Bài tập cực trị hàm bậc 4 (trùng phương) có đáp án chi tiết

Bài tập cực trị hàm bậc 4 (trùng phương) có đáp án

Bài tập 1: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+m,$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị A, B, C sao cho $OA=BC$, với $O$ là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4\left( m+1 \right)x=4x\left[ {{x}^{2}}-\left( m+1 \right) \right]\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{       }  \\   {{x}^{2}}=m+1  \\\end{matrix} \right.$

Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình $y'=0$ có ba nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow m+1>0\Leftrightarrow m>-1.(*)$

Với $m>-1$ thì $y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   {{x}_{1}}=0\Rightarrow {{y}_{1}}=m\text{                             }  \\   {{x}_{2}}=\sqrt{m+1}\Rightarrow {{y}_{2}}=-{{\left( m+1 \right)}^{2}}+m\text{  }  \\   {{x}_{3}}=-\sqrt{m+1}\Rightarrow {{y}_{3}}=-{{\left( m+1 \right)}^{2}}+m  \\\end{matrix} \right.$

Theo bài ta có tọa độ các điểm cực trị là $A\left( 0;m \right),B\left( \sqrt{m+1};-{{m}^{2}}-m-1 \right),C\left( -\sqrt{m+1};-{{m}^{2}}-m-1 \right)$

Từ đó $OA=BC\Leftrightarrow O{{A}^{2}}=B{{C}^{2}}\Leftrightarrow {{m}^{2}}=4\left( m+1 \right)\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=2+2\sqrt{2}  \\   m=2-2\sqrt{2}  \\\end{matrix} \right.$

Kết hợp với điều kiện (*) ta được $m=2\pm 2\sqrt{2}$ là các giá trị cần tìm.

Bài tập 2: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