Bài tập liên quan đến công thức diện tích, thể tích mặt nón hình nón khối nón có đáp án chi tiết

Bài tập liên quan đến công thức diện tích, thể tích mặt nón hình nón khối nón có đáp án

Dưới đây là bài tập trắc nghiệm liên quan đến công thức diện tích và thể tích của các hình nón có đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết

Độ dài đường sinh $l=\sqrt{{{R}^{2}}+{{h}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=5$

Vậy diện tích xung quanh hình nón là ${{S}_{xq}}=\pi Rl=15\pi $. Chọn C

Lời giải chi tiết

Theo giả thiết, ta có $\left\{ \begin{array}  {} R=4 \\  {} {{S}_{xq}}=20\pi  \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} R=4 \\  {} \pi Rl=20\pi  \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} R=4 \\  {} l=5 \\ \end{array} \right.$

Lại có: ${{l}^{2}}={{h}^{2}}+{{R}^{2}}\to h=\sqrt{{{l}^{2}}-{{R}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}-{{4}^{2}}=3}$

Vậy thể tích khối nón (N) là ${{V}_{\left( N \right)}}=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\frac{\pi }{3}{{.4}^{2}}.3=16\pi $

Chọn D

Lời giải chi tiết

Diện tích xung quanh hình nón là ${{S}_{xq}}=\pi Rl=2\pi \leftrightarrow Rl=2$

Diện tích toàn phần hình nón là ${{S}_{tp}}=\pi Rl+\pi {{R}^{2}}=3\pi \leftrightarrow Rl+{{R}^{2}}=3$

Do đó $\left\{ \begin{array}  {} Rl=2 \\  {} Rl+{{R}^{2}}=3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{R}^{2}}=1 \\  {} Rl=2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} R=1 \\  {} l=2 \\ \end{array} \right.\to h=\sqrt{{{l}^{2}}-{{R}^{2}}}=\sqrt{3}$

Vậy thể tích khối nón (N) là ${{V}_{\left( N \right)}}=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\frac{\pi }{3}{{.1}^{2}}.\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\pi $

Chọn A

Lời giải chi tiết

Vì góc ở đỉnh của hình nón bằng 60° $l=2R=4\Rightarrow R=2$

Ta có ${{h}^{2}}+{{R}^{2}}={{l}^{2}}\Rightarrow h=\sqrt{{{l}^{2}}-{{R}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}-{{2}^{2}}}=2\sqrt{3}$

Vậy thể tích khối nón đã cho là $V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi {{.2}^{2}}.2\sqrt{3}=\frac{8\sqrt{3}\pi }{3}$.

Chọn B.

Lời giải chi tiết

Kỹ năng vẽ hình: Tam giác quay quanh cạnh nào thì cạnh đó là trục, động thời chính là chiều cao của hình nón 

Quay tam giác ABC xung quanh trục AB, ta được hình nón có chiều cao h = AB = a, bán kính đáy $R=AC=a\sqrt{3}$ (hình vẽ bên)

Do đó, độ dài đường sinh là $l=\sqrt{{{h}^{2}}+{{R}^{2}}}=2a$.

Chọn D.

Lời giải chi tiết

Tam giác ABC vuông tại A, có $\sin A\hat{B}C=\frac{AC}{BC}\Rightarrow AC=2a\sqrt{3}$

Và $AB=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 4a \right)}^{2}}-{{\left( 2a\sqrt{3} \right)}^{2}}}=2a$

Quay tam giác ABC xung quanh trục AC, ta được hình nón có chiều cao $h=AC=2a\sqrt{3}$, bán kính đáy $R=AB=2a$ (hình vẽ bên)

Vậy thể tích khối nón cần tìm là $V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\frac{8\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{3}$

Chọn B

Lời giải chi tiết

Quay tam giác ABC quanh trục AH, ta được hình nón có chiều cao $h=AH=a\sqrt{3}$, bán kính đáy $R=BH=\frac{BC}{2}=a$(hình vẽ bên)

Vậy thể tích khối nón cần tính là $V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\frac{\sqrt{3}\pi {{a}^{3}}}{3}$

Chọn C

Lời giải chi tiết

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC

Tam giác ABC vuông tại A, có $AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=4a$

Suy ra $\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( 3a \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( 4a \right)}^{2}}}\Rightarrow AH=\frac{12a}{5}$

Quay tam giác ABC quanh trục BC, ta được hai hình nón có chiều cao lần lượt là ${{h}_{1}}=BH,{{h}_{2}}=CH$ và bán kính đáy R = AH (hình vẽ bên)

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}$

$=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}{{h}_{1}}+\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}{{h}_{2}}=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}\left( {{h}_{1}}+{{h}_{2}} \right)=\frac{1}{3}\pi .A{{H}^{2}}.BC=\frac{48\pi {{a}^{3}}}{5}$

Chọn D. 

