Bài tập giao thoa với ánh sáng trắng có đáp án chi tiết

BÀI TẬP GIAO THOA VỚI ÁNH SÁNG TRẮNG

Lời giải:

a) Bề rộng quang phổ bậc 4 trên màn tính theo công thức:

${{\delta }_{4}}=x_{4}^{D}-x_{4}^{T}=4\frac{\left( {{\lambda }_{_{D}}}-{{\lambda }_{T}} \right)D}{a}=4\frac{\left( 0,76-0,38 \right).1}{1}=1,52\text{ mm}.$

b) Bề rộng khoảng chồng chập của quang phổ bậc 3 và bậc 5 là:

$\Delta x=x_{thap}^{D}-x_{cao}^{T}=x_{3}^{D}-x_{5}^{T}=\left( 3{{\lambda }_{D}}-5{{\lambda }_{T}} \right).\frac{D}{a}=\left( 3.0,76-5.0,38 \right)\frac{1}{1}=0,38\ mm.$

c) Tai điểm M bức xạ $\lambda $cho vân sáng thì ${{x}_{M}}=k\frac{\lambda D}{a}\Rightarrow \lambda =\frac{a{{x}_{M}}}{kD}=\frac{3,5}{k}\mu m\text{ }\left( 1 \right)$

Do $0,38\le \lambda \le 0,76\Rightarrow 4,6\le k\le 9,2\Rightarrow k=\left\{ 5,6,7,8,9 \right\}$

Thay các giá trị k vào $\left( 1 \right)$ ta tìm được bước sóng của các bức xạ cho vân sáng tại M:

Tại điểm M bức xạ $\lambda $ cho vân tối thì ${{x}_{M}}=\left( m+0,5 \right)\frac{\lambda D}{a}$

$\Rightarrow \lambda =\frac{a{{x}_{M}}}{\left( m+0,5 \right)D}=\frac{3,5}{m+0,5}\text{ }\mu m\text{ }\left( 2 \right)$

Do $0,38\le \frac{3,5}{m+0,5}\le 0,76\Rightarrow 4,1\le m\le 8,7\Rightarrow m=\left\{ 5,6,7,8 \right\}$

Thay các giá trị k vào $\left( 2 \right)$ ta tìm được bước sóng của các bức xạ cho vân tối tại M:

d) Vị trí có 3 bức xạ cho vân sáng: $n+1=3\Rightarrow n=2$

Để tại M có đúng 3 bức xạ chồng nhau thì vân màu tím quang phổ bậc k phải chồng lên vân màu đỏ quang phổ bậc $\left( k-2 \right)$ tức là:

$x_{T}^{k}\le x_{D}^{k-2}\Rightarrow k\frac{{{\lambda }_{T}}D}{a}\le \left( k-2 \right)\frac{{{\lambda }_{D}}D}{a}$

$\Rightarrow k\ge 2\frac{{{\lambda }_{D}}}{{{\lambda }_{D}}-{{\lambda }_{T}}}=2\frac{0,76}{0,76-0,38}=4\Rightarrow k=4,5,6,...$

Vị trí M gần nhất để tại đó có đúng 3 bức xạ cho vân sáng là ${{x}_{M\min }}=4\frac{{{\lambda }_{T}}D}{a}=\frac{4.0,38.1}{1}=1,52\text{ mm}.$

Lời giải:

Ở chính giữa, mỗi ánh sáng đơn sắc đều cho một vạch màu riêng, tổng hợp của chúng ta thấy có vạch sáng trắng.

Do bước sóng của tia tím nhỏ nhất $\Rightarrow $ khoảng vân của tia tím $i=\frac{{{\lambda }_{T}}D}{a}$ nhỏ nhất và làm cho tia tím gần vạch trung tâm nhất (xét cùng một bậc giao thoa).

$\Rightarrow $ Thứ tự các vân sáng đơn sắc từ chính giữa đi ra là: tím, chàm, lục, lam, vàng, cam, đỏ.

Chọn C.

Lời giải:

Độ rộng quang phổ bậc 3 (nằm về một phía so với vân sáng trung tâm) là

${{\delta }_{3}}=x_{3}^{D}-x_{3}^{T}=3\frac{{{\lambda }_{D}}D}{a}-3\frac{{{\lambda }_{T}}D}{a}$

$=3\frac{\left( {{\lambda }_{D}}-{{\lambda }_{T}} \right)D}{a}=3\frac{\left( 0,{{76.10}^{-6}}-0,{{38.10}^{-6}} \right).1,2}{0,{{8.10}^{-3}}}=1,{{71.10}^{-3}}\text{ m = 1,71 mm}\text{.}$

Chọn C.

Lời giải:

Bề rộng vùng chồng chập:

$\Delta {{x}_{5-7}}=x_{5}^{D}-x_{7}^{T}=5\frac{{{\lambda }_{D}}D}{a}-7\frac{{{\lambda }_{T}}D}{a}\Rightarrow \Delta {{x}_{5-7}}=5.\frac{0,76.2}{1}-7.\frac{0,38.2}{1}=2,28\text{ mm}\text{.}$ Chọn B.

