Bài tập 1: Cho hình trụ có chiều cao bằng 4 nội tiếp trong hình cầu bán kính bằng 3. Tính thể tích V của khối trụ này
A. 4π. B. 8π. C. 12π. D. 20π. |
Lời giải chi tiết
Gọi r, h, R lần lượt là bán kính đáy hình trụ, chiều cao hình trụ và bán kính của hình cầu. Theo hình vẽ, ta được IA2=IO2+OA2
→ (công thức tổng quát bài toán trụ nội tiếp cầu)
Với h=4,R=3→32=r2+424⇒r=√5
Vậy thể tích khối trụ là V=πr2h=20π.Chọn D.
Bài tập 2: Hình trụ (T) có bán kính đáy bằng 3a, chiều cao bằng 8a có hai đáy nằm trên mặt cầu (S). Thể tích của khối cầu bằng
A. 125πa3 B. 25πa3. C. 500πa33. D. 375πa34. |
Lời giải chi tiết
Áp dụng công thức tổng quát bài toán trụ nội tiếp cầu, ta được
R2=r2+h24=(3a)2+(8a)24=9a2+16a2=25a2→R=5a
Vậy thể tích khối cầu là V=43πR3=500πa33. Chọn C.
Bài tập 3: Một quả cầu có thể tích 256π3cm3được đặt vào trong một chiếc cốc có dạng hình trụ với đường kính đáy là 6 cm như hình vẽ. Phần nhô ra khỏi chiếc cốc của quả cầu bằng (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
A. 2,21 cm. B. 2,38 cm. C. 4,52 cm. D. 6,65 cm. |
Lời giải chi tiết
Yêu cầu bài toán ⇔h0=TB (hình vẽ bên)
Thể tích khối cầu là V=43πR3=256π3⇔R=4cm
Bán kính đáy của hình trụ là r=d2=3cm
Tam giác MBO vuông tại B, có OB=√OM2−BM2=√7
Do đó TB=TO+OB=4+√7≈6,65cm.Chọn D.
Bài tập 4: Cho mặt cầu (S) có bán kính R không đổi (cho trước). Một hình trụ có chiều cao h và bán kính r thay đổi nội tiếp mặt cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho diện tích xung quanh của hình trụ lớn nhất.
A. h=R√2. B. h=R C. h=2R D. h=R2 |
Lời giải chi tiết
Gọi I là trung điểm OO′⇒I là tâm mặt cầu
Tam giác IAO có r2=R2−h24=12√4R2−h2
Ta có Sxq=2πRh=πh.√4R2−h2
=π√h2⏟a.(4R2−h2)⏟bCo−si≤π.h2+(4R2−h2)2
Suy ra Sxq≤2πR2→Smax=2πR2.
Dấu bằng xảy ra khi h2=4R2−h2⇔h=R√2. Chọn A.
Bài tập 5: Cho mặt cầu (S) có bán kính R không đổi (cho trước). Một hình trụ có chiều cao h và bán kính r thay đổi nội tiếp mặt cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho thể tích khối trụ lớn nhất.
A. h=R√22. B. h=2R√33. C. h=R√32. D. h=R√2. |
Lời giải chi tiết
Gọi I là trung điểm OO′⇒I là tâm mặt cầu
Tam giác IAO có r2=R2−h24=12√4R2−h2
Ta có V=πr2h=πh.(R2−h24)=f(h)
Xét hàm số f(h)có f′(h)=πR2−3π4h2=0⇔h=2R√33.
Lập bảng biến thiên ⇒Vmax khi h=2R√33. Chọn B.
TOÁN LỚP 12