Bài tập giải phương trình phức có đáp án chi tiết. - Tự Học 365

Bài tập giải phương trình phức có đáp án chi tiết.

Bài tập giải phương trình phức có đáp án chi tiết.

Bài tập giải phương trình phức có đáp án.

Dưới dây là một số bài tập về bậc 2 bậc 3 của phương trình số phức có Lời giải chi tiết

Bài tập 1: Biết ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$ là 2 nghiệm của phương tình ${{z}^{2}}-2\text{z}+4=0$ . Tính $T=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$

A. $T=2\sqrt{3}$ . B. $T=2+\sqrt{3}$ . C. $T=4$ . D. $T=4+2\sqrt{3}$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${\Delta }'={{1}^{2}}-4=-3=3{{i}^{2}}\Rightarrow \left[ \begin{array}  {} {{z}_{1}}=1+i\sqrt{3} \\  {} {{z}_{2}}=1-i\sqrt{3} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=2\Rightarrow T=4$ . Chọn C.

Bài tập 2: Biết ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$ là 2 nghiệm của phương trình ${{\left( z-i \right)}^{2}}+4=0$ . Tính $T=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$

A. $T=3$ . B. $T=2$ . C. $T=4$ . D. $T=10$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có:${{\left( z-i \right)}^{2}}+4=0\Leftrightarrow {{\left( z-i \right)}^{2}}=-4=4{{i}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} z-i=2i \\  {} z-i=-2i \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} z=3i \\  {} x=-i \\ \end{array} \right.$

Do đó $T=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=4$ . Chọn A.

 

Bài tập 3: Gọi ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ là 2 nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}-\left( 3-i \right)z+4-3i=0$ .

Tìm giá trị của biểu thức $T=\left| z_{1}^{2} \right|+\left| z_{2}^{2} \right|$

A. $T=2$ . B. $T=5$ . C. $T=2\sqrt{5}$ . D. $T=10$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\Delta ={{\left( 3-i \right)}^{2}}-16+12i=-8+6i={{\left( 1+3i \right)}^{2}}$

Khi đó phương trình đã cho có 2 nghiệm là $\left[ \begin{array}  {} {{z}_{1}}=\frac{3-i+1+3i}{2}=2+i \\  {} {{z}_{2}}=\frac{3-i-1-3i}{2}=1-2i \\ \end{array} \right.$

Do đó: $z_{1}^{2}=3+4i;z_{2}^{2}=-3-4i\Rightarrow T=\left| 3+4i \right|+\left| -3-4i \right|=10$ .Chọn D.

 

Bài tập 4: Gọi ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ là 2 nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}+3\left( 1+i \right)z+5i=0$ . Tìm giá trị biểu thức $T=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ .

A. $T=2$ . B. $T=5$ . C. $T=2\sqrt{5}$ . D. $T=10$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\Delta =9{{\left( 1+i \right)}^{2}}-20i=-2i={{\left( 1-i \right)}^{2}}$

Khi đó phương trình đã cho có 2 nghiệm là $\left[ \begin{array}  {} {{z}_{1}}=\frac{3+3i+1-i}{2}=2+i \\  {} {{z}_{2}}=\frac{3+3i-1+i}{2}=1+2i \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|=\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{5}$

Do đó $T=2\sqrt{5}$ . Chọn C.

Bài tập 5: Giải phương trình phức ${{z}^{2}}+\left( 1-2i \right)z-1-i=0$ .

A. $\left[ \begin{array}  {} z=-i \\  {} z=-1+3i \\ \end{array} \right.$ . B. $\left[ \begin{array}  {} z=-1 \\  {} z=1-i \\ \end{array} \right.$ .              C. $\left[ \begin{array}  {} z=i \\  {} z=1-3i \\ \end{array} \right.$ .              D. $\left[ \begin{array}  {} z=i \\  {} z=-1+i \\ \end{array} \right.$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có $\Delta ={{\left( i-2i \right)}^{2}}+4\left( 1+i \right)=1\Rightarrow {{z}_{1}}=\frac{-1+2i+1}{2}=i$ và ${{z}_{2}}=\frac{-1+2i-1}{2}=-1+i$ .Chọn D

Bài tập 6: Cho phương trình phức ${{z}^{2}}+b\text{z}+c=0\left( b,c\in \mathbb{R} \right)$ có một nghiệm là $1+2i$ . Tính giá trị của biểu thức S = b + c.