Lời giải:

Độ rộng quang phổ bậc 1 là: ${{\delta }_{1}}=x_{1}^{D}-x_{1}^{T}=\left( {{\lambda }_{D}}-{{\lambda }_{T}} \right)\frac{D}{a}$

Khi chưa dịch màn: ${{\delta }_{1}}=\left( {{\lambda }_{D}}-{{\lambda }_{T}} \right)\frac{D}{a}\text{ }\Leftrightarrow \text{ 0,7 = }\left( 0,75-0,4 \right)\frac{D}{a}\text{ }\left( 1 \right)$

Khi dịch màn: ${{\delta }_{1}}=\left( {{\lambda }_{D}}-{{\lambda }_{T}} \right)\frac{D+0,4}{a}\text{ }\Leftrightarrow \text{ 0,84 =}\,\left( 0,75-0,4 \right)\frac{D+0,4}{a}\text{ }\left( 2 \right)$

Chia vế cho vế của $\left( 1 \right)$ cho $\left( 2 \right)$ ta được: $\frac{0,7}{0,84}=\frac{D}{D+0,4}\Rightarrow \text{ D = 2 m}$

Thay $D=2\text{ m}$ lên $\left( 1 \right)$, ta được: $0,7=\left( 0.75-0,4 \right).\frac{2}{a}\Rightarrow a=1\text{ mm}.$ Chọn A.

Lời giải:

Giả sử tại vị trí có tọa độ $x=3\text{ mm}$ trùng với vân sáng bậc $k$ của bức xạ có bước sóng $\lambda $, ta có:

$x=k\frac{\lambda D}{a}\Rightarrow k=\frac{ax}{\lambda D}$

Do ${{\lambda }_{\min }}=\text{0,38}\mu m\le \lambda \le 0,76\mu m={{\lambda }_{\max }}$ nên $\frac{ax}{{{\lambda }_{\max }}D}\le k\le \frac{ax}{{{\lambda }_{\min }}D}$

$\Leftrightarrow \frac{0,{{8.10}^{-3}}{{.3.10}^{-3}}}{0,{{76.10}^{-6}}.2}\le k\le \frac{0,{{8.10}^{-3}}{{.3.10}^{-3}}}{0,{{38.10}^{-6}}.2}\Leftrightarrow 1,6\le k\le 3,2$

Do $k\in Z$ nên có 2 bức xạ cho vân sáng trùng nhau tại vị trí có $x=3\text{ mm}$ và bước sóng tương ứng là

Chọn D.

Lời giải:

Tại $x=\text{ 1,5 mm}$có sự trùng nhau của các vân tối:

${{x}_{M}}=\left( k+0,5 \right)\frac{\lambda D}{a}\Rightarrow k=\frac{a{{x}_{M}}}{\lambda D}-0,5$

Do ${{\lambda }_{\min }}=0,38\mu m\le \lambda \le 0,76\mu m={{\lambda }_{\max }}$ nên $\frac{ax}{{{\lambda }_{\max }}D}-0,5\le k\le \frac{ax}{{{\lambda }_{\min }}D}-0,5$

$\Leftrightarrow \frac{1,{{2.10}^{-3}}.1,{{5.10}^{-3}}}{0,{{76.10}^{-6}}.2}-0,5\le k\le \frac{1,{{2.10}^{-3}}.1,{{5.10}^{-3}}}{0,{{38.10}^{-6}}.2}-0,5\Leftrightarrow 0,7\le k\le 1,9$

Do $k\in Z$ nên có 1 bức xạ $k=1$ cho vân tối tại vị trí có $x=\text{ 1,5 mm}$và bước sóng tương ứng là

$\lambda =\frac{ax}{\left( k+0,5 \right)D}-0,5=\frac{1,{{2.10}^{-3}}.1,{{5.10}^{-3}}}{\left( 1+0,5 \right).2}=0,{{6.10}^{-6}}\text{ m = 0,6 }\mu \text{m}\text{.}$ Chọn C.

Lời giải:

Tại vị trí ${{x}_{M}}$ là sự trùng nhau của vân sáng bậc 4 màu đỏ $0,76\text{ }\mu \text{m}$và bậc k của các màu khác, ta có:

x_M = 4i_đ = ki

$\Leftrightarrow 4{{\lambda }_{d}}=k\lambda \Rightarrow k=\frac{4{{\lambda }_{d}}}{\lambda }=\frac{4.0,76}{\lambda }$

Do ${{\lambda }_{\min }}=0,38\text{ }\mu \text{m}\le \lambda \le \text{0,76 }\mu \text{m = }{{\lambda }_{\max }}\Rightarrow \frac{4.0,76}{0,76}<k\le \frac{4.0,76}{0,38}\Leftrightarrow 4<k\le 8$

Do $k\in Z$ nên có 4 giá trị của $k=5,6,7,8$ ứng với ứng với 4 vân sáng khác màu đỏ tại M.

Chọn C.

