Bài tập mũ logarit lũy thừa vận dụng cao có đáp án chi tiết - Tự Học 365

Bài tập mũ logarit lũy thừa vận dụng cao có đáp án chi tiết

Bài tập mũ logarit lũy thừa vận dụng cao có đáp án chi tiết

Bài tập mũ logarit lũy thừa vận dụng cao - khó có đáp án chi tiết

Ở phần này ta xét một số Bài tập ở mức độ vận dụng, chúng ta sẽ nghiên cứu sâu hơn về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số mũ và logarit ở các chủ đề sau.

Một số bài tập trắc nghiệm VDC chương 2 lớp 12 có Lời giải chi tiết

Bài tập 1:[Đề thi thử nghiệm Bộ giáo dục 2017] Xét các số thực $a,b$ thỏa mãn $a>b>1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất ${{P}_{\min }}$ của biểu thức $P=\log _{\frac{a}{b}}^{2}\left( {{a}^{2}} \right)+3{{\log }_{b}}\left( \frac{a}{b} \right).$

A. ${{P}_{\min }}=19.$ B. ${{P}_{\min }}=16.$ C. ${{P}_{\min }}=14.$ D. ${{P}_{\min }}=15.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $P={{\left( 2{{\log }_{\frac{a}{b}}}a \right)}^{2}}+3\left( {{\log }_{b}}a-1 \right)=\frac{4}{{{\left( {{\log }_{a}}\frac{a}{b} \right)}^{2}}}+\frac{3}{{{\log }_{a}}b}-3=\frac{4}{{{\left( 1-{{\log }_{a}}b \right)}^{2}}}+\frac{3}{{{\log }_{a}}b}-3$

Đặt $t={{\log }_{a}}b$ (Do $a>b>1\Rightarrow 0<t<1).$ Xét $f\left( t \right)=\frac{4}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}+\frac{3}{t}-3$

Khi đó $f'\left( t \right)=\frac{-8}{{{\left( t-1 \right)}^{3}}}-\frac{3}{{{t}^{2}}}=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{3}.$ Ta có: $\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=\underset{t\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=+\infty ;f\left( \frac{1}{3} \right)=15$

Do đó ${{P}_{\min }}=15.$ Chọn D.

Bài tập 2: Cho các số thực dương $1>a>b>0.$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=-3{{\log }_{{{a}^{4}}}}\frac{a}{b}+\log _{b}^{2}\left( ab \right).$

A. ${{P}_{\min }}=3$ B. ${{P}_{\min }}=4$ C. ${{P}_{\min }}=\frac{5}{2}$ D. ${{P}_{\min }}=\frac{3}{2}$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $P=-\frac{3}{4}{{\log }_{a}}\frac{a}{b}+{{\left( {{\log }_{b}}\left( ab \right) \right)}^{2}}=\frac{-3}{4}\left( 1-{{\log }_{a}}b \right)+{{\left( {{\log }_{b}}a+1 \right)}^{2}}$

Đặt $t={{\log }_{b}}a$ $\left( 0<t<1 \right)$ ta có: $P=\frac{-3}{4}\left( 1-\frac{1}{t} \right)+{{\left( t+1 \right)}^{2}}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4t}+{{t}^{2}}+2t=f\left( t \right)$

Khi đó $f'\left( t \right)=\frac{-3}{4{{t}^{2}}}+2t+2=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}.$ Lại có $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=+\infty ;\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=4;f\left( \frac{1}{2} \right)=3$

Do đó ${{P}_{\min }}=3$ khi $t=\frac{1}{2}.$ Chọn A.

Bài tập 3: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2017] Xét các số thực dương $a,b$ thỏa mãn

${{\log }_{2}}\frac{1-ab}{a+b}=2ab+a+b-3.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=a+2b.$

A. ${{P}_{\min }}=\frac{2\sqrt{10}-3}{2}.$ B. ${{P}_{\min }}=\frac{2\sqrt{10}-5}{2}.$ C. ${{P}_{\min }}=\frac{3\sqrt{10}-7}{2}.$ D. ${{P}_{\min }}=\frac{2\sqrt{10}-1}{2}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${{\log }_{2}}\frac{1-ab}{a+b}=2ab+a+b-3\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 1-ab \right)-{{\log }_{2}}\left( a+b \right)=2ab-2+a+b-1$

