Bài tập 1: Tính thể tích khối cầu có diện tích bằng diện tích xung quanh của hình lập phương cạnh a.
A. $\frac{{{a}^{3}}}{6\sqrt{\pi }}$ B. $\frac{32{{a}^{3}}}{3\sqrt{\pi }}$ C. $\frac{{{a}^{3}}}{\sqrt{\pi }}$ D. $\frac{4{{a}^{3}}}{3\sqrt{\pi }}$ |
Lời giải chi tiết
Diện tích xung quanh hình lập phương cạnh a là ${{S}_{xq}}=4{{a}^{2}}\xrightarrow{{}}{{S}_{mc}}=4{{a}^{2}}$
Suy ra bán kính mặt cầu là $4\pi {{R}^{2}}=4{{a}^{2}}\Leftrightarrow {{R}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{\pi }\Rightarrow R=\frac{a}{\sqrt{\pi }}$
Vậy thể tích khối cầu cần tính là $V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{2}}=\frac{4{{a}^{3}}}{3\sqrt{\pi }}.$ Chọn D.
Bài tập 2: Cho mặt cầu $S\left( O;R \right)$và mặt phẳng$\left( \alpha \right)$. Biết khoảng cách từ O đến $\left( \alpha \right)$bằng$\frac{R}{2}$. Khi đó thiết diện tạo bởi mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ với $S\left( O;R \right)$là một đường tròn đường kính bằng
A. $R.$ B. $R\sqrt{3}.$ C. $\frac{R}{2}.$ D. $\frac{R\sqrt{3}}{2}.$ |
Lời giải chi tiết
Hình vẽ tham khảo
Gọi H là hình chiếu của O xuống mp$\left( \alpha \right)$. Ta có $d\left( O;\left( \alpha \right) \right)=OH=\frac{R}{2}<R$ nên $\left( \alpha \right)$ cắt $S\left( O;R \right)$ theo đường tròn $C\left( H;r \right)$. Bán kính đường tròn $C\left( H;r \right)$ là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\frac{R\sqrt{3}}{2}.$
Suy ra dường kính của đường tròn cần tính bằng $\frac{R\sqrt{3}}{2}.$ Chọn B.
Bài tập 3: Cho mặt cầu $S\left( O;R \right)$và một điểm A thỏa mãn $OA=2R.$ Qua A kẻ đường thẳng cắt $\left( S \right)$ tại hai điểm B, C sao cho $BC=R\sqrt{3}.$ Khoảng cách từ O đến BC bằng
A. $R.$ B. $\frac{R}{2}.$ C. $R\sqrt{2}.$ D. $R\sqrt{3}.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi H là hình chiếu của O lên BC.
Ta có $OB=OC=R,$ suy ra H là trung điểm của BC nên $HC=\frac{CD}{2}=\frac{R\sqrt{3}}{2}.$
Suy ra $OH=\sqrt{O{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}}=\frac{R}{2}.$ Chọn B.
Bài tập 4: Cho hình cầu tâm O, đường kính $AA'=4.$ Gọi H là một điểm trên đoạn $AA'$ sao cho $AH=\frac{8}{3}.$ Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua H và vuông góc với $AA'$cắt hình cầu theo đường tròn $\left( C \right)$. Tính diện tích của đường tròn $\left( C \right)$.
A. $\frac{32\pi }{9}.$ B. $\frac{8\pi }{9}.$ C. $\frac{8\pi }{3}.$ D. $\frac{32\pi }{3}.$ |
Lời giải chi tiết
Theo giả thiết, ta có $AH=\frac{8}{3}.$ Ta suy ra $OH=AH-OA=\frac{2}{3}.$
Gọi $r'$ là bán kính của đường tròn $\left( C \right)$. Ta có $r{{'}^{2}}={{r}^{2}}-O{{H}^{2}}={{2}^{2}}-{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2}}=\frac{32}{9}.$
Vậy diện tích cùa đường tròn$\left( C \right)$ là $S=\pi r{{'}^{2}}=\frac{32\pi }{9}.$ Chọn A.
Bài tập 5: Diện tích hình tròn lớn của một hình cầu là $4\pi .$ Một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt hình cầu theo một hình tròn có diện tích là $2\pi .$ Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ bằng
A. $\frac{\sqrt{2}}{4}.$ B. $1.$ C. $\frac{\sqrt{2}}{2}.$ D. $\sqrt{2}.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng là d, ta có ${{d}^{2}}={{R}^{2}}-{{r}^{2}}.$
Hình tròn lớn của hình cầu S là hình tròn tạo bởi mặt phẳng cắt hình cầu và đi qua tâm của hình cầu.
Gọi R là bán kính hình cầu thì hình tròn lớn cũng có bán kính là R .
