Bài tập Góc giữa cạnh bên và mặt đáy – có đáp án chi tiết

Bài tập Góc giữa cạnh bên và mặt đáy – có đáp án chi tiết

Phương pháp tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy

Tìm góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABC)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (ABC).

Như vậy HA là hình chiếu vuông góc của SA trên (ABC).

Vậy $\left( \widehat{SA;\left( ABC \right)} \right)=\widehat{\left( SA;HA \right)}=\widehat{SAH}.$

Bài tập tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy có Lời giải chi tiết

Lời giải chi tiết

a) Do $SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow \left( \widehat{SB;\left( ABC \right)} \right)=\widehat{SBA}=60{}^\circ .$

Do đó $SA=AB\tan \widehat{SBA}=a\tan 60{}^\circ =a\sqrt{3}.$

Ta có: $AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=2a;\widehat{\left( SC;\left( ABC \right) \right)}=\widehat{SCA}.$

Khi đó: $\cos \widehat{SCA}=\frac{AC}{SC}=\frac{AC}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=\frac{2a}{\sqrt{3{{a}^{2}}+4{{a}^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{7}}.$

b) Do $SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow \widehat{\left( SM;\left( ABC \right) \right)}=\widehat{SMA}=\varphi .$

Ta có: $AM=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{M}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}.$

Khi đó $\cos \varphi =\frac{AM}{SM}=\frac{AM}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{M}^{2}}}}=\frac{\sqrt{133}}{19}.$

Lời giải chi tiết

a) Gọi H là trung điểm của AB ta có: $SH\bot AB$

Mặt khác $\left\{ \begin{array}  {} \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\  {} AB=\left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right).$

Tam giác SAB đều cạnh 2a nên $SH=a\sqrt{3},$

$HC=\sqrt{H{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}.$

Do $SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow \left( \widehat{SB;\left( ABCD \right)} \right)=\widehat{SBH}=60{}^\circ $

$\left( \widehat{SC;\left( ABCD \right)} \right)=\widehat{SCH}$ và $\tan \widehat{SCH}=\frac{SH}{HC}=\sqrt{\frac{3}{2}}.$

b) Ta có: $HI=\sqrt{H{{B}^{2}}+B{{I}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.$

Mặt khác $\left( \widehat{SI;\left( ABCD \right)} \right)=\widehat{SIH}$ và $\widehat{SIH}=\frac{SH}{SI}=a\sqrt{3}:\frac{a\sqrt{5}}{2}=\frac{2\sqrt{15}}{5}.$

Lời giải chi tiết

a) Gọi O là trung điểm của AD $\Rightarrow $ OABC là hình thoi cạnh a $\Rightarrow CO=a=\frac{1}{2}AD\Rightarrow \Delta ACD$ vuông tại C.

Do $SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow \widehat{\left( SB;\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SBA}=45{}^\circ .$

Do đó $SA=AB\tan 45{}^\circ =a.$

$AC=\sqrt{A{{D}^{2}}-C{{D}^{2}}}=a\sqrt{3}\Rightarrow \cos \widehat{\left( SC;\left( ABC \right) \right)}=\cos \widehat{SCA}$

$=\frac{AC}{SC}=\frac{AC}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

$\cos \left( \widehat{SD;\left( ABCD \right)} \right)=\cos \widehat{SDA}=\frac{AD}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.$

b) Ta có: $AI=\sqrt{A{{C}^{2}}+C{{I}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{13}}{2}.$

Do đó $\tan \widehat{\left( SI;\left( ABCD \right) \right)}=\tan \widehat{SIA}=\frac{SA}{AI}=\frac{2}{\sqrt{13}}.$