$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( 1-ab \right)+1+2\left( 1-ab \right)={{\log }_{2}}\left( a+b \right)+a+b\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left[ 2\left( 1-ab \right) \right]+2\left( 1-ab \right)={{\log }_{2}}\left( a+b \right)+a+b$

Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t$ $\left( t>0 \right)$ ta có: ${f}'\left( t \right)=\frac{1}{t\ln 2}+1>0$ $\left( \forall t>0 \right)$ nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right).$ Khi đó $f\left[ 2\left( 1-ab \right) \right]=f\left( a+b \right)\Leftrightarrow 2\left( 1-ab \right)=a+b.$

Suy ra $2ab+a+b=2\Rightarrow a=\frac{2-b}{1+2b}\Rightarrow P=\frac{2-b}{1+2b}+2b\Rightarrow P'=\frac{-5}{{{\left( 1+2b \right)}^{2}}}+2=0\Rightarrow b=\frac{1}{2}\left( \sqrt{\frac{5}{2}}-1 \right)$

Khi đó ${{P}_{\min }}=\frac{2\sqrt{10}-3}{2}.$ Chọn A.

Bài tập 4: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2017] Xét các số thực dương $x,y$ thỏa mãn

${{\log }_{3}}\frac{1-xy}{x+2y}=3xy+x+2y-4.$ Tìm giá trị nhỏ nhất ${{P}_{\min }}$ của $P=x+y$

A. ${{P}_{\min }}=\frac{9\sqrt{11}-19}{9}.$ B. ${{P}_{\min }}=\frac{2\sqrt{11}-3}{3}.$ C. ${{P}_{\min }}=\frac{18\sqrt{11}-29}{21}.$ D. ${{P}_{\min }}=\frac{9\sqrt{11}+19}{9}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${{\log }_{3}}\frac{1-xy}{x+2y}=3xy+x+2y-4\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 1-xy \right)-{{\log }_{3}}\left( x+2y \right)+3-3xy+1=x+2y$

$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}3\left( 1-xy \right)+3-3xy={{\log }_{3}}\left( x+2y \right)+x+2y.$

Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{3}}t+t$ $\left( t>0 \right)$ ta có: ${f}'\left( t \right)=\frac{1}{t\ln 3+1}>0$ $\left( \forall t>0 \right)$ nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right).$ Do đó $f\left( 3-3xy \right)=f\left( x+2y \right)\Leftrightarrow 3-3xy=x+2y$

Khi đó $x\left( 1+3y \right)=3-2y\Rightarrow P=y+\frac{3-2y}{1+3y}\Rightarrow P'\left( y \right)=1-\frac{11}{{{\left( 1+3y \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow y=\frac{-1+\sqrt{11}}{3}$ (do $y>0).$

Từ đó suy ra ${{P}_{\min }}=P\left( \frac{-1+\sqrt{11}}{3} \right)=\frac{2\sqrt{11}-3}{3}.$ Chọn B.

Bài tập 5: Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn ${{\log }_{4}}\left( x+y \right)+{{\log }_{4}}\left( x-y \right)\ge 1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất ${{P}_{Min}}$ của $P=2x-y$

A. ${{P}_{\min }}=4.$ B. ${{P}_{\min }}=-4.$ C. ${{P}_{\min }}=2\sqrt{3}.$ D. ${{P}_{\min }}=\frac{10\sqrt{3}}{3}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${{\log }_{4}}\left( x+y \right)+{{\log }_{4}}\left( x-y \right)\ge 1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-{{y}^{2}}\ge 4\Rightarrow x\ge \sqrt{{{y}^{2}}+4}$

Do đó $P\ge 2\sqrt{{{y}^{2}}+4}-y=f(y).$ . Khi đó $P'=\frac{2y}{\sqrt{{{y}^{2}}+4}}-1=0\xrightarrow{y>0}y=\frac{2}{\sqrt{3}}$

Suy ra ${{P}_{\min }}=2\sqrt{3}.$ Chọn C.

Bài tập 6: Cho hai số thực dương $x,y$ thay đổi thỏa mãn hệ thức $3+\ln \frac{x+y+1}{3xy}=9xy-3x-3y.$ Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ của biểu thức $P=xy.$

A. $m=\frac{1}{3}.$ B. $m=1.$ C. $m=\frac{1}{2}.$ D. $m=0.$

Lời giải chi tiết:

Từ giả thiết, ta có $3+\ln \frac{x+y+1}{3xy}=9xy-3x-3y\Leftrightarrow 3+\ln \left( x+y+1 \right)-\ln \left( 3xy \right)=9xy-3x-3y$

$\Leftrightarrow \ln \left( x+y+1 \right)+3\left( x+y+1 \right)=\ln \left( 3xy \right)+3\left( 3xy \right)\Leftrightarrow f\left( x+y+1 \right)=f\left( 3xy \right)\left( * \right)$

Xét hàm số $f\left( t \right)=\ln t+3t$ với $t>0,$ ta có $f'\left( t \right)=3+\frac{1}{t}>0;\forall t>0\Rightarrow f\left( t \right)$ là hàm số đồng biến.

Khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow x+y+1=3xy\Leftrightarrow 3xy-1=x+y\underbrace{\ge }_{AM-GM}2\sqrt{xy}\Leftrightarrow 3xy-2\sqrt{xy}-1\ge 0.$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt{xy}-1 \right)\left( 3\sqrt{xy}+1 \right)\ge 0\Leftrightarrow \sqrt{xy}\ge 1\Leftrightarrow xy\ge 1\Rightarrow {{P}_{\min }}=1\Rightarrow m=1.$ Chọn B.

Bài tập 7: Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn $a>1,b>1.$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{27}{2}{{\left( 2.lo{{g}_{ab}}a+{{\log }_{ab}}b \right)}^{2}}+4{{\log }_{a}}ab.$

A. ${{P}_{\min }}=36.$ B. ${{P}_{\min }}=24.$ C. ${{P}_{\min }}=32.$ D. ${{P}_{\min }}=48.$

Lời giải chi tiết:

Ta có $P=\frac{27}{2}{{\left( 2.lo{{g}_{ab}}a+{{\log }_{ab}}b \right)}^{2}}+4{{\log }_{a}}ab=\frac{27}{2}{{\left( \frac{2}{{{\log }_{a}}ab}+\frac{1}{{{\log }_{b}}ab} \right)}^{2}}+4.{{\log }_{a}}b+4.$

Đặt $t={{\log }_{a}}b$ $\left( t>0 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{b}}a=\frac{1}{t},$ khi đó $P=\frac{27}{2}.{{\left( \frac{2}{t+1}+\frac{t}{t+1} \right)}^{2}}+4t+4=\frac{27}{2}.{{\left( \frac{t+2}{t+1} \right)}^{2}}+4t+4.$

Xét hàm số $f\left( t \right)=\frac{27}{2}.{{\left( \frac{t+2}{t+1} \right)}^{2}}+4t$ với $t\in \left( 0;+\infty \right)$

Ta có $f'\left( t \right)=\frac{\left( t-2 \right){{\left( 2t+5 \right)}^{2}}}{{{\left( t+1 \right)}^{3}}};f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=2.$

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng $f\left( t \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $f\left( 2 \right)=32\Rightarrow {{P}_{\min }}=36.$

Chọn A.

Bài tập 8: Cho hai số thực $a,b$ thỏa mãn các điều kiện ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}>1$ và ${{\log }_{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\left( a+b \right)\ge 1.$ Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=2a+4b-3$ là:

A. $\sqrt{10}$ B. $\frac{1}{\sqrt{10}}$ C. $\frac{1}{2}\sqrt{10}$ D. $2\sqrt{10}$

Lời giải chi tiết:

Do ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}>1$ và ${{\log }_{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\left( a+b \right)\ge 1$ nên $a+b\ge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( a-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( b-\frac{1}{2} \right)}^{2}}\le \frac{1}{2}\left( 1 \right)$

Ta có: $a+2b=\left[ \left( a-\frac{1}{2} \right)+2\left( b-\frac{1}{2} \right) \right]+\frac{3}{2}\left( 2 \right)$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho hai dãy số $a-\frac{1}{2},b-\frac{1}{2}$ và $1,2$ ta có:

$\left[ {{\left( a-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( b-\frac{1}{2} \right)}^{2}} \right]\left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}} \right)\ge {{\left[ \left( a-\frac{1}{2} \right)+2\left( b-\frac{1}{2} \right) \right]}^{2}}$

$\Leftrightarrow 5\left[ {{\left( a-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( b-\frac{1}{2} \right)}^{2}} \right]\ge {{\left( a+2b-\frac{3}{2} \right)}^{2}}\text{ }\left( 3 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 3 \right)$ ta có: $5.\frac{1}{2}\ge {{\left( a+2b-\frac{3}{2} \right)}^{2}}\Rightarrow a+2b-\frac{3}{2}\le \frac{\sqrt{10}}{2}\Leftrightarrow 2a+4b-3\le \sqrt{10}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{align} & \frac{a-\frac{1}{2}}{1}=\frac{b-\frac{1}{2}}{2} \\ & {{\left( a-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( b-\frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{2} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=\frac{5+\sqrt{10}}{10} \\ & b=\frac{5+2\sqrt{10}}{10} \\ \end{align} \right..$ Chọn A.

