightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{73}}{4}$

Kiểm tra điều kiện chỉ có nghiệm $x=\frac{-1+\sqrt{73}}{4}$ thỏa mãn.

d) Điều kiện: ${{5}^{x+1}}-{{25}^{x}}>0\Leftrightarrow {{5}^{x}}\left( 5-{{5}^{x}} \right)>0\Leftrightarrow 0<{{5}^{x}}<5\Leftrightarrow x<1$.

Ta có: $PT\Leftrightarrow {{5}^{x+1}}-{{25}^{x}}={{\frac{1}{\sqrt{6}}}^{-2}}={{\left( {{6}^{\frac{-1}{2}}} \right)}^{-2}}=6\Leftrightarrow {{\left( {{5}^{x}} \right)}^{2}}-{{5.5}^{x}}+6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{5}^{x}}=2 \\  {} {{5}^{x}}=3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x={{\log }_{5}}2 \\  {} x={{\log }_{5}}3 \\ \end{array} \right.$

Vậy PT có nghiệm là $x={{\log }_{5}}2\,\,v\mu \,\,x={{\log }_{5}}3.$

Bài tập 8: Giải các phương trình sau: a) ${{\log }_{x}}\left( 2{{x}^{2}}-7x+12 \right)=2$ b) ${{\log }_{x}}\left( 2{{x}^{2}}-3x-4 \right)=2$ c) ${{\log }_{2x}}\left( {{x}^{2}}-5x+6 \right)=2$  d) ${{\log }_{x}}\left( {{x}^{2}}-2 \right)=1$

Lời giải chi tiết:

a) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} 2{{x}^{2}}-7x+12>0 \\  {} x>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>0$.

Ta có: $PT\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-7x+12={{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-7x+12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=3\,\,\,\left( TM \right) \\  {} x=-4\,\,\,(L) \\ \end{array} \right.$

Vậy PT có nghiệm $x=3.$

b) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} 2{{x}^{2}}-3x-4>0 \\  {} x>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left[ \begin{array}  {} x>\frac{3+\sqrt{41}}{4} \\  {} x<\frac{3-\sqrt{41}}{4} \\ \end{array} \right. \\  {} x>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>\frac{3+\sqrt{41}}{4}$

Ta có: $PT\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-3x-4={{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=-1\,\,\,\left( L \right) \\  {} x=4\,\,\,(TM) \\ \end{array} \right.$

Vậy PT có nghiệm $x=4.$

c) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} {{x}^{2}}-5x+6>0 \\  {} x>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left[ \begin{array}  {} x>3 \\  {} x<2 \\ \end{array} \right. \\  {} x>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x>3 \\  {} 0<x<2 \\ \end{array} \right.$.

Ta có: $PT\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+6=4{{x}^{2}}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+5x-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=\frac{-5+\sqrt{97}}{6}\,\,\,\left( TM \right) \\  {} x=\frac{-5-\sqrt{97}}{6}\,\,\,\left( L \right) \\ \end{array} \right.$

Vậy PT có nghiệm $x=\frac{-5+\sqrt{97}}{6}$.

d) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} {{x}^{2}}-2>0 \\  {} x>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left[ \begin{array}  {} x>\sqrt{2} \\  {} x<-\sqrt{2} \\ \end{array} \right. \\  {} x>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>\sqrt{2}$.

Ta có $PT\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2=x\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=-1\,\,\,\left( L \right) \\  {} x=2\,\,\,(TM) \\ \end{array} \right.$

Vậy PT có nghiệm là $x=2.$

Bài tập 9: Giải các phương trình sau: a) ${{\log }_{3x+5}}\left( 9{{x}^{2}}+8x+2 \right)=2$ b) ${{\log }_{2x+4}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)=1$ c) ${{\log }_{x}}\frac{15}{1-2x}=-2$  d) ${{\log }_{{{x}^{2}}}}\left( 3-2x \right)=1$ e) ${{\log }_{{{x}^{2}}+3x}}\left( x+3 \right)=1$  f) ${{\log }_{x}}\left( 2{{x}^{2}}-5x+4 \right)=2$

Lời giải chi tiết:

a) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} 9{{x}^{2}}+8x+2>0 \\  {} 3x+5>0 \\  {} 3x+5\ne 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x>-\frac{5}{3} \\  {} x\ne -\frac{4}{3} \\ \end{array} \right.$.