Theo giả thiết, ta có $\pi {{R}^{2}}=4\pi \Leftrightarrow R=2$và $\pi {{r}^{2}}=2\pi \Leftrightarrow r=\sqrt{2}$.
Suy ra $d=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}-{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{2}.$ Chọn D.
Bài tập 6: Cho mặt cầu $S\left( O;R \right)$, A là một điểm ở trên mặt cầu $\left( S \right)$ và $\left( P \right)$là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng ${{60}^{0}}.$ Diện tích của đường tròn giao tuyến bằng
A. $\frac{3\pi {{R}^{2}}}{4}.$ B. $\pi {{R}^{2}}.$ C. $\frac{\pi {{R}^{2}}}{4}.$ D. $\frac{\pi {{R}^{2}}}{2}.$ |
Lời giải chi tiết
Hình vẽ tham khảo
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên $\left( P \right)$ thì
H là tâm của đường tròn giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( S \right)$.
$\widehat{\left( OA;\left( P \right) \right)}=\widehat{\left( OA;AH \right)}={{60}^{0}}.$
Bán kính của đường tròn giao tuyến $r=HA=OA.cos{{60}^{0}}=\frac{R}{2}.$
Suy ra diện tích dường tròn giao tuyến $\pi {{r}^{2}}=\pi {{\left( \frac{R}{2} \right)}^{2}}=\frac{\pi {{R}^{2}}}{4}.$ Chọn C.
Bài tập 7: Cho mặt cầu $S\left( I;R \right)$, mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt mặt cầu$\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn tâm O. Hai điểm $A,B\in O$ sao cho tam giác OAB đều, góc giữa hai mặt phẳng $\left( IAB \right)$ và $\left( OAB \right)$bằng ${{60}^{0}},$ diện tích tam giác IAB bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}.$ Bán kính R bằng
A. $R=\frac{3}{2}.$ B. $R=\frac{\sqrt{2}}{2}.$ C. $R=\frac{\sqrt{13}}{2}.$ D. $R=\frac{\sqrt{5}}{2}.$ |
Lời giải chi tiết
Đặt $OA=OB=x.$ Tam giác OAB là tam giác đều
${{S}_{\Delta OAB}}=\frac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{4}.$ Mặt phẳng $\left( OAB \right)$ là hình chiếu của mặt phẳng $\left( IAB \right)$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$.
${{S}_{\Delta OAB}}={{S}_{\Delta IAB}}.cos\varphi $ với $\varphi =\widehat{\left( IAB \right);\left( OAB \right)}={{60}^{0}}$.
${{S}_{\Delta OAB}}=\frac{{{S}_{\Delta IAB}}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow x=1.$
Gọi M là trung điểm của AB $\Rightarrow \widehat{IMO}={{60}^{0}}\Rightarrow IO=\frac{3}{2}.$
Vậy $R=IA=\sqrt{I{{O}^{2}}+A{{O}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{1}^{2}}}=\frac{\sqrt{13}}{2}.$ Chọn C.
Bài tập 8: Cho mặt cầu $\left( S \right)$ tâm I, bán kính R. Ba mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right),\left( R \right)$ qua điểm A không nằm trên mặt cầu, đôi một vuông góc với nhau cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo thiết diện là ba hình tròn có tổng diện tích bằng $12\pi \text{ }c{{m}^{3}}.$ Biết $IA=\sqrt{3}\text{ }cm,$ tính độ dài bán kính R của mặt cầu $\left( S \right)$.
A. $r=2\sqrt{3}.$ B. $r=\sqrt{5}.$ C. $r=\sqrt{3}.$ D. $r=2.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi $a,b,c$ lần lượt là khoảng cách từ I đến mặt phẳng $\left( P \right),\left( Q \right),\left( R \right)$.
Gọi ${{r}_{1}},{{r}_{2}},{{r}_{3}}$ lần lượt là bán kính đường tròn giao tuyến của mặt cầu $\left( S \right)$ với $\left( P \right),\left( Q \right),\left( R \right)$.
Khi đó ${{R}^{2}}={{a}^{2}}+r_{1}^{2};{{R}^{2}}={{b}^{2}}+r_{2}^{2};{{R}^{2}}={{c}^{2}}+r_{3}^{2}\Rightarrow 3{{R}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+\left( r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2} \right)\text{ (*)}\text{.}$
Mà ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=I{{A}^{2}};{{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}=\pi \left( r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2} \right).$
Suy ra (*)$\Leftrightarrow 3{{R}^{2}}=I{{A}^{2}}+\frac{{{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}}{\pi }=3+12=15\Rightarrow R=\sqrt{5}.$ Chọn B.
TOÁN LỚP 12