Bài tập phóng xạ có đáp án chi tiết

DẠNG 1: BÀI TOÁN ÁP DỤNG ĐỊNH LUẬT PHÓNG XẠ.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Xét một mẫu phóng xạ: $X\to Y+$tia phóng xạ.

Gọi ${{N}_{o}},{{m}_{o}}$ lần lượt là số hạt nhân và khối lượng của mẫu ban đầu.

- Số hạt nhân và khối lượng phóng xạ còn lại:

$\left\{ \begin{array}{} N={{N}_{o}}{{.2}^{\frac{-t}{T}}}={{N}_{o}}.{{e}^{-\lambda t}} \\ {} m={{m}_{o}}{{.2}^{\frac{-t}{T}}}={{m}_{o}}.{{e}^{-\lambda t}} \\ \end{array} \right.$

Trong đó: N, m lần lượt là số hạt nhân, khối lượng của mẫu phóng xạ còn lại sau thời gian t.

- Số hạt nhân và khối lượng phóng xạ đã bị phân rã:

$\left\{ \begin{array}{} \Delta N={{N}_{o}}-N={{N}_{o}}\left( 1-{{2}^{\frac{-t}{T}}} \right)={{N}_{o}}(1-{{e}^{-\lambda t}}) \\ {} \Delta m={{m}_{o}}-m={{m}_{o}}\left( 1-{{2}^{\frac{-t}{T}}} \right)={{m}_{o}}{{e}^{-\lambda t}} \\ \end{array} \right.$

Trong đó: $\Delta N,\,\,\Delta m$ lần lượt là số hạt nhân, khối lượng của mẫu đã bị phân rã.

- Phần trăm số hạt, khối lượng phóng xạ còn lại: $\frac{N}{{{N}_{o}}}=\frac{m}{{{m}_{o}}}=\frac{H}{{{H}_{o}}}={{2}^{\frac{-t}{T}}}={{e}^{-\lambda t}}$

- Phần trăm số hạt, khối lượng phóng xạ bị phân rã: $\frac{\Delta N}{{{N}_{o}}}=\frac{\vartriangle m}{{{m}_{o}}}=1-{{2}^{\frac{-t}{T}}}=1-{{e}^{-\lambda t}}$

Chú ý: Mối liên hệ về số hạt và khối lượng: $N=n.{{N}_{A}}=\frac{m}{A}.{{N}_{A}}$

Trong đó: n là số mol, ${{N}_{A}}=6,{{02.10}^{23}}mo{{l}^{-1}}$ là số Avôgađrô.

Ví dụ minh họa

Ví dụ minh họa: Chất phóng xạ Pôlôni $_{84}^{210}Po$ phóng xạ tia $\alpha $và biến thành hạt nhân chì Pb. Biết chu kỳ bán rã của $_{84}^{210}Po$ là 138 ngày và ban đầu có 100g $_{84}^{210}Po$. Lấy khối lượng nguyên tử xấp xỉ số khối A(u). a) Tính số hạt Po và khối lượng Po còn lại sau 69 ngày? b) Tính số hạt Po bị phân rã và khối lượng Po đã phân rã sau 80 ngày? c) Sau 150 ngày có bao nhiêu phần trăm Po bị phân rã? d) Sau bao lâu Po bị phân rã 12,5 g? e) Sau bao lâu (kể từ thời điểm ban đầu) số hạt nhân của $_{84}^{210}Po$phóng xạ còn lại bằng 25% số hạt nhân ban đầu?

Lời giải

Phương trình phản ứng: $_{84}^{210}Po\to _{2}^{4}\alpha +_{82}^{206}Pb.$

Số hạt nhân Po ban đầu có trong mẫu là

${{N}_{o}}=\frac{m}{A}.{{N}_{A}}=\frac{100}{210}.6,{{02.10}^{23}}\approx 2,{{866.10}^{23}}$ hạt.

a) Sau 69 ngày, số hạt và khối lượng Po còn lại là

$\left\{ \begin{array}{} {{N}_{\left( t \right)}}={{N}_{o}}{{.2}^{\frac{-t}{T}}}=2,{{866.10}^{23}}{{.2}^{\frac{-69}{138}}}=2,{{027.10}^{23}}hat \\ {} {{m}_{\left( t \right)}}={{m}_{o}}{{.2}^{\frac{-t}{T}}}={{100.2}^{\frac{-69}{138}}}=50\sqrt{2}g \\ \end{array} \right.$

b) Sau 80 ngày, số hạt Po đã bị phân rã là

$\Delta N={{N}_{o}}\left( 1-{{2}^{-\frac{t}{T}}} \right)=2,{{866.10}^{23}}.\left( 1-{{2}^{\frac{-80}{138}}} \right)=9,{{48.10}^{22}}$ hạt.

Sau 80 ngày, khối lượng Po đã bị phân rã là:

$\Delta m={{m}_{o}}\left( 1-{{2}^{-\frac{t}{T}}} \right)=100\left( 1-{{2}^{-\frac{80}{138}}} \right)\approx 33,1g.$

c) Sau 150 ngày, phần trăm Po bị phân rã là

$\frac{\Delta m}{m}=1-{{2}^{-\frac{t}{T}}}=1-{{2}^{-\frac{150}{380}}}=52,924%.$

d) Khối lượng Po đã bị phân ra:

$\Delta m={{m}_{o}}\left( 1-{{2}^{-\frac{t}{T}}} \right)\Leftrightarrow 12,5=100\left( 1-{{2}^{\frac{-t}{138}}} \right)\Rightarrow t\approx 26,6$ ngày.

e) Số hạt nhân Po phóng xạ còn lại 25% so với ban đầu:

$\frac{N}{{{N}_{o}}}={{2}^{-\frac{t}{T}}}\Leftrightarrow 0,25={{2}^{\frac{-t}{138}}}\Rightarrow t=276$ ngày.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP DẠNG 1

Ví dụ 1: Cho 2 gam $_{27}^{60}Co$ tinh khiết có phóng xạ ${{\beta }^{-}}$với chu kỳ bán rã là 5,33 năm. Sau 15 năm, khối lượng $_{27}^{60}Co$ còn lại là A. 0,284 g. B. 0,842 g. C. 0,482 g. D. 0,248 g.