Lời giải:

Bước sóng của bức xạ cho vân tối tại vị trí x:

$x=\left( k+0,5 \right).\frac{\lambda D}{a}\Rightarrow \lambda =\frac{ax}{\left( k+0,5 \right).D}=\frac{1.12}{\left( k+0,5 \right).2}=\frac{6}{k+0,5}\,\,\left( \mu m \right)$

Cho $\lambda $ vào điều kiện bước sóng của ánh sáng trắng:

${{\lambda }_{d}}\le \lambda \le {{\lambda }_{t}}\Rightarrow 0,4\le \frac{6}{k+0,5}\ge 0,75\Rightarrow 7,5\le k\le 14,5\Rightarrow k=\left\{ 8;...14 \right\}$

Trong các bước sóng của các bức xạ cho vân tối tại M, bước sóng ứng với $k=8$ là bước sóng dài nhất ($\lambda $càng lớn khi $k$ càng nhỏ) là: ${{\lambda }_{\max }}=\frac{6}{8+0,5}=0,705\text{ }\mu \text{m}\text{.}$ Chọn C.

Lời giải:

Điều kiện để một vị trí có hai quang phổ bậc $k$ và $k+1$ chồng chập lên nhau là

$x_{1}^{k+1}\le x_{2}^{k}\Leftrightarrow \left( k+1 \right)\frac{{{\lambda }_{1}}D}{a}\le k\frac{{{\lambda }_{2}}D}{a}\Rightarrow \left( k+1 \right){{\lambda }_{1}}-k{{\lambda }_{2}}\le 0$

$\Leftrightarrow \left( k+1 \right).0,4-k.0,76\le 0\Rightarrow k\ge 1,11$

Vậy hiện tượng chồng chập bắt đầu xảy ra giữa quang phổ bậc 2 và bậc 3. Vị trí có hai vân chồng chập lên nhau và gần vân trung tâm nhất chính là vị trí vân sáng bậc 3 của bức xạ ${{\lambda }_{1}}.$

Ta có ${{x}_{\min }}=3\frac{{{\lambda }_{1}}D}{a}=3\frac{0,{{4.10}^{-6}}.1,6}{0,{{8.10}^{-3}}}=2,{{4.10}^{-3}}\,m=2,4\text{ mm}\text{.}$ Chọn B.

Lời giải:

Có sự chồng chập của 5 bức xạ khi vân tím bậc cao $\left( k \right)$ ở dưới vân đỏ bậc thấp $\left( k-4 \right):$

${{x}_{tk}}\le {{x}_{d\left( k-4 \right)}}\Leftrightarrow k.{{\lambda }_{1}}\le \left( k-4 \right){{\lambda }_{d}}\Leftrightarrow k.380\le \left( k-4 \right).760\Rightarrow k\ge 8$

$\Rightarrow $ Vị trí gần vân trung tâm nhất có 5 bức xạ trùng nhau là vị trí vân tím bậc 8

$\Rightarrow {{x}_{t8}}=\frac{{{8.380.10}^{-9}}.2}{{{10}^{-3}}}=6,{{08.10}^{-3}}\ \text{m = 6,08 mm}\text{.}$ Chọn D.

Lời giải:

Tại M có 4 vân trùng: ${{k}_{1}}.735={{k}_{2}}.490={{k}_{3}}{{\lambda }_{3}}={{k}_{4}}{{\lambda }_{4}}\text{ }\left( 1 \right)$

$\Rightarrow \frac{{{k}_{1}}}{{{k}_{2}}}=\frac{490}{735}=\frac{2}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}{{k}_{1}}=2n \\{{k}_{2}}=3n \\\end{matrix}\Rightarrow {{x}_{M}}=\frac{2n.735.D}{a}=\frac{1470nD}{a} \right.$

Tại M ngoài 2 bức xạ $735\text{ nm }v\grave{a}\text{ 490 nm}$ cho vân sáng thì còn có 2 bức xạ khác cũng cho vân sáng.

$\Rightarrow {{x}_{M}}=\frac{1470nD}{a}=\frac{k\lambda D}{a}\Rightarrow \lambda =\frac{1470n}{k}\Rightarrow 380\le \frac{1470}{k}\le 760\Leftrightarrow 1,93n\le k\le 3,87n$

+) Với n = 1: $1,93\le k\le 3,87\Rightarrow k=2;3\Rightarrow $ Tại M có 2 bức xạ cho vân sáng (loại)

+) Với n = 2: $3,86\le k\le 7,74\Rightarrow k=4;5;6;7\Rightarrow $ Tại M có 4 bức xạ cho vân sáng (thỏa mãn) ứng với:

${{\lambda }_{1}}=\frac{1470.2}{4}=735\text{ nm;}{{\lambda }_{3}}=\frac{1470.2}{5}=588\text{ nm;}{{\lambda }_{2}}=\frac{1470.2}{6}=490\text{ nm;}{{\lambda }_{4}}=\frac{1470.2}{7}=420\text{ nm;}$

$\Rightarrow {{\lambda }_{3}}+{{\lambda }_{4}}=588+420=1008\,\,\text{nm}.$ Chọn C.