Ta có: $PT\Leftrightarrow 9{{x}^{2}}+8x+2={{\left( 3x+5 \right)}^{2}}\Leftrightarrow x=-\frac{23}{22}\,\,\,\left( TM \right)$

Vậy PT có nghiệm là $x=-\frac{23}{22}.$

b) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} {{x}^{2}}+1>0 \\  {} 2x+4>0 \\  {} 2x+4\ne 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x>-2 \\  {} x\ne -\frac{3}{2} \\ \end{array} \right.$

Ta có: $PT\Leftrightarrow {{x}^{2}}+1=2x+4\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=-1 \\  {} x=3 \\ \end{array} \right.\,\,\,\left( TM \right)$

Vậy PT có nghiệm $x=-1;\,x=3.$

c) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} x>0 \\  {} \frac{15}{1-2x}>0 \\  {} x\ne 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow 0<x<\frac{1}{2}$.

Ta có: $PT\Leftrightarrow \frac{15}{1-2x}={{x}^{-2}}\Leftrightarrow 15{{x}^{2}}+2x-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=\frac{1}{5}\,\,\,\left( TM \right) \\  {} x=-\frac{1}{3}\,\,\left( L \right) \\ \end{array} \right.$

Vậy PT có nghiệm là $x=\frac{1}{5}$.

d) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} {{x}^{2}}>0 \\  {} 3-2x>0 \\  {} {{x}^{2}}\ne 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x\ne 0 \\  {} x\ne \pm 1 \\  {} x<\frac{3}{2} \\ \end{array} \right.$.

Ta có: $PT\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=1\,\,\,\left( L \right) \\  {} x=-3\,\,\,(TM) \\ \end{array} \right.$

Vậy PT có nghiệm là $x=-3.$

e) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} {{x}^{2}}+3x>0 \\  {} x+3>0 \\  {} {{x}^{2}}+3x\ne 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x\ne \frac{-3+\sqrt{13}}{2} \\  {} x>0 \\ \end{array} \right.$.

Ta có: $PT\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=1 \\  {} x=-3 \\ \end{array} \right.$

Kiểm tra điều kiện thì $x=1$ là nghiệm cần tìm.

f) Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} x>0 \\  {} 2{{x}^{2}}-5x+4>0 \\  {} x\ne 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x>0 \\  {} x\ne 1 \\ \end{array} \right.$.

Ta có: $PT\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+4>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=1 \\  {} x=4 \\ \end{array} \right.\,\,\,\left( TM \right)$

Vậy PT có nghiệm là $x=1;\,x=4.$

Ví dụ 10: Giải các phương trình sau: a) ${{\log }_{9}}{{\left( {{x}^{2}}-5x+6 \right)}^{2}}=\frac{1}{2}{{\log }_{\sqrt{3}}}\frac{x-1}{2}+{{\log }_{3}}\left| x-3 \right|$ b) $\frac{1}{2}{{\log }_{\sqrt{2}}}\left( x+3 \right)+\frac{1}{4}{{\log }_{4}}{{\left( x-1 \right)}^{8}}={{\log }_{2}}4x$

Lời giải:

1. a) Điều kiện: $x>1;x\ne 3$. Khi đó $PT\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left| {{x}^{2}}-5x+6 \right|={{\log }_{3}}\frac{x-1}{2}+{{\log }_{3}}\left| x-3 \right|$

$\Leftrightarrow \left| {{x}^{2}}-5x+6 \right|=\frac{\left( x-1 \right)\left| x-3 \right|}{2}\Leftrightarrow \left| \left( x-2 \right)\left( x-3 \right) \right|=\frac{\left( x-1 \right)\left| x-3 \right|}{2}\Leftrightarrow 2\left| x-2 \right|=x-1\left( 1 \right)$

TH1: $x\ge 2$ ta có: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow 2x-4=x-1\Leftrightarrow x=3$ (loại).

TH2: $1<x<2$ ta có: $\left( 1 \right)\Leftrightarrow -2x+4=x-1\Leftrightarrow x=\frac{5}{3}\,\,\left( tm \right).$

Vậy $x=\frac{5}{3}$ là nghiệm của PT đã cho.