Lời giải

Khối lượng Co còn lại sau 15 năm là: $m={{m}_{o}}{{.2}^{-\frac{t}{T}}}={{2.2}^{-\frac{15}{5,33}}}=0,284g.$Chọn A.

Ví dụ 2: Gọi $\Delta t$ là khoảng thời gian để số hạt nhân của một chất phóng xạ giảm 4 lần. Sau $2\Delta t$ thì số hạt nhân còn lại bằng bao nhiêu phần trăm ban đầu? A. 25,25%. B. 93,75%. C. 13,5%. D. 6,25%.

Lời giải

Sau $\Delta t:\frac{{{N}_{o}}}{N}=4={{2}^{\frac{\Delta t}{T}}}\Rightarrow \Delta t=2T$

Sau $2\Delta t:\Rightarrow N=\frac{{{N}_{o}}}{{{2}^{4}}}=\frac{{{N}_{o}}}{16}\Rightarrow \frac{N}{{{N}_{o}}}=\frac{1}{16}\approx 6,25%$. Chọn D.

Ví dụ 3: Một chất phóng xạ $_{84}^{210}Po$chu kỳ bán rã là 138 ngày, ban đầu mẫu chất phóng xạ nguyên chất. Sau thời gian t ngày thì số prôtôn có trong mẫu phóng xạ còn lại là ${{N}_{1}}$. Tiếp sau đó $\Delta t$ ngày thì số nơtrôn có trong mẫu phóng xạ còn lại là ${{N}_{2}}$, biết ${{N}_{1}}=1,158{{N}_{2}}.$Giá trị của $\Delta t$ gần đúng bằng A. 140 ngày B. 130 ngày C. 120 ngày D. 110 ngày

Lời giải

Giả sử ban đầu có ${{N}_{o}}$ hạt $_{84}^{210}Po$ phóng xạ $\Rightarrow $có $84{{N}_{o}}$ prôtôn và $126{{N}_{o}}$nơtron.

Tại thời điểm t, số hạt prôtôn trong mẫu là: ${{N}_{1}}=84{{N}_{o}}{{.2}^{-\frac{t}{T}}}$

Tại thời điểm $t+\Delta t,$ số hạt nơtron trong mẫu là: ${{N}_{2}}=126{{N}_{o}}{{.2}^{-\frac{t+\Delta t}{T}}}$

Do $\frac{{{N}_{1}}}{{{N}_{2}}}=1,158\Rightarrow \frac{84}{126}{{.2}^{\frac{\Delta t}{138}}}=1,158\Rightarrow \Delta t\approx 110$ ngày. Chọn D.

Ví dụ 4: Một mẫu chất chứa hai chất phóng xạ A và B với chu kì bán rã lần lượt là ${{T}_{A}},{{T}_{B}}$ với ${{T}_{A}}=0,2h.$ Ban đầu số nguyên tử A gấp bốn lần số nguyên tử B, sau 2 h số nguyên tử A và B bằng nhau. Chu kỳ bán rã của chất B là ${{T}_{B}}$ bằng A. 0,25 h. B. 0,4 h. C. 0,1 h. D. 2,5 h.

Lời giải

Ban đầu số hạt nhân A gấp bốn lần số hạt nhân B: ${{N}_{oA}}=4{{N}_{oB}}$

Sau 2 h, số hạt nhân A, B phóng xạ còn lại là: $\left\{ \begin{array}{} {{N}_{A}}={{N}_{oA}}{{.2}^{-\frac{2}{{{T}_{A}}}}} \\ {} {{N}_{B}}={{N}_{oB}}{{.2}^{-\frac{t}{{{T}_{B}}}}} \\ \end{array} \right.$

Do ${{N}_{A}}={{N}_{B}}\Rightarrow {{N}_{oA}}{{.2}^{-\frac{2}{{{T}_{A}}}}}={{N}_{oB}}{{.2}^{-\frac{1}{{{T}_{B}}}}}\Leftrightarrow {{4.2}^{-\frac{2}{0,2}}}={{2}^{-\frac{2}{{{T}_{B}}}}}\Rightarrow {{T}_{B}}=0,25h.$ Chọn A.

Ví dụ 5: Hiện nay trong quặng thiên nhiên có cả U238 và U235 theo tỉ lệ số nguyên tử là 140:1. Giả thiết ở thời điểm hình thành Trái Đất tỉ lệ trên là 1:1. Tính tuổi của Trái Đất,biết chu kì bán rã của U238 và U235 lần lượt là ${{T}_{1}}=4,{{5.10}^{9}}$ năm, ${{T}_{2}}=0,{{713.10}^{9}}$ năm. A. ${{6.10}^{9}}$năm. B. $5,{{5.10}^{9}}$năm. C. ${{5.10}^{9}}$ năm. D. $6,{{5.10}^{8}}$ năm.

Lời giải

Ở thời điểm hình thành trái đất: ${{N}_{o1}}={{N}_{o2}}={{N}_{o}}$

Hiện tại trái đất t năm tuổi: $\left\{ \begin{array}{} {{N}_{1}}={{N}_{o}}{{.2}^{-\frac{t}{{{T}_{1}}}}} \\ {} {{N}_{2}}={{N}_{o}}{{.2}^{-\frac{t}{{{T}_{2}}}}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \frac{{{N}_{1}}}{{{N}_{2}}}={{2}^{\frac{t}{{{T}_{2}}}-\frac{t}{{{T}_{1}}}}}$

$\Leftrightarrow 140={{2}^{\frac{t}{0,{{713.10}^{9}}}-\frac{t}{4,{{5.10}^{9}}}.}}\Rightarrow \frac{t}{0,{{713.10}^{9}}}-\frac{t}{4,{{5.10}^{9}}}={{\log }_{2}}140\Rightarrow t\approx {{6.10}^{9}}$ năm. Chọn A.

