Bài tập 1: [Đề THPT QG năm 2017] Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?
A. $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$. B. $y={{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1$. C. $y={{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1$. D. $y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2$. |
Lời giải chi tiết
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy
Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị nên ta loại đáp án B và C.
Mặt khác $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\infty $ nên hệ số. Chọn A.
Bài tập 2: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ.
Hàm số $y=f\left( x \right)$ là hàm số nào trong các hàm số sau: A. $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$. B. $y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2$. C. $y=-{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$. D. $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2$. |
Lời giải chi tiết
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \Rightarrow $ Hệ số $a>0$ do đó loại B và C.
Mặt khác hàm số đạt cực trị tại $x=0,\,x=2$ nên loại D. Chọn A.
Bài tập 3: Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?
A. $y={{x}^{3}}-4x+1$. B. $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1$. C. $y={{x}^{3}}-4x-1$. D. $y=-{{x}^{3}}+4x+1$. |
Lời giải chi tiết
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $\left( 0;d \right)\Rightarrow d>0$ nên ta loại đáp án C
$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \Rightarrow a>0$ nên ta loại đáp án D.
Mặt khác hàm số đạt cực trị tại hai điểm ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}$ dựa vào hình vẽ ta thấy ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}$ trái dấu nên đáp án ta loại đáp án B. Chọn A.
Bài tập 4: Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
A. $y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1$. B. $y=-{{x}^{3}}+3x+1$. C. $y={{x}^{3}}-3x+1$. D. $y=-{{x}^{3}}-3x+1$. |
Lời giải chi tiết
Hàm số có hệ số $a<0$ do $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\infty $ nên loại đáp án C.
Hàm số có 2 điểm cực trị ${{x}_{1}}<0<\,{{x}_{2}}$ nên ${y}'=0$ có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.
Xét đáp án A. $y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1\Rightarrow {y}'=-3{{x}^{2}}+6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=2 \\ \end{array} \right.$ (loại).
Xét đáp án D. $y=-{{x}^{3}}-3x+1\Rightarrow {y}'=-3{{x}^{2}}-3x<0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$ (loại). Chọn B.
Bài tập 5: Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$.
Khẳng định nào sau đây là đúng? A. $a>0,\,b<0,\,c>0,\,d>0$. B. $a>0,\,b<0,\,c<0,\,d>0$. C. $a>0,\,b>0,\,c<0,\,d>0$. D. $a>0,\,b>0,\,c>0,\,d<0$. |
Lời giải chi tiết
Dựa vào đồ thị ta thấy: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \Rightarrow a>0$; đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( 0;d \right)\Rightarrow d>0$.
Hàm số đạt cực trị tại hai điểm ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ dựa vào hình vẽ ta thấy ${{x}_{1}}>0,\,\,{{x}_{2}}>0$
Mặt khác: ${y}'=3a{{x}^{2}}+2bx+c\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-2b}{3a}>0\xrightarrow{a>0}b<0 \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{3a}>0\xrightarrow{a>0}c>0 \\ \end{array} \right.$. Chọn A.
Bài tập 6: Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$.
Khẳng định nào sau đây là đúng? A. $a>0,\,b<0,\,c>0,\,d>0$. B. $a>0,\,b<0,\,c<0,\,d>0$. C. $a>0,\,b>0,\,c<0,\,d>0$. D. $a<0,\,b>0,\,c>0,\,d<0$. |
Lời giải chi tiết
Dựa vào đồ thị ta thấy: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \Rightarrow a>0$; đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( 0;d \right)\Rightarrow d>0$.
Hàm số đạt cực trị tại hai điểm ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ dựa vào hình vẽ ta thấy ${{x}_{1}}<0,\,\,{{x}_{2}}>0$ và ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}>0$
Mặt khác: ${y}'=3a{{x}^{2}}+2bx+c\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-2b}{3a}>0\xrightarrow{a>0}b<0 \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{3a}<0\xrightarrow{a>0}c<0 \\ \end{array} \right.$. Chọn B.
Bài tập 7: Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$.
Khẳng định nào sau đây là đúng? A. $a<0,\,b<0,\,c>0,\,d<0$. B. $a>0,\,b>0,\,c<0,\,d<0$. C. $a<0,\,b<0,\,c<0,\,d<0$. D. $a<0,\,b>0,\,c<0,\,d<0$. |
Lời giải chi tiết
Dựa vào đồ thị ta thấy: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\infty \Rightarrow a<0$; đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( 0;d \right)\Rightarrow d<0$.
Hàm số đạt cực trị tại hai điểm ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ dựa vào hình vẽ ta thấy ${{x}_{1}}>0,\,\,{{x}_{2}}>0$
Mặt khác: ${y}'=3a{{x}^{2}}+2bx+c\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-2b}{3a}>0\xrightarrow{a<0}b>0 \\ {} {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{3a}>0\xrightarrow{a<0}c<0 \\ \end{array} \right.$. Chọn D.
Bài tập 8: Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$.
Khẳng định nào sau đây là đúng? A. $a>0,\,b=0,\,c>0,\,d>0$. B. $a<0,\,b=0,\,c>0,\,d>0$. C. $a<0,\,b<0,\,c=0,\,d>0$. D. $a<0,\,b>0,\,c=0,\,d>0$. |
Lời giải chi tiết
Dựa vào đồ thị ta thấy: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\infty \Rightarrow a<0$ (loại đáp án A).
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $\left( 0;d \right)\Rightarrow d>0$
Hàm số có 2 điểm cực trị trong đó $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}=0 \\ {} {{x}_{2}}<0 \\ \end{array} \right.$ nên ${y}'=0$ có 2 nghiệm thỏa mãn $\left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}=0 \\ {} {{x}_{2}}<0 \\ \end{array} \right.$.
Ta có: ${y}'=3a{{x}^{2}}+2bx+c\Rightarrow {y}'\left( 0 \right)=0\Rightarrow c=0\Rightarrow {{x}_{2}}=\frac{-2b}{3a}<0\Rightarrow b<0$. Chọn C.
Bài tập 9: Cho hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có các điểm cực trị thỏa mãn ${{x}_{1}}\in \left( -1;0 \right),\,\,{{x}_{2}}\in \left( 1;2 \right)$. Biết hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right)$ đồng thời đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. $a<0,\,b>0,\,c<0,\,d<0$. B. $a<0,\,b<0,\,c>0,\,d<0$. C. $a>0,\,b>0,\,c>0,\,d<0$. D. $a<0,\,b>0,\,c>0,\,d<0$. |
Lời giải chi tiết
Dựa vào giả thiết, ta có các nhận xét sau:
- Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ âm $\Rightarrow f\left( 0 \right)=d<0$
- Hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right)\Rightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)\Rightarrow {{x}_{1}}$ là điểm cực tiểu và ${{x}_{2}}$ điểm cực đại $\Rightarrow {{x}_{CT}}<{{x}_{C\tilde{N}}}\Rightarrow $ hệ số $a<0$.
- Ta có ${f}'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$ có hai nghiệm ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}$ thỏa mãn tổng ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-2b}{3a}>0\Rightarrow b>0$ và tích hai nghiệm ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{3a}<0\Rightarrow c>0$ vì $\left\{ \begin{array} {} -1<{{x}_{1}}<0 \\ {} 1<{{x}_{2}}<2 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array} {} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}>0 \\ {} {{x}_{1}}.{{x}_{2}}<0 \\ \end{array} \right.$. Chọn D.
TOÁN LỚP 12