1. b) Điều kiện: $x>0;x\ne 1$. Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x+3 \right)+{{\log }_{2}}\left| x-1 \right|={{\log }_{2}}4x$

$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ \left( x+3 \right)\left| x-1 \right| \right]={{\log }_{2}}4x\Leftrightarrow \left( x+3 \right)\left| x-1 \right|=4x.$

TH1: Với $x>1$ ta có: $\left( x+3 \right)\left( x-1 \right)=4x\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=-1\,\,\,(lo{}^\text{1}i) \\  {} x=3 \\ \end{array} \right..$

TH2: Với $0<x<1$ ta có: $\left( x+3 \right)\left( 1-x \right)=4x\Leftrightarrow {{x}^{2}}+6x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=-3+2\sqrt{3} \\  {} x=-3-2\sqrt{3}\,\,\,(lo{}^\text{1}i) \\ \end{array} \right..$

Vậy $x=3;x=-3+2\sqrt{3}$ là nghiệm của PT đã cho.

Ví dụ 11: Giải các phương trình sau: a) $\lg \left( {{3}^{x}}-{{2}^{4-x}} \right)=2+\frac{1}{4}\lg 16-\frac{x}{2}\lg 4$ b) $\frac{1}{2}\lg \left( {{x}^{2}}+x-5 \right)=\lg 5x+\lg \frac{1}{5x}$ c) ${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)+{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)={{\log }_{2}}\left( {{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1 \right)+{{\log }_{2}}\left( {{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1 \right)$

Lời giải:

1. a) Điều kiện: ${{3}^{x}}-{{2}^{4-x}}>0$. Khi đó: $PT\Leftrightarrow \lg \left( {{3}^{x}}-{{2}^{4-x}} \right)=\lg 100+\lg 2-\lg {{4}^{\frac{x}{2}}}$

$\Leftrightarrow {{3}^{x}}-{{2}^{4-x}}=\frac{200}{{{4}^{\frac{x}{2}}}}\Leftrightarrow {{3}^{x}}-{{2}^{4-x}}={{200.2}^{-x}}\Leftrightarrow {{3}^{x}}={{16.2}^{-x}}+{{200.2}^{-x}}\Leftrightarrow {{3}^{x}}=\frac{216}{{{2}^{x}}}\Leftrightarrow {{6}^{x}}=216\Leftrightarrow x=3\,\,\left( tm \right).$

Vậy $x=3$ là nghiệm duy nhất của PT đã cho.

1. b) Điều kiện: $\left\{ \begin{array} {} x>0 \\ {} {{x}^{2}}+x-5>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>\frac{-1+\sqrt{21}}{2}.$

Khi đó: $PT\Leftrightarrow \lg \sqrt{{{x}^{2}}+x-5}=\lg 1\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+x-5}=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=2 \\  {} x=-3\,\,\,\left( lo{}^\text{1}i \right) \\ \end{array} \right.$

Vậy  là nghiệm của PT đã cho là $x=2.$

1. c) Ta có: $PT\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)=\left( {{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1 \right)\left( {{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1 \right)$

$\begin{array}  {} \Leftrightarrow \left[ \left( {{x}^{2}}+1 \right)+x \right]\left[ \left( {{x}^{2}}+1 \right)-x \right]=\left[ \left( {{x}^{4}}+1 \right)+{{x}^{2}} \right]\left[ \left( {{x}^{4}}+1 \right)-{{x}^{2}} \right]\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}-{{x}^{2}}={{\left( {{x}^{4}}+1 \right)}^{2}}-{{x}^{4}} \\  {} \Leftrightarrow {{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1={{x}^{8}}+{{x}^{4}}+1\Leftrightarrow {{x}^{8}}={{x}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=0 \\  {} x=\pm 1 \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$

Vậy $x=0;x=\pm 1$ là nghiệm của PT đã cho.

Ví dụ 12: Số nghiệm của phương trình ${{\log }_{5}}\left( x+4 \right)=1-2{{\log }_{25}}x$ là: A. 1.                                   B. 2.                                        C. 3.                                   D. 0.