Ví dụ 6: Chu kỳ bán rã của hai chất phóng xạ A, B là 20 phút và 40 phút. Ban đầu hai chất phóng xạ có số hạt nhân bằng nhau. Sau 80 phút thì tỉ số các hạt A và B bị phân rã là A. 4/5. B. 5/4. C. 4. D. 1/4.

Lời giải

Ta có: ${{N}_{oA}}={{N}_{oB}}={{N}_{o}}$

Sau 80 phút: $\frac{\Delta {{N}_{A}}}{\Delta {{N}_{B}}}=\frac{{{N}_{o}}\left( 1-{{2}^{-\frac{80}{20}}} \right)}{{{N}_{o}}\left( 1-{{2}^{-\frac{80}{40}}} \right)}=\frac{5}{4}.$ Chọn B.

Ví dụ 7: Một lượng hỗn hợp gồm hai đồng vị X, Y với số lượng hạt nhân ban đầu như nhau. Đồng vị thứ nhất có chu kì bán rã là 2,4 ngày, đồng vị thứ hai có chu kì bán rã là 4 ngày. Sau thời gian t thì còn lại 87,5% số hạt nhân trong hỗn hợp chưa phân rã. Tìm t. A. 2 ngày. B. 0,58 ngày. C. 4 ngày. D. 0,25 ngày.

Lời giải

Ban đầu, số hạt X bằng số hạt Y: ${{N}_{oX}}={{N}_{oY}}={{N}_{o}}$

Sau khoảng thời gian t, tổng số hạt còn lại bằng 87,5% số hạt ban đầu:

$\frac{{{N}_{X}}+{{N}_{Y}}}{2{{N}_{o}}}=0,875\Leftrightarrow \frac{{{N}_{o}}{{.2}^{-\frac{t}{{{T}_{X}}}}}+{{N}_{o}}{{.2}^{-\frac{t}{{{T}_{Y}}}}}}{2{{N}_{o}}}=0,875$

$\Leftrightarrow \frac{{{2}^{-\frac{t}{2,4}}}+{{2}^{-\frac{t}{4}}}}{2}=0,875\Rightarrow t=0,58$ngày. Chọn B.

Ví dụ 8: [Trích đề thi THPT QG năm 2018] Pôlôni $_{84}^{210}Po$là chất phóng xạ $\alpha $. Ban đầu có một mẫu $_{84}^{210}Po$ nguyên chất. Khối lượng $_{84}^{210}Po$ trong mẫu ở các thời điểm $t={{t}_{0}},t={{t}_{0}}+2\Delta t$ và $t={{t}_{0}}+3\Delta t\left( \Delta t>0 \right)$ có giá trị lần lượt là ${{m}_{0}}$, 8g và 1g. Giá trị của ${{m}_{0}}$ là A. 256 g. B. 128 g. C. 64 g. D. 512 g.

Lời giải

Gọi ${{M}_{o}}$ là khối lượng của ${{P}_{o}}$ ở thời điểm t = 0.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{} {{m}_{o}}={{M}_{o}}{{.2}^{-\frac{{{t}_{o}}}{T}}} \\ {} 8={{M}_{o}}{{.2}^{-\frac{{{t}_{o}}+2\Delta t}{T}}}={{M}_{o}}{{.2}^{-\frac{{{t}_{o}}}{T}}}{{.2}^{-\frac{2\Delta t}{T}}} \\ {} 1={{M}_{o}}{{.2}^{-\frac{{{t}_{o}}+3\Delta t}{T}}}={{M}_{o}}{{.2}^{-\frac{{{t}_{o}}}{T}}}{{.2}^{-\frac{3\Delta t}{T}}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{\left\{ \begin{array}{} 8={{m}_{o}}.\left( {{2}^{-\frac{\Delta t}{T}}} \right) \\ {} 1={{m}_{o}}.{{\left( {{2}^{-\frac{\Delta t}{T}}} \right)}^{3}} \\ \end{array} \right.}^{2}}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{2}^{-\frac{\Delta t}{T}}}=\frac{1}{8} \\ {} {{m}_{o}}=512g \\ \end{array} \right..$ Chọn D.

Ví dụ 9: Một lượng phóng xạ Na22 có ${{10}^{7}}$ nguyên tử đặt cách màn huỳnh quang một khoảng 1 cm, màn có diện tích $10c{{m}^{2}}.$ Biết chu kì bán rã của Na22 là 2,6 năm, coi một năm có 365 ngày. Cứ một nguyên tử phân rã tạo ra một hạt phóng xạ ${{\beta }^{-}}$ và mỗi hạt phóng xạ đập vào màn huỳnh quang phát ra một chấm sáng. Xác định số chấm sáng trên màn sau 10 phút. A. 58 B. 15 C. 40 D. 156

Lời giải

Số hạt đã phóng xạ trong 10 phút là $\Delta N={{N}_{o}}\left( 1-{{2}^{-\frac{t}{T}}} \right)$

Các hạt phóng xạ tỏa đều đẳng hướng trong không gian nên mật độ các hạt phóng xạ là $n=\frac{\Delta N}{4\pi {{R}^{2}}}$

Số chấm sáng trên màn đúng bằng số hạt phóng xạ đập vào $=n.S=\frac{\Delta N}{4\pi {{R}^{2}}}S=\frac{{{N}_{o}}\left( 1-{{2}^{-\frac{t}{T}}} \right)}{4\pi {{R}^{2}}}S$

$=\frac{{{10}^{7}}.\left( 1-{{2}^{-\frac{10}{2,6.365.24.60}}} \right)}{4\pi {{.1}^{2}}}.10\approx 40$. Chọn C.