A. S = 7. B. S = $-1$ . C. S = 3. D. S = $-3$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có ${{\left( 1+2i \right)}^{2}}+b\left( 1+2i \right)+c=0\Leftrightarrow -3+4i+b+2bi+c=0$

$\Leftrightarrow b+c-3+\left( 2b+4 \right)i=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 2b+4=0 \\  {} b+c-3=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} b=-2 \\  {} c=5 \\ \end{array} \right.\Rightarrow S=3$ . Chọn C.

Bài tập 7: [Đề minh hoạ Bộ GD {} ĐT 2017] Kí hiệu ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}},{{z}_{4}}$ là bốn nghiệm phức của phương trình ${{z}^{4}}-{{z}^{2}}-12=0$ . Tính tổng $T=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{3}} \right|+\left| {{z}_{4}} \right|$.

A. T = 4. B. $T=2\sqrt{3}$ C. $T=4+2\sqrt{3}$ . D. $T=2+2\sqrt{3}$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có ${{z}^{4}}-{{z}^{2}}-12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{z}^{2}}=4 \\  {} {{z}^{2}}=-3=3{{i}^{2}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} z=\pm 2 \\  {} z=\pm i\sqrt{3} \\ \end{array} \right.$

Do đó $T=\left| 2 \right|+\left| -2 \right|+\left| i\sqrt{3} \right|+\left| -i\sqrt{3} \right|=2+2+\sqrt{3}+\sqrt{3}=4+2\sqrt{3}$ . Chọn C.

 

Bài tập 8: Tổng các nghiệm của phương trình ${{\left( \frac{z-i}{z+i} \right)}^{3}}+{{\left( \frac{z-i}{z+i} \right)}^{2}}+\left( \frac{z-i}{z+i} \right)+1=0$ là:

A. $T=0$ . B. T = $1-2i$ . C. T = 1 + 2iD. T = $-1$ .

Lời giải chi tiết:

Đặt $t=\left( \frac{z-i}{z+i} \right);\left( z\ne -i \right)$ ta có: ${{t}^{3}}+{{t}^{2}}+t+1=0\Leftrightarrow \left( t+1 \right)\left( {{t}^{2}}+1 \right)=0$

Với $t=-1\Rightarrow \frac{z-i}{z+i}=-1\Leftrightarrow z=0$

Với $t=i\Rightarrow \frac{z-i}{z+i}=i\Leftrightarrow z=-1$

Với $i=-i\Rightarrow \frac{z-i}{z+i}=-i\Leftrightarrow z=1$

Vậy phương trình có 3 nghiệm $z=0;z=\pm 1\Rightarrow T=0$ .Chọn A.

 

Bài tập 9: Gọi ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ là 2 nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}-\left( 1+i \right)z+6+3i=0$ . Tính môđun của số phức $w=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}$

A. $\left| w \right|=2\sqrt{10}$ . B. $\left| w \right|=3\sqrt{10}$ . C. $\left| w \right|=4\sqrt{10}$ .              D.$\left| w \right|=5\sqrt{10}$ .

Lời giải chi tiết:

Theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{array}  {} {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=1+i \\  {} {{z}_{1}}{{z}_{2}}=6+3i \\ \end{array} \right.\Rightarrow w=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}={{\left( 1+i \right)}^{2}}-2\left( 6+3i \right)$

$=2i-12-6i=-12-4i\Rightarrow \left| w \right|=4\sqrt{10}$ . Chọn C.

 

Bài tập 10: Gọi ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}-2\text{z}+3=0$ . Tính giá trị của biểu thức $P=\left| {{z}_{1}}-2{{\text{z}}_{2}} \right|+\left| {{z}_{2}}-{{2}_{1}} \right|$

A. $2\sqrt{10}$ . B. $\sqrt{19}$ . C. $2\sqrt{19}$ . D. $6\sqrt{3}$ .

Lời giải chi tiết:

PT $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} z=1+\sqrt{2}i \\  {} z=1-\sqrt{2}i \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{z}_{1}}=1+\sqrt{2}i \\  {} {{z}_{2}}=1-\sqrt{2}i \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{z}_{1}}-2{{z}_{2}}=-1+3\sqrt{2}i \\  {} {{z}_{2}}-2{{\text{z}}_{1}}=-1-3\sqrt{2}i \\ \end{array} \right.$

$\Rightarrow \left| {{z}_{1}}-2{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{2}}-2{{\text{z}}_{1}} \right|=\sqrt{19}\Rightarrow P=2\sqrt{19}$ . Chọn C.