Lời giải:

Điều kiện: $x>0$. Khi đó $PT\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( x+4 \right)=1-2{{\log }_{{{5}^{2}}}}x\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( x+4 \right)={{\log }_{5}}5-{{\log }_{5}}x$

$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left[ x\left( x+4 \right) \right]={{\log }_{5}}5\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x=5\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=1 \\  {} x=-5 \\ \end{array} \right.$

Kết hợp điều kiện suy ra PT có nghiệm duy nhất $x=1$. Chọn A.

Ví dụ 13: Số nghiệm của phương trình $\ln \left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)+\ln \left( x+3 \right)=\ln \left( x-1 \right)$ là: A. 0.                                   B. 1.                                        C. 2.                                   D. 3.

Lời giải:

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} {{x}^{2}}+2x-3>0 \\  {} x+3>0 \\  {} x-1>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>1$. Khi đó $PT\Leftrightarrow \ln \left[ \left( x-1 \right)\left( x+3 \right) \right]+\ln \left( x+3 \right)=\ln \left( x-1 \right)$

$\begin{array}  {} \Leftrightarrow \ln \left[ \left( x-1 \right){{\left( x+3 \right)}^{2}} \right]=\ln \left( x-1 \right)\Leftrightarrow \left( x-1 \right){{\left( x+3 \right)}^{2}}=x-1\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left[ {{\left( x+3 \right)}^{2}}-1 \right]=0 \\  {} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x-1=0 \\  {} {{\left( x+3 \right)}^{2}}=1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=1 \\  {} x=-4 \\  {} x=-2 \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$

Kết hợp điều kiện suy ra PT vô nghiệm. Chọn A.

 

Ví dụ 14: Gọi n là số nghiệm của phương trình ${{\log }_{2}}\left( x-2 \right)+3{{\log }_{8}}\left( 3x-5 \right)-2=0$. Khi đó: A. $n=1$.                          B. $n=2$.                               C. $n=0$.                          D. $n=3$.

Lời giải:

Ta có: ${{\log }_{2}}\left( x-2 \right)+3{{\log }_{8}}\left( 3x-5 \right)-2=0\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x-2 \right)+{{\log }_{2}}\left( 3x-5 \right)=2\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( 3x-5 \right)=4$

$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-11x+6=0\Leftrightarrow x=3;x=\frac{2}{3}$

Đối chiếu điều kiện loại nghiệm $x=\frac{2}{3}$, suy ra PT có nghiệm duy nhất $x=3\Rightarrow n=1$. Chọn A.

 

Ví dụ 15: Số nghiệm của phương trình ${{\log }_{2}}\left( {{2}^{x}}+4 \right)-x={{\log }_{2}}\left( {{2}^{x}}+12 \right)-3$ là: A. 1.                                   B. 2.                                        C. 3.                                   D. 0.

Lời giải:

$PT\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{2}^{x}}+4 \right)-{{\log }_{2}}\left( {{2}^{x}}+12 \right)=x-3\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\frac{{{2}^{x}}+4}{{{2}^{x}}+12}=x-3\Leftrightarrow \frac{{{2}^{x}}+4}{{{2}^{x}}+12}={{2}^{x-3}}$

Đặt $t={{2}^{x}}>0\Rightarrow \frac{t+4}{t+12}=\frac{t}{8}\Leftrightarrow {{t}^{2}}+4t-32=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} t=-8\left( lo{}^\text{1}i \right) \\  {} t=4\Rightarrow x=2 \\ \end{array} \right.$

Vậy $x=2$ là nghiệm của PT đã cho. Chọn A.

Ví dụ 16: Số nghiệm của phương trình ${{\log }_{\sqrt{2}}}\sqrt{x-1}-{{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( 5-x \right)=3{{\log }_{8}}\left( x-3 \right)$ là: A. 1.                                   B. 2.                                        C. 3.                                   D. 0.

Lời giải:

Điều kiện: $5>x>3$. Khi đó $PT\Leftrightarrow {{\log }_{{{2}^{\frac{1}{2}}}}}{{\left( x-1 \right)}^{\frac{1}{2}}}+{{\log }_{2}}\left( 5-x \right)=3{{\log }_{{{2}^{3}}}}\left( x-3 \right)$

$\begin{array}  {} \Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x-1 \right)+{{\log }_{2}}\left( 5-x \right)={{\log }_{2}}\left( x-3 \right) \\  {} \Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( 5-x \right)=x-3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=\frac{5+\sqrt{17}}{2}\,\,\,\left( t/m \right) \\  {} x=\frac{5-\sqrt{17}}{2}\,\,\,\left( lo{}^\text{1}i \right) \\ \end{array} \right.. \\ \end{array}$

Vậy nghiệm của PT là $x=\frac{5+\sqrt{17}}{2}$. Chọn A.