Ví dụ 10: [Trích đề thi THPT QG năm 2009] Lấy chu kì bán rã của pôlôni $_{84}^{210}Po$ là 138 ngày và ${{N}_{A}}=6,{{02.10}^{23}}mo{{l}^{-1}}.$ Độ phóng xạ của 42 mg Pôlôni là A. ${{7.10}^{12}}Bq.$ B. ${{7.10}^{10}}Bq.$ C. ${{7.10}^{14}}Bq.$ D. ${{7.10}^{9}}Bq.$

Lời giải

Độ phóng xạ của 42 mg Po ban đầu:

${{H}_{o}}=\lambda {{N}_{o}}=\frac{\ell n2}{T}.\frac{m}{{{A}_{Po}}}.{{N}_{A}}=\frac{\ln 2}{138.24.60.60}.\frac{{{42.10}^{-3}}}{210}.6,02,{{10}^{23}}\approx {{7.10}^{12}}Bq.$ Chọn A.

Ví dụ 11: [Trích đề thi THPT QG năm 2008] Một chất phóng xạ có chu kỳ bán rã là 3,8 ngày. Sau thời gian 11,4 ngày thì độ phóng xạ (hoạt độ phóng xạ) của lượng chất phóng xạ còn lại bằng bao nhiêu phần trăm so với độ phóng xạ của lượng chất phóng xạ ban đầu? A. 12,5%. B. 25%. C. 75%. D. 87,5%.

Lời giải

Phần trăm độ phóng xạ còn lại là $\frac{H}{{{H}_{0}}}={{2}^{-\frac{t}{T}}}={{2}^{-\frac{11,4}{3,8}}}=0,125=12,5%.$ Chọn A.

Ví dụ 12: Một ngôi mộ cổ vừa mới khai quật. Một mẫu ván quan tài của nó chứa 50 g cacbon có độ phóng xạ là 457 phân rã/phút (chỉ có C14 là phóng xạ). Biết rằng độ phóng xạ của cây cối đang sống vào khoảng 3000 phân rã/phút tính trên 200 g cacbon. Chu kì bán rã của C14 khoảng 5600 năm. Tuổi của ngôi mộ cổ đó là A. 9,2 nghìn năm. B. 1,5 nghìn năm. C. 2,2 nghìn năm. D. 4 nghìn năm.

Lời giải

Ta so sánh độ phóng xạ 1 g mẫu mới (3000/200) và 1 g cổ vật (457/50) nên

$H={{H}_{0}}{{2}^{-\frac{t}{T}}}\Rightarrow \frac{457}{50}=\frac{3000}{200}{{.2}^{-\frac{t}{5600}}}\Rightarrow t\approx {{4.10}^{3}}$ năm. Chọn D.

Ví dụ 13: Tại thời điểm ${{t}_{1}}$ một chất phóng xạ có độ phóng xạ ${{H}_{1}}={{10}^{5}}Bq.$. Ở thời điểm ${{t}_{2}}$ chất phóng xạ đó có độ phóng xạ ${{H}_{2}}={{8.10}^{4}}Bq.$ Cho $T=6,93$ ngày. Số hạt nhân của chất phóng xạ đó bị phân ra trong khoảng thời gian $\Delta t=t{{ {} }_{2}}-{{t}_{1}}$ là A. $1,{{378.10}^{12}}$ hạt. B. $1,{{728.10}^{10}}$ hạt. C. $1,{{332.10}^{10}}$hạt. D. $1,{{728.10}^{12}}$ hạt.

Lời giải

Ta có: $H{{ {} }_{1}}=\lambda {{N}_{1}}=\frac{\ell n2}{T}.{{N}_{1}};{{H}_{2}}=\frac{\ell n2}{T}.{{N}_{2}}$

$\Rightarrow \Delta N={{N}_{1}}-{{N}_{2}}=\left( {{H}_{1}}-{{H}_{2}} \right).\frac{T}{\ell n2}=\left( {{10}^{5}}-{{8.10}^{4}} \right).\frac{6,93.86400}{\ell n2}=1,{{728.10}^{10}}$ hạt. Chọn B.

DẠNG 2: BÀI TOÁN SỐ HẠT NHÂN VÀ KHỐI LƯỢNG HẠT NHÂN CON TẠO THÀNH.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

- Số hạt nhân và khối lượng của hạt nhân con Y tạo thành:

+) Mỗi hạt nhân mẹ bị phân rã tạo thành một hạt nhân con nên số hạt nhân con tạo thành đúng bằng số hạt nhân mẹ bị phân rã (hay số mol hạt nhân con tạo thành bằng số mol hạt nhân mẹ đã phân rã):

$\left\{ \begin{array}{} {{N}_{Y}}=\Delta {{N}_{X}}={{N}_{oX}}\left( 1-{{2}^{-\frac{t}{T}}} \right) \\ {} {{n}_{Y}}=\Delta {{n}_{X}}={{n}_{oX}}\left( 1-{{2}^{-\frac{t}{T}}} \right) \\ \end{array} \right.$

+) Khối lượng hạt nhân con Y được tạo thành sau thời gian t là

${{n}_{Y}}={{n}_{oX}}\left( 1-{{2}^{-\frac{t}{T}}} \right)\Rightarrow \frac{{{m}_{Y}}}{{{A}_{Y}}}=\frac{{{m}_{o}}}{{{A}_{X}}}\left( 1-{{2}^{-\frac{t}{T}}} \right)\Rightarrow {{m}_{Y}}={{m}_{o}}\left( 1-{{2}^{-\frac{t}{T}}} \right)\frac{{{A}_{Y}}}{{{A}_{X}}}$

Trong đó: ${{n}_{Y}}$ là số mol hạt nhân con tạo thành, ${{n}_{oX}}$ là số mol ban đầu của chất phóng xạ.

${{A}_{X}},{{A}_{Y}}$ là số khối của chất phóng xạ ban đầu và chất mới được tạo thành.