 

Bài tập 11: Cho số phức w, biết rằng ${{z}_{1}}=w-2i$ và ${{z}_{1}}=2w-4$ là hai nghiệm của phương trình ${{z}^{2}}+az+b=0$ với a, b là các số thực. Tính $T=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ .

A. $T=\frac{8\sqrt{10}}{3}$ . B. $T=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ . C. T = 5. D. $T=\frac{2\sqrt{37}}{3}$ .

Lời giải chi tiết:

Đặt $w=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)$ .

Theo Viet ta có: ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-a=3w-2i-4=\left( 3\text{x}-4 \right)+\left( 3y-2 \right)i$ là số thực nên $y=\frac{2}{3}$ . Lại có :

${{z}_{1}}{{z}_{2}}=b=\left( x+\frac{2}{3}i-2i \right)\left( 2\text{x}+\frac{4}{3}i-4 \right)$ là số thực.

Suy ra $\left( x-\frac{4}{3}i \right)\left( 2\text{x}-4+\frac{4}{3}i \right)=x\left( 2\text{x}-4 \right)-\frac{4}{3}i\left( x-4 \right)+\frac{16}{9}$ là số thực suy ra $x=4$

Do đó ${{z}_{1}}=4+\frac{2}{3}i-2i=4-\frac{4}{3}i;{{z}_{2}}=4+\frac{4}{3}i\Rightarrow T=\frac{8\sqrt{10}}{3}$ . Chọn A.

 

Bài tập 12: Cho số phức và hai số thực a, b. Biết ${{z}_{1}}=w+2i$ và ${{z}_{2}}=2w-3$ là hai nghiệm phức của phương trình ${{z}^{2}}+az+b=0$ . Tính $T=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ .

A. $T=2\sqrt{13}$ . B. $T=\frac{2\sqrt{97}}{3}$ . C. $T=\frac{2\sqrt{85}}{3}$ .              D. $T=4\sqrt{13}$ .

Lời giải chi tiết:

Đặt $w=m+ni\left( m;n\in \mathbb{R} \right)$ .

Theo Viet ta có: ${{z}_{1}}+{{z}_{2}}=3w+2i-3=3m-3+\left( 3n+2 \right)i=-a$ là số thực do đó $n=\frac{-2}{3}$

Lại có ${{z}_{1}}{{z}_{2}}=\left( m+\frac{4i}{3} \right)\left( 2m-3-\frac{4}{3}i \right)=b$ là số thực do đó $\frac{4}{3}\left( 2m-3 \right)-\frac{4}{3}m=0\Rightarrow m=3$

Do đó ${{z}_{1}}=3+\frac{4i}{3};{{z}_{2}}=3-\frac{4i}{3}\Rightarrow T=\frac{2\sqrt{97}}{3}$ . Chọn B.

 

Ví dụ 13: Gọi ${{z}_{1}};{{z}_{2}};{{z}_{3}}$ là 3 nghiệm của phương trình ${{z}^{3}}+\left( 1-2i \right){{z}^{2}}+\left( 1-i \right)z=2i$ . Biết rằng phương trình có 1 nghiệm thuần ảo tìm môđun của số phức $w=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}$ .

A. $\left| w \right|=5$ . B. $\left| w \right|=\sqrt{34}$ . C. $\left| w \right|=\sqrt{29}$ .              D. $\left| w \right|=3\sqrt{3}$ .