Ví dụ 17: Tổng bình phương tất cả các nghiệm của phương trình ${{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)-\frac{1}{2}{{\log }_{\sqrt{3}}}\left( x+1 \right)=1$ là: A. T = 25.                          B. T = 26.                               C. T = 29.                          D. T = 30.

Lời giải:

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} {{x}^{2}}-2x+3>0 \\  {} x+1>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x>-1.$

Khi đó $PT\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)-{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)={{\log }_{3}}3\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\frac{{{x}^{2}}-2x+3}{x+1}={{\log }_{3}}3$

$\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}-2x+3}{x+1}=3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x+3=3x+3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=0 \\  {} x=5 \\ \end{array} \right.\,\,\,\left( t/m \right)$

Do đó tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng 25. Chọn A.

 

Ví dụ 18: Gọi S là tập nghiệm của phương trình $2{{\log }_{2}}\left( 2x-2 \right)+{{\log }_{2}}{{\left( x-3 \right)}^{2}}=2$. Tổng các phần tử của tập S bằng: A. $8$.                              B. $6+\sqrt{2}$.                   C. $4+\sqrt{2}$.               D. $8+\sqrt{2}$.

Lời giải:

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}  {} 2x-2>0 \\  {} {{\left( x-3 \right)}^{2}}>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x>1 \\  {} x\ne 3 \\ \end{array} \right..$

Khi đó $PT\Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}\left( 2x-2 \right)+2{{\log }_{2}}\left| x-3 \right|=2$

$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 2x-2 \right)+{{\log }_{2}}\left| x-3 \right|={{\log }_{2}}2\Leftrightarrow \left( 2x-2 \right)\left| x-3 \right|=2$

TH1: Với $x>3.\,\,PT\Leftrightarrow \left( 2x-2 \right)\left( x-3 \right)=2\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-8x+4=0\xrightarrow{x>3}x=2+\sqrt{2}.$

TH2: Với $1<x<3.\,\,PT\Leftrightarrow \left( 2x-2 \right)\left( 3-x \right)=2\Leftrightarrow -2{{x}^{2}}+8x-8=0\Leftrightarrow x=2.$

Vậy $S=\left\{ 2;2+\sqrt{2} \right\}\Rightarrow T=4+\sqrt{2}$. Chọn C.

Chú ý: ${{\log }_{a}}{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2n}}=2n{{\log }_{a}}\left| f\left( x \right) \right|.$

Ví dụ 19: Gọi S là tập nghiệm của phương trình ${{\log }_{4}}{{\left( x+1 \right)}^{2}}+2={{\log }_{\sqrt{2}}}\sqrt{4-x}+{{\log }_{8}}{{\left( 4+x \right)}^{3}}$. Tổng các phần tử của tập S bằng: A. $-4-2\sqrt{6}.$            B. $4+2\sqrt{6}.$                 C. $2.$                              D. $4-2\sqrt{6}.$

Lời giải:

Điều kiện: $4>x>-4,x\ne 1$

$PT\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left| x+1 \right|+{{\log }_{2}}4={{\log }_{2}}\left( 4-x \right)+{{\log }_{2}}\left( 4+x \right)\Leftrightarrow 4\left| x+1 \right|=\left( 4-x \right)\left( 4+x \right)$

TH1: Với $4>x>-1$ ta có $4x+4=16-{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x-12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=2 \\  {} x=-6 \\ \end{array} \right.\Rightarrow x=2.$

TH2: Với $-1>x>-4$ ta có $-4x-4=16-{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-20=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=2+2\sqrt{6} \\  {} x=2-2\sqrt{6} \\ \end{array} \right.\Rightarrow x=2-2\sqrt{6}.$

Vậy PT có 2 nghiệm $x=2,x=2-2\sqrt{6}\Rightarrow T=4-2\sqrt{6}$. Chọn D.