Bài tập Hình nón nội - ngoại tiếp hình trụ, hình cầu

Bài tập Hình nón nội - ngoại tiếp hình trụ, hình cầu 

Hình nón ngoại tiếp hình cầu

Lý thuyết: Xét mặt cắt qua trục, ta đưa về bài toán tam giác ngoại tiếp đường tròn 

Bài toán: Gọi R, r, h lần lượt là bán kính mặt cầu, bán kính đáy và chiều cao hình nón $\Rightarrow R=OI,r=IB,h=SI$

Ta có $\Delta SEO\sim\Delta SIB\Rightarrow \frac{OE}{IB}=\frac{SO}{SB}\Rightarrow \frac{R}{r}=\frac{h-R}{\sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}}}$

Vậy mối liên hệ cần tìm là $$

Hình nón nội tiếp hình cầu

Lý thuyết: Xét mặt cắt qua trục, ta đưa về bài toán tam giác nội tiếp đường tròn 

Bài toán: Gọi R, r, h lần lượt là bán kính mặt cầu, bán kính đáy và chiều cao hình nón 

Ta có ${{x}^{2}}+{{r}^{2}}={{R}^{2}}$ mà $x=h-R\Rightarrow {{\left( h-R \right)}^{2}}+{{r}^{2}}={{R}^{2}}$

Vậy mối liên hệ cần tìm là $$

Hình nón ngoại tiếp hình trụ

Lý thuyết: Xét mặt cắt qua trục, ta đưa về bài toán tam giác ngoại tiếp hình chữ nhật, cụ thể là tam giác SAB (thiết diện qua trục hình nón) và hình chữ nhật MNPO (thiết diện qua trục hình trụ) 

Bài toán: Gọi R, h, R’, H’ lần lượt là bán kính đáy và chiều cao hình nón; bán kính đáy và chiều cao hình trụ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} R=IA \\  {} h=SI \\ \end{array} \right.;\left\{ \begin{array}  {} R'=IN \\  {} h=OI \\ \end{array} \right.$

Ta có $\Delta AMN\sim\Delta ASI\Rightarrow \frac{MN}{SI}=\frac{AN}{AI}\Rightarrow \frac{h'}{h}=\frac{R-R'}{R}$

Vậy mối liên hệ cần tìm là $$

Lời giải chi tiết

Theo bài ra, ta có R = 5 cm, r = 2 cm

Chiều cao của khối nón là $h=\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=\sqrt{21}cm$

Vậy thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{4\sqrt{21}\pi }{3}\approx 19,20c{{m}^{3}}$.

Chọn B.

Lời giải chi tiết

Bán kính đáy hình nón là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}$

Chiều cao hình nón là $h=OT+OH=R+h$

Vậy thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{\pi \left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right)\left( R+h \right)}{3}$

Chọn C.

Lời giải chi tiết

Bài toán: Hình nón ngoại tiếp hình cầu $\Rightarrow R=\frac{rh}{r+\sqrt{{{r}^{2}}+{{h}^{2}}}}=\frac{6.8}{6+\sqrt{{{6}^{2}}+{{8}^{2}}}}=3$

Chọn D.

Lời giải chi tiết

Bài toán: Hình nón nội tiếp hình cầu.

Ta có ${{r}^{2}}={{R}^{2}}-{{x}^{2}}$, với r là bán kính đáy hình nón

Chiều cao hình nón là $h=x+R$. Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi \left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right).\left( x+R \right)$

Lại có $V=\frac{\pi }{6}.\left( 2R-2x \right).\left( R+x \right).\left( R+x \right)\le \frac{\pi }{6}.\frac{{{\left( 2R-2x+R+x+R+x \right)}^{3}}}{27}=\frac{32\pi {{R}^{3}}}{81}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2R-2x=R+x\Leftrightarrow x=\frac{R}{3}=\frac{2}{3}$

 Chọn A.

Lời giải chi tiết

Bài toán: Hình nón ngoại tiếp hình trụ $\Rightarrow \frac{h'}{h}=\frac{R-R'}{R}$

Với R’, h’ lần lượt là bán kính đáy, chiều cao hình trụ $\Rightarrow x=\frac{h}{R}.\left( R-R' \right)$

Thể tích khối trụ là $V=\pi R{{'}^{2}}x=\pi R{{'}^{2}}.\frac{h}{R}.\left( R-R' \right)=\frac{\pi h}{R}.\left[ R{{'}^{2}}.(R-R') \right]$

Ta có: $R{{'}^{2}}.\left( R-R' \right)=4.\frac{R'}{2}.\frac{R'}{2}.(R-R')\le 4.\frac{{{\left( \frac{R'}{2}+\frac{R'}{2}+R-R' \right)}^{3}}}{27}=\frac{4{{R}^{3}}}{27}$

Suy ra $V\le \frac{\pi h}{R}.\frac{4{{R}^{3}}}{27}=\frac{4\pi {{R}^{2}}h}{27}$. Dấu = xảy ra khi $\frac{R'}{2}=R-R'\Rightarrow R'=\frac{2}{3}R\Rightarrow x=\frac{h}{3}$.

Chọn A.