Bài tập 9: Xét các số thực $a,b$ thỏa mãn $a\ge b>1.$ Biết rằng biểu thức $P=\frac{1}{{{\log }_{ab}}a}+\sqrt{{{\log }_{a}}\frac{a}{b}}$ đạt giá trị lớn nhất khi $b={{a}^{k}}.$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $k\in \left( 0;\frac{3}{2} \right).$ B. $k\in \left( -1;0 \right).$ C. $k\in \left( \frac{3}{2};2 \right).$ D. $k\in \left( 2;3 \right).$

Lời giải chi tiết:

Với điều kiện $a\ge b>1$ và $b={{a}^{k}}\Rightarrow k={{\log }_{a}}b\Rightarrow k\in \left( 0;1 \right].$

Với $b={{a}^{k}}$ thế vào biểu thức $P$, ta được $P={{\log }_{a}}ab+\sqrt{{{\log }_{a}}\frac{a}{b}}=1+{{\log }_{a}}b+\sqrt{1-{{\log }_{a}}b}$

$\Rightarrow P=1+{{\log }_{a}}{{a}^{k}}+\sqrt{1-{{\log }_{a}}{{a}^{k}}}=1+k+\sqrt{1-k}.$ Khi đó ${{P}_{\max }}\Leftrightarrow {{\left\{ f\left( k \right)=1+k+\sqrt{1-k} \right\}}_{\max }}.$

Xét hàm số $f\left( k \right)$ trên khoảng $\left( 0;1 \right],$ ta có $f'\left( k \right)=1-\frac{1}{2\sqrt{1-k}};f'\left( k \right)=0\Leftrightarrow k=\frac{3}{4}.$

Vậy giá trị lớn nhất của $f\left( k \right)$ bằng $f\left( \frac{3}{4} \right)=\frac{9}{4}.$ Dấu = xảy ra khi $k=\frac{3}{4}\in \left( 0;\frac{3}{2} \right).$ Chọn A.

Bài tập 10: Cho $x,y>0$ thỏa mãn ${{\log }_{3}}{{\left[ \left( x+1 \right)\left( y+1 \right) \right]}^{y+1}}=9-\left( x-1 \right)\left( y+1 \right).$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+2y.$

A. ${{P}_{\min }}=\frac{11}{2}.$ B. ${{P}_{\min }}=\frac{27}{5}.$ C. ${{P}_{\min }}=\frac{-1+6\sqrt{3}}{2}.$ D. ${{P}_{\min }}=-3+6\sqrt{2}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${{\log }_{3}}{{\left[ \left( x+1 \right)\left( y+1 \right) \right]}^{y+1}}=9-\left( x-1 \right)\left( y+1 \right)\Leftrightarrow \left( y+1 \right){{\log }_{3}}\left[ \left( x+1 \right)\left( y+1 \right) \right]=9-\left( x-1 \right)\left( y+1 \right)$

$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+{{\log }_{3}}\left( y+1 \right)=\frac{9}{y+1}-\left( x-1 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x+1=2-{{\log }_{3}}\left( y+1 \right)+\frac{9}{y+1}$

$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x+1={{\log }_{3}}\left( \frac{9}{y+1} \right)+\frac{9}{y+1}$

Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{3}}t+t\left( t\in \left( 0;+\infty \right) \right)$ ta có: $f'\left( t \right)=\frac{1}{t\ln 3}+1>0\left( \forall t\in \left( 0;+\infty \right) \right).$

Do đó hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right).$

Khi đó $f\left( x+1 \right)=f\left( \frac{9}{y+1} \right)\Leftrightarrow x+1=\frac{9}{y+1}\Rightarrow P=\frac{9}{y+1}-1+2y=2\left( y+1 \right)+\frac{9}{y+1}-3$

Mặt khác $2\left( y+1 \right)+\frac{9}{y+1}\ge 2\sqrt{2\left( y+1 \right).\frac{9}{y+1}}=6\sqrt{2}\Rightarrow {{P}_{\min }}=6\sqrt{2}-3.$ Chọn D.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12