Lời giải chi tiết:

Giả sử phương trình có 1 nghiệm thuần ảo là: $z=bi\left( b\in \mathbb{R} \right)$ thay vào phương trình:

${{\left( bi \right)}^{3}}+\left( 1-2i \right){{\left( bi \right)}^{2}}+\left( 1-i \right)bi=2i\Leftrightarrow -{{b}^{3}}i-\left( 1-2i \right){{b}^{2}}+bi+b=2i$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -{{b}^{2}}+b=0 \\  {} -{{b}^{3}}+2{{b}^{2}}+b=2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow b=1\Leftrightarrow z=i$

Vậy phương trình $\Leftrightarrow \left( z-i \right)\left( {{z}^{2}}+\left( 1-i \right)z+2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{z}_{3}}=i \\  {} {{z}^{2}}+\left( 1-i \right)z+2=0\left( 1 \right) \\ \end{array} \right.$

Giả sử PT (1) có 2 nhiệm là ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$

Ta có: $w={{i}^{2}}+{{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)}^{2}}-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}=-1+{{\left( i-1 \right)}^{2}}-4=-2i-5\Rightarrow \left| w \right|=\sqrt{29}$ . Chọn C.

 

Bài tập 14: Gọi ${{z}_{1}};{{z}_{2}};{{z}_{3}};{{z}_{4}}$ là các nghiệm của phương trình: $\left( {{z}^{2}}+3\text{z}+2 \right)\left( {{z}^{2}}+7\text{z}+12 \right)=3$

Tính tổng $T=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{3}} \right|+\left| {{z}_{4}} \right|$ .

A. $T=10$ . B. $T=5+2\sqrt{7}$ . C. $T=5+\sqrt{7}$ . D. $T=\sqrt{38}+2\sqrt{7}$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có: $PT\Leftrightarrow \left( z+1 \right)\left( z+2 \right)\left( z+3 \right)\left( z+4 \right)=3\Leftrightarrow \left( {{z}^{2}}+5\text{z}+4 \right)\left( {{z}^{2}}+5\text{z}+6 \right)=3$

Đặt $w={{z}^{2}}+5\text{z}+4$ ta có $w\left( w+2 \right)=3\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} w=1 \\  {} w=-3 \\ \end{array} \right.$

Với$w=1\Leftrightarrow {{z}^{2}}+5\text{z}+3=0\Leftrightarrow z=\frac{-5\pm \sqrt{13}}{2}\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=5$

Với $w=-3\Leftrightarrow {{z}^{2}}+5\text{z}+7=0\Leftrightarrow {{\left( z+\frac{5}{2} \right)}^{2}}=\frac{3{{i}^{2}}}{4}\Leftrightarrow z=\frac{-5\pm i\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \left| {{z}_{3}} \right|+\left| {{z}_{4}} \right|=2\sqrt{7}$ . Chọn B.

Bài tập 15: Biết phương trình ${{z}^{3}}+\left( 2-2i \right){{z}^{2}}+\left( 5-4i \right)z-10i=0$ có 3 nghiệm ${{z}_{1}};{{z}_{2}};{{z}_{3}}$ trong đó ${{z}_{1}}$ là số thuần ảo. Tính tổng $T=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{3}} \right|$ .

A. $T=1+2\sqrt{5}$ . B. $T=2\sqrt{2}$ . C. $T=12$ . D. $T=2+2\sqrt{5}$ .

Lời giải chi tiết:

Giả sử ${{z}_{1}}=bi\Rightarrow -{{b}^{3}}i-\left( 2-2i \right){{b}^{2}}+\left( 5-4i \right)bi-10i=0$

$\Leftrightarrow -{{b}^{3}}i-2{{b}^{2}}+2{{b}^{2}}i+5bi+4b-10i=0\Leftrightarrow i\left( -{{b}^{3}}+2{{b}^{2}}+5b-10 \right)-2{{b}^{2}}+4b=0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} -{{b}^{3}}+2{{b}^{2}}+5b-10=0 \\  {} -2{{b}^{2}}+4b=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow b=2$ .

Khi đó $PT\Leftrightarrow \left( z-2i \right)\left[ {{z}^{2}}+2\text{z}+5 \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} z=2i \\  {} {{\left( z+1 \right)}^{2}}=4{{i}^{2}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} z=2i \\  {} z=-1\pm 2i \\ \end{array} \right.$

Suy ra $T=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{3}} \right|=2+2\sqrt{5}$ . Chọn D.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12