Lời giải chi tiết

Quay hình thang ABCD quanh trục AD, ta được khối nón cụt có hai bán kính đáy lần lượt là ${{R}_{1}}=AB,{{R}_{2}}=CD$và chiều cao h = AD

Công thức tính thể tích nón cụt $$ được phát triển từ công thức thể tích tổng quát của khối có hai đáy song song

Vậy thể tích cần tính là $V=\frac{1}{3}\pi a.\left[ {{a}^{2}}+{{\left( 2a \right)}^{2}}+a.2a \right]=\frac{7\pi {{a}^{3}}}{3}$

Chọn A.

Lời giải chi tiết

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình thang ABCD quanh trục AB ta được khối tròn xoay có thể tích V tạo bởi hai khối:

l        Khối trụ tròn xoay có chiều cao h = CD = MN =2a và bán kính đường tròn đáy $R=DN=\sqrt{D{{A}^{2}}-N{{A}^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$( như hình vẽ bên ).

l        Thể tích khối trụ trên trừ đi thể tích 2.V₂ của hai khối nón có chiều cao ${{h}_{2}}=\frac{a}{2}$và bán kính đường tròn đáy $R=DN=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là $V={{V}_{1}}-2.{{V}_{2}}=\pi .2a.\frac{3{{a}^{2}}}{4}-\frac{2}{3}.\pi .\frac{a}{2}.\frac{3{{a}^{2}}}{4}=\frac{5}{4}\pi {{a}^{3}}$

Chọn C

Lời giải chi tiết

Khi quấn hình quạt để tạo thành một hình nón, ta được

l        Đường sinh hình nón bằng bán kính hình quạt $l=R=60cm$

l        Chu vi đáy hình nón bằng độ dài cung hình quạt $C=2\pi r=\frac{1}{3}.2\pi .60\Rightarrow r=20$

Do đó, chiều cao của hình nón là $h=\sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{{{60}^{2}}-{{20}^{2}}}=40\sqrt{2}cm$

Vậy thể tích của mỗi cái phễu là $V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi {{.20}^{2}}.40\sqrt{2}=\frac{1600\sqrt{2}\pi }{3}c{{m}^{2}}=\frac{16\sqrt{2}\pi }{3}$lít.

Chọn B.

Lời giải chi tiết

Độ dài đường sinh của phễu là ${{l}_{N}}=AM=AK=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Độ dài cung MN là $\ell =\frac{60}{360}.2\pi .AK=\frac{1}{3}\pi .\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}\pi }{2}\left( dm \right)$

Bán kính đáy của phễu là $r=\frac{\ell }{2\pi }=\frac{\sqrt{3}}{4}$ suy ra $V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}.\sqrt{\ell _{N}^{2}-{{r}^{2}}}=\frac{\sqrt{105}\pi }{64}\left( d{{m}^{3}} \right)$

 Chọn B.

Lời giải chi tiết

Chu vi của đáy hình nón có độ dài bằng cung BD.

Độ dài cung BDlà: $l=\frac{1}{4}.\left( 2\pi .4 \right)=2\pi $. Suy ra bán kính đường tròn đáy hình nón là : $r=\frac{2\pi }{2\pi }=1$

Độ dài đường sinh của hình nón là $\ell =4dm\Rightarrow h=\sqrt{{{\ell }^{2}}-{{r}^{2}}}=3,873dm$.

Chọn D.

Lời giải chi tiết

Theo cách 1 ta có: Độ dài đường sinh của hình nón là: $\ell =13$, chu vi đáy $r=\frac{12\pi }{2\pi }=6$

Khi đó thể tích của chiếc phễu là: ${{V}_{1}}=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}\sqrt{{{\ell }^{2}}-{{h}^{2}}}=12\pi \sqrt{133}$

Theo cách 2 ta có: Độ dài đường sinh của hình nón là: $\ell =13$, chu vi đáy mỗi phễu là: $r=\frac{6\pi }{2\pi r}\Rightarrow r=3$

Khi đó tổng thể tích của hai chiếc phễu là: ${{V}_{2}}=\frac{2}{3}\pi {{r}^{2}}\sqrt{{{\ell }^{2}}-{{h}^{2}}}=24\pi \sqrt{10}$

Quy ra $\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{\sqrt{133}}{2\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{133}}{\sqrt{160}}$

Chọn D.