- Tỉ số hạt (khối lượng) nhân con và số hạt (khối lượng) nhân mẹ ở thời điểm t:

$\left\{ \begin{array}{} {{N}_{X}}={{N}_{o}}{{.2}^{-\frac{t}{T}}} \\ {} {{N}_{Y}}=\Delta {{N}_{X}}={{N}_{o}}\left( 1-{{2}^{-\frac{t}{T}}} \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \frac{{{N}_{Y}}}{{{N}_{X}}}={{2}^{\frac{t}{T}}}-1$

$\Rightarrow \frac{{{m}_{Y}}}{{{m}_{X}}}=\frac{{{A}_{Y}}.{{N}_{Y}}}{{{A}_{X}}.{{N}_{X}}}=\frac{{{A}_{Y}}}{{{A}_{X}}}\left( {{2}^{\frac{t}{T}}}-1 \right).$

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ minh họa: Chất polonium $_{84}^{210}Po$ phóng xạ anpha $\left( \alpha \right)$ và chuyển thành chì $_{82}^{206}Pb$với chu kỳ bán rã là 138,4 ngày. Khối lượng ban đầu của Po là 50g. a) Sau 100 ngày (kể từ thời điểm ban đầu) thì tỉ số của số hạt nhân Pb và Po bằng bao nhiêu? b) Sau bao lâu khối lượng hạt nhân Po gấp 4 lần khối lượng hạt nhân Pb.

Lời giải

Phương trình phản ứng: $_{84}^{210}Po\to _{2}^{4}\alpha +_{82}^{206}Pb.$

a) Ta có: $\frac{{{N}_{Pb}}}{{{N}_{Po}}}={{2}^{\frac{t}{T}}}-1={{2}^{\frac{100}{138,4}}}-1\approx 0,6524$

b) Ta có: $\frac{{{m}_{Pb}}}{{{m}_{Po}}}=\frac{{{A}_{Pb}}}{{{A}_{Po}}}\left( {{2}^{\frac{t}{T}}}-1 \right)\Leftrightarrow \frac{1}{4}=\frac{206}{210}\left( {{2}^{\frac{t}{138,4}}}-1 \right)\Rightarrow t=45,1977$ngày.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP DẠNG 2

Ví dụ 14: Một hạt ${}^{226}Ra$ phân rã chuyển thành hạt nhân ${}^{222}Rn.$ Xem khối lượng bằng số khối. Nếu có 226g ${}^{226}Ra$ thì sau 2 chu kì bán rã khối lượng ${}^{222}Rn$ tạo thành là: A. 55,5 g. B. 56,5 g. C. 169,5 g. D. 166,5 g.

Lời giải

Ta có: ${{m}_{Rn}}=\frac{{{A}_{Rn}}}{{{A}_{Ra}}}{{m}_{o}}\left( 1-{{2}^{-\frac{t}{T}}} \right)=\frac{222}{226}.226\left( 1-{{2}^{-\frac{2T}{T}}} \right)=166,5g.$ Chọn D.

Ví dụ 15: [Trích đề thi THPT QG năm 2008] Hạt nhân $_{{{Z}_{1}}}^{{{A}_{1}}}X$ phóng xạ và biến thành một hạt nhân $_{{{Z}_{2}}}^{{{A}_{2}}}Y$ bền. Coi khối lượng của hạt nhân X, Y bằng số khối của chúng tính theo đơn vị u. Biết chất phóng xạ X có chu kì bán rã là T. Ban đầu có một khối lượng chất X, sau 2 chu kì bán rã thì tỉ số giữa khối lượng của chất Y và khối lượng của chất X là A. $4\frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}.$ B. $4\frac{{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}}.$ C. $3\frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}.$ D. $3\frac{{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}}.$

Lời giải

Ta có: $\frac{{{m}_{Y}}}{{{m}_{X}}}=\frac{{{A}_{Y}}}{{{A}_{X}}}\left( {{2}^{\frac{t}{T}}}-1 \right)=\frac{{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}}\left( {{2}^{\frac{2T}{T}}}-1 \right)=3\frac{{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}}.$ Chọn C.

Ví dụ 16: Hạt nhân X phóng xạ biến đổi thành hạt nhân bên Y. Ban đầu (t = 0) có một mẫu chất X nguyên chất. Tại thời điểm ${{t}_{1}}$ và ${{t}_{2}}$ tỉ số giữa số hạt nhân Y và số hạt nhân X ở trong mẫu tương ứng là 2 và 3. Tại thời điểm ${{t}_{3}}=2{{t}_{1}}+3{{t}_{2}},$tỉ số đó là A. 17. B. 575. C. 107. D. 72.

Lời giải

Phương trình phóng xạ: $X\to Y+$tia phóng xạ.

Tại ${{t}_{1}}$, tỉ số giữa số hạt nhân con và hạt nhân mẹ là:

$\frac{{{N}_{Y}}}{{{N}_{X}}}=2={{2}^{\frac{{{t}_{1}}}{T}}}-1\Rightarrow {{2}^{\frac{{{t}_{1}}}{T}}}=3\Rightarrow \frac{{{t}_{1}}}{T}=\ell o{{g}_{2}}3$

Tại ${{t}_{2}}$, tỉ số giữa số hạt nhân con và hạt nhân mẹ là:

$\frac{{{N}_{Y}}}{{{N}_{X}}}=3={{2}^{\frac{{{t}_{2}}}{T}}}-1\Rightarrow {{2}^{\frac{{{t}_{2}}}{T}}}=4\Rightarrow \frac{{{t}_{2}}}{T}=\ell o{{g}_{2}}4=2$

Tại ${{t}_{3}}$, tỉ số giữa số hạt nhân con và hạt nhân mẹ là:

$\begin{array}{} \frac{{{N}_{Y}}}{{{N}_{X}}}={{2}^{\frac{2{{t}_{1}}+3{{t}_{2}}}{T}}}-1\Rightarrow {{2}^{2\frac{{{t}_{1}}}{T}+3\frac{{{t}_{2}}}{T}}}-1={{2}^{2\ell o{{g}_{2}}3.2}}-1=575. \\ {} \\ \end{array}$

Chọn B.

Ví dụ 17: Chất polonium $_{84}^{210}Po$ phóng xạ anpha $\left( \alpha \right)$và chuyển thành chì $_{82}^{206}Pb$với chu kỳ bán rã là 138,4 ngày. Biết tại điều kiện tiêu chuẩn, mỗi mol khí chiếm một thể tích là $22,4\ell $. Nếu ban đầu có 5 g chất $_{84}^{210}Po$tinh khiết thì thể tích khí He ở điều kiện tiêu chuẩn sinh ra sau một năm là A. $0,484\ell $. B. $0,844\ell $. C. $0,884\ell $. D. $0,448\ell $.

Lời giải

Số mol hạt nhân Po ban đầu: ${{n}_{o}}=\frac{m}{{{A}_{Po}}}=\frac{5}{210}=\frac{1}{42}mol$

Mỗi một hạt Po bị phân rã sẽ phóng ra một hạt $\alpha $ nên số hạt $\alpha $ tạo ra bằng số hạt nhân Po đã bị phân rã, hay số mol $\alpha $ tạo ra bằng số mol hạt Po đã phân ra:

${{n}_{\alpha }}=\Delta {{n}_{Po}}={{n}_{o}}\left( 1-{{2}^{-\frac{t}{T}}} \right)=\frac{1}{42}\left( 1-{{2}^{-\frac{365}{138,4}}} \right)\approx 0,02mol$

Thể tích khí He sinh ra ở điều kiện tiêu chuẩn là: $V={{n}_{\alpha }}.22,4=0,02.22,4=0,448\ell .$ Chọn D.

Ví dụ 18: Hạt nhân urani $_{92}^{235}U$ sau một chuỗi phân rã, biến đổi thành hạt nhân chì $_{82}^{206}Pb.$ Trong quá trình đó, chu kì bán rã của $_{92}^{235}U$ biến đổi thành hạt nhân chì là $0,{{713.10}^{9}}$ năm. Giả sử trái đất có tuổi là 4,5 tỷ năm. Một khối $_{92}^{235}U$ tinh khiết được hình thành lúc trái đất mới sinh. Tỷ lệ khối lượng giữa $_{92}^{235}U$ và khối lượng $_{82}^{206}Pb$ hiện nay xấp xỉ bằng A. 0,0145. B. 0,013. C. 0,769. D. 0,687.

Lời giải

Chuỗi phân rã: $_{92}^{235}U\to ...\to _{82}^{206}Pb$

Tỉ lệ khối lượng của hạt nhân mẹ và con ở hiện tại

$\frac{{{m}_{Pb}}}{{{m}_{U}}}=\frac{{{A}_{Pb}}}{{{A}_{U}}}\left( {{2}^{\frac{t}{T}}}-1 \right)=\frac{206}{235}\left( {{2}^{\frac{4,{{5.10}^{9}}}{0,{{713.10}^{9}}}}}-1 \right)\approx 68,7\Rightarrow \frac{{{m}_{U}}}{{{m}_{Pb}}}=\frac{1}{68,7}=0,0145.$Chọn A.

Ví dụ 19: [Trích đề thi THPT QG năm 2012] Hạt nhân urani $_{92}^{238}U$ sau một chuỗi phân rã, biến đổi thành hạt nhân chì $_{82}^{206}Pb.$ Trong quá trình đó, chu kì bán rã của $_{92}^{238}U$ biến đổi thành hạt nhân chì là $4,{{47.10}^{9}}$ năm. Một khối đá được phát hiện có chứa $1,{{188.10}^{20}}$hạt nhân $_{92}^{238}U$ và $6,{{239.10}^{18}}$ hạt nhân $_{82}^{206}Pb.$ Giả sử khối đá lúc mới hình thành không chứa chì và tất cả lượng chì có mặt trong đó đều là sản phẩm phân rã của $_{92}^{238}U$. Tuổi của khối đá khi được phát hiện là A. $3,{{5.10}^{7}}$ năm. B. $2,{{5.10}^{6}}$ năm. C. $6,{{3.10}^{9}}$ năm. D. $3,{{3.10}^{8}}$ năm.

Lời giải

Chuỗi phân rã: $_{92}^{238}U\to ...\to _{82}^{206}Pb$

Tất cả lượng chì có mặt đều là sản phẩm phân rã của $_{92}^{238}U$. Áp dụng công thức hạt nhân con và hạt nhân mẹ ở thời điểm t (tuổi của khối đá) ta được:

$\frac{{{N}_{Pb}}}{{{N}_{U}}}={{2}^{\frac{t}{T}}}-1\Leftrightarrow \frac{6,{{239.10}^{18}}}{1,{{188.10}^{20}}}={{2}^{\frac{t}{4,{{47.10}^{9}}}}}-1$

$\Rightarrow {{2}^{\frac{t}{4,{{47.10}^{9}}}}}=1,0525\Rightarrow t=4,{{47.10}^{9}}.\ell o{{g}_{2}}\left( 1,0525 \right)=3,{{3.10}^{8}}$năm. Chọn D.

Ví dụ 20: Đồng vị $_{84}^{210}Po$ phóng xạ $\alpha $ tạo thành chì $_{82}^{206}Pb.$ Ban đầu trong một mẫu chất Po có khối lượng 1 mg. Tại thời điểm ${{t}_{1}}$ tỉ lệ giữa số hạt Pb và số hạt Po trong mẫu là 7 : 1. Tại thời điểm ${{t}_{2}}={{t}_{1}}+414$ ngày thì tỉ lệ đó là 63:1. Chu kỳ phóng xạ của Po là A. 138,0 ngày. B. 138,4 ngày. C. 137,8 ngày. D. 138,5 ngày.

Lời giải

Tại ${{t}_{1}}$, tỉ số giữa số hạt nhân con và hạt nhân mẹ là

$\frac{{{N}_{Pb}}}{{{N}_{Po}}}={{2}^{\frac{{{t}_{1}}}{T}}}-1=7\Rightarrow {{2}^{\frac{{{t}_{1}}}{T}}}=8\Rightarrow \frac{{{t}_{1}}}{T}=3$

Tại ${{t}_{2}}$, tỉ số giữa số hạt nhân con và hạt nhân mẹ là

$\frac{{{N}_{Pb}}}{{{N}_{Po}}}={{2}^{\frac{{{t}_{1}}+414}{T}}}-1=63\Rightarrow {{2}^{\frac{{{t}_{1}}+414}{T}}}=64\Rightarrow \frac{{{t}_{1}}}{T}+\frac{414}{T}=6$

$\Rightarrow \frac{414}{T}=6-3=3\Rightarrow T=138$ ngày . Chọn A.

Ví dụ 21: Chất polonium $_{84}^{210}Po$ phóng xạ anpha $\left( \alpha \right)$và chuyển thành chì $_{82}^{206}Pb$với chu kỳ bán rã là 138,4 ngày. Mẫu Po ban đầu theo khối lượng có 50% là tạp chất và 50% là Po. Sau 276 ngày phần trăm Po còn lại là bao nhiêu? Biết $\alpha $ bay hết ra ngoài, chì vẫn ở lại trong mẫu, coi khối lượng nguyên tử bằng số khối. A. 25,20%. B. 14,17%. C. 12,59%. D. 28,34%.

Lời giải

Phương trình phản ứng: ${}^{210}Po\to _{2}^{4}\alpha +{}^{206}Pb.$

Giả sử số mol Po ban đầu là ${{n}_{oPo}}=1mol\Leftrightarrow {{m}_{oPo}}=210g$

Do mẫu có 50% là tạp chất nên khối lượng của mẫu ban đầu là m_{mẫu $=210.2=420g.$}

Số mol Po còn sau 276 ngày là $n={{n}_{o}}{{.2}^{-\frac{t}{T}}}={{1.2}^{-\frac{276}{138,4}}}=\frac{1}{4}mol$

Khối lượng Po còn lại sau 276 ngày là ${{m}_{po}}=\frac{1}{4}.210=52,5g$

$\Rightarrow $Số mol Po đã phân rã là $\Delta {{n}_{po}}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}mol$

$\Rightarrow $Số mol $\alpha $ tạo ra và bay đi là ${{n}_{\alpha }}=\Delta {{n}_{po}}=\frac{3}{4}mol$

$\Rightarrow $Khối lượng $\alpha $ bay đi là ${{m}_{\alpha }}={{n}_{\alpha .}}{{A}_{\alpha }}=\frac{3}{4}.4=3g$

Khối lượng mẫu sau 276 ngày là ${m}'=$ m_mẫu $-{{m}_{\alpha }}=420-3=417g$

Phần trăm Po còn lại sau 276 ngày là $%Po=\frac{52,5}{417}.100%=12,59%.$Chọn C.

Ví dụ 22: Một tảng đá được phát hiện chứa 0,86 mg ${}^{238}U$ , 0,15 mg ${}^{206}Pb$ và 1,6 mg ${}^{40}Ca$. Biết rằng ${}^{238}U$ có chuỗi phân rã thành ${}^{206}Pb$ bền với chu kì bán rã $4,{{47.10}^{9}}$ năm, ${}^{40}K$ phân rã thành ${}^{40}Ca$ với chu kì bán rã $1,{{25.10}^{9}}$năm. Trong tảng đá có chứa khối lượng ${}^{40}K$ là A. 1,732 mg. B. 0,943 mg. C. 1,859 mg. D. 0,644 mg.

Lời giải

Tỉ lệ khối lượng ${}^{238}U$ và ${}^{106}Pb$ ở thời điểm hiện tại là:

$\frac{{{m}_{U}}}{{{m}_{Pb}}}=\frac{{{M}_{U}}}{{{M}_{Pb}}}.\frac{{{2}^{-\frac{t}{4,{{47.10}^{9}}}}}}{\left( 1-{{2}^{\frac{-t}{4,{{47.10}^{9}}}}} \right)}\Leftrightarrow \frac{0,86}{0,15}=\frac{238}{206}\frac{{{2}^{\frac{-t}{4,{{47.10}^{9}}}}}}{\left( 1-{{2}^{\frac{-t}{4,{{47.10}^{9}}}}} \right)}\Rightarrow t=1,{{1839.10}^{9}}$ năm

Tỉ lệ khối lượng ${}^{40}K$ và ${}^{40}Ca$ ở thời điểm hiện tại là:

$\frac{{{m}_{K}}}{{{m}_{Ca}}}=\frac{{{M}_{K}}}{{{M}_{Ca}}}.\frac{{{2}^{-\frac{t}{1,{{25.10}^{9}}}}}}{\left( 1-{{2}^{-\frac{t}{1,{{25.10}^{9}}}}} \right)}\Leftrightarrow \frac{{{m}_{K}}}{1,6}=\frac{40}{40}.\frac{{{2}^{\frac{-1,{{1839.10}^{9}}}{1,{{25.10}^{9}}}}}}{\left( 1-{{2}^{\frac{-1,{{1839.10}^{9}}}{1,{{25.10}^{9}}}}} \right)}\Rightarrow {{m}_{K}}=1,724mg.$ Chọn A.

DẠNG 3: SỐ HẠT NHÂN PHÂN RÃ Ở HAI THỜI ĐIỂM KHÁC NHAU.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bài toán: Máy đếm xung của một chất phóng xạ, trong lần đo thứ nhất đếm được $\Delta {{N}_{1}}$ hạt nhân phân rã trong khoảng thời gian $\Delta {{t}_{1}}$. Lần đo thứ hai sau lần đo thứ nhất là t , máy đếm được $\Delta {{N}_{2}}$ phân rã trong cùng khoảng thời gian $\Delta {{t}_{2}}.$

- Phân bố số hạt nhân mẹ phóng xạ còn lại theo trục thời gian:

• 

Gọi ${{N}_{1}}$ là số hạt nhân của chất phóng xạ khi đo ở lần thứ nhất. Số phân rã trong khoảng thời gian $\Delta t$ ở lần đo đầu tiên là: $\vartriangle {{N}_{1}}={{N}_{1}}\left( 1-{{2}^{-\frac{\vartriangle {{t}_{1}}}{T}}} \right)={{N}_{1}}\left( 1-{{e}^{-\lambda .\vartriangle {{t}_{1}}}} \right).$

Gọi ${{N}_{2}}$ là số hạt nhân phóng xạ khi đo ở lần thứ hai. Số phân rã trong khoảng thời gian $\Delta t$ ở lần đo thứ hai là: $\Delta {{N}_{2}}={{N}_{2}}\left( 1-{{2}^{-\frac{\Delta {{t}_{2}}}{T}}} \right)={{N}_{2}}\left( 1-{{e}^{-\lambda .\Delta {{t}_{2}}}} \right).$

Lập tỉ số: $\frac{\Delta {{N}_{1}}}{\Delta {{N}_{2}}}=\frac{{{N}_{1}}\left( 1-{{e}^{-\lambda .\vartriangle {{t}_{1}}}} \right)}{{{N}_{2}}\left( 1-{{e}^{-\lambda .\vartriangle {{t}_{2}}}} \right)}$

Mặt khác, khi đo lần thứ 2 thì số hạt ban đầu của lần 2 chính bằng số hạt còn lại sau khi đo lần 1 một khoảng thời gian t, tức là: ${{N}_{2}}={{N}_{1}}{{.2}^{-\frac{t}{T}}}$

Do đó: $\frac{\Delta {{N}_{1}}}{\Delta {{N}_{2}}}={{2}^{\frac{t}{T}}}.\frac{1-{{e}^{-\lambda .\vartriangle {{t}_{1}}}}}{1-{{e}^{-\lambda .\vartriangle {{t}_{2}}}}}\left( 1 \right)$

Từ toán học: x rất nhỏ: $\frac{{{e}^{x}}-1}{x}\approx 1\Rightarrow {{e}^{x}}-1\approx x\Leftrightarrow {{e}^{-x}}-1\approx -x\Rightarrow 1-{{e}^{-x}}\approx x\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} 1-{{e}^{-\lambda .\vartriangle {{t}_{1}}}}\approx \lambda .\Delta {{t}_{1}} \\ {} 1-{{e}^{-\lambda .\vartriangle {{t}_{2}}}}\approx \lambda .\Delta {{t}_{2}} \\ \end{array} \right.$

$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( 2 \right)$

 Chỉ áp dụng công thức (2) khi $\Delta {{t}_{1}},\Delta {{t}_{2}}\ll t$.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP DẠNG 3

Ví dụ 23: Ban đầu, mẫu phóng xạ Côban có ${{10}^{14}}$ hạt phân rã trong ngày đầu tiên (chu kỳ bán rã là T = 4 năm). Sau 12 năm, số hạt nhân Côban phân rã trong 2 ngày là A. $2,{{7.10}^{13}}$hạt. B. $3,{{3.10}^{13}}$hạt. C. ${{5.10}^{13}}$hạt. D. $6,{{25.10}^{13}}$hạt.

Lời giải

Áp dụng:$\frac{\Delta {{N}_{1}}}{\Delta {{N}_{2}}}={{2}^{\frac{t}{T}}}.\frac{\Delta {{t}_{1}}}{\Delta {{t}_{2}}}\Leftrightarrow \frac{{{10}^{14}}}{\Delta {{N}_{2}}}={{2}^{\frac{12}{4}}}.\frac{1}{2}\Rightarrow \Delta {{N}_{2}}=2,{{5.10}^{13}}$. Chọn A.

Ví dụ 24: Để đo chu kỳ bán rã của chất phóng xạ bêta trừ người ta dùng máy “đếm xung” (khi một hạt ${{\beta }^{-}}$ rơi vào máy, trong máy xuất hiện một xung điện, khiến các số trên hệ đếm của máy tăng thêm một đơn vị). Trong một phút, máy đếm được 360 xung, nhưng hai giờ sau kể từ lúc bắt đầu phép đo lần thứ nhất, trong một phút máy chỉ đếm được 90 xung. Chu kỳ bán rã của chất phóng xạ này là A. 1 giờ. B. 2 giờ. C. 3 giờ. D. 4 giờ.

Lời giải

Áp dụng công thức: $\frac{\Delta {{N}_{1}}}{\Delta {{N}_{2}}}={{2}^{\frac{t}{T}}}.\frac{\Delta {{t}_{1}}}{\Delta {{t}_{2}}}\Leftrightarrow \frac{360}{90}={{2}^{\frac{2}{T}}}.\frac{1}{1}\Rightarrow T=1$ giờ. Chọn A.

Ví dụ 25: Một bệnh nhân điều trị bằng đồng vị phóng xạ, dùng tia để diệt tế bào bệnh. Thời gian chiếu xạ lần đầu là $\vartriangle t=20$ phút, cứ sau 1 tháng thì bệnh nhân phải tới bệnh viện khám bệnh và tiếp tục chiếu xạ. Biết đồng vị phóng xạ đó có chu kỳ bán rã T = 4 tháng (coi $\Delta t\ll T$ ) và vẫn dùng nguồn phóng xạ trong lần đầu. Hỏi lần chiếu xạ thứ 3 phải tiến hành trong bao lâu để bệnh nhân được chiếu xạ với cùng một lượng tia $\gamma $ như lần đầu? A. 40 phút. B. 24,2 phút. C. 20 phút. D. 28,3 phút.

Lời giải

Áp dụng công thức: $\frac{\Delta {{N}_{1}}}{\Delta {{N}_{2}}}={{2}^{\frac{t}{T}}}.\frac{\Delta {{t}_{1}}}{\Delta {{t}_{2}}}\left( 1 \right)$

Do lần thứ 3 được chiếu xạ với cùng một lượng tia $\gamma $ nên $\Delta {{N}_{1}}=\Delta {{N}_{2}}\Rightarrow \frac{\Delta {{N}_{1}}}{\Delta {{N}_{2}}}=1$

Do mỗi tháng 1 lần, lần 1 tính từ lần đầu tiên nên chiếu xạ lần thứ 3 thì t = 2 tháng.

Suy ra $\left( 1 \right)\Rightarrow 1={{2}^{\frac{2}{4}}}.\frac{20}{\vartriangle {{t}_{2}}}\Rightarrow \Delta {{t}_{2}}\approx 28,3$ phút. Chọn D.