Lời giải chi tiết

Gọi bán kính đáy của phễu là R, chiều cao của phễu là h = l5 em

Vì chiều cao nước trong phễu ban đầu bằng $\frac{1}{3}h$

Suy ra bán kính đáy hình nón tạo bởi lượng nước là $\frac{1}{3}R$

Thể tích phễu và thể tích nước lần lượt là $V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=5\pi {{R}^{2}},{{V}_{1}}=\frac{1}{3}\pi {{\left( \frac{R}{3} \right)}^{2}}.\frac{h}{3}=\frac{5}{27}\pi {{R}^{2}}$

Do đó, thể tích phần khối nón không chứa nước là ${{V}_{2}}=V-{{V}_{1}}=5\pi {{R}^{2}}-\frac{5}{27}\pi {{R}^{2}}=\frac{130}{27}\pi {{R}^{2}}\Rightarrow \frac{{{V}_{2}}}{V}=\frac{26}{27}$

Gọi h’ và r lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối nón không chứa nước

$\frac{h'}{h}=\frac{r}{R}\Rightarrow \frac{{{V}_{2}}}{V}=\frac{h{{'}^{3}}}{{{h}^{3}}}=\frac{h{{'}^{3}}}{{{15}^{3}}}=\frac{26}{27}\to h'=5\sqrt[3]{26}$

Vậy chiều cao cần tính là ${{h}_{o}}=h-h'=15-5\sqrt[3]{26}=0,188cm$

Chọn C.

Lời giải chi tiết

Gọi R, h lần lượt là bán kính đáy, chiều cao của hình nón

Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}h=\frac{\pi }{3}{{R}^{2}}.\sqrt{{{l}^{2}}-{{R}^{2}}}$

Ta có: ${{R}^{4}}\left( {{l}^{2}}-{{R}^{2}} \right)=4.\frac{{{R}^{2}}}{2}.\frac{{{R}^{2}}}{2}.\left( {{l}^{2}}-{{R}^{2}} \right)\le 4.\frac{{{\left( \frac{{{R}^{2}}}{2}+\frac{{{R}^{2}}}{2}+{{l}^{2}}-{{R}^{2}} \right)}^{3}}}{27}=\frac{4{{l}^{6}}}{27}$

Do đó ${{R}^{2}}.\left( {{l}^{2}}-{{R}^{2}} \right)\le \sqrt{\frac{4{{l}^{6}}}{27}}=\frac{2\sqrt{3}{{l}^{3}}}{9}\Rightarrow V\le \frac{2\sqrt{3}\pi {{l}^{3}}}{27}$

Dấu bằng xảy ra khi$\frac{{{R}^{2}}}{2}={{l}^{2}}-{{R}^{2}}\Leftrightarrow {{l}^{2}}=\frac{3}{2}{{R}^{2}}\Leftrightarrow l=\frac{R\sqrt{6}}{2}$                            (1)

Hình nón nhận được là có đường sinh l = OA, chu vi đáy là độ dài cung AB

Vì $x=\widehat{AOB}\Rightarrow $độ dài cung $AB=OA\times x=lx\Rightarrow 2\pi R=lx\Rightarrow x=\frac{2\pi R}{l}$            (2)

Từ (1), (2) suy ra $x=2\pi .\frac{R}{l}=2\pi .\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}\pi }{3}$.

Chọn B.

Lời giải chi tiết

Đặt $\widehat{BOC}=\alpha \Rightarrow \alpha \in \left( {{45}^{o}};{{90}^{o}} \right)\Rightarrow \tan \alpha >1$, chú ý công thức tan sau $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{{\tan }^{2}}\alpha }$

Tam giác OBC vuông tại B, có $\tan \widehat{BOC}=\frac{BC}{BO}\Rightarrow BC=R.\tan \alpha $

Ta có $\widehat{BCD}=2\left( {{90}^{o}}-\alpha  \right)\Rightarrow BD=BC.\tan \left( {{180}^{o}}-2\alpha  \right)=-BC.\tan 2\alpha $.

Khi quay tam giác BCD quanh trục AB ta được khối tròn xoay có thể tích là

$V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h-\frac{\pi }{3}.B{{C}^{2}}.BD=-\frac{\pi }{3}.B{{C}^{2}}.\tan 2\alpha =\frac{2\pi }{3}.{{R}^{3}}.\frac{{{\tan }^{4}}\alpha }{{{\tan }^{2}}\alpha -1}\ge \frac{8\pi {{R}^{3}}}{3}$

Vì ${{\tan }^{4}}\alpha \ge 4\left( {{\tan }^{2}}\alpha -1 \right)\Leftrightarrow {{\left( {{\tan }^{2}}\alpha -2 \right)}^{2}}\ge 0;\forall \alpha \in \left( {{45}^{o}};{{90}^{o}} \right)$. Vậy ${{V}_{\min }}=\frac{8\pi {{R}^{3}}}{3}$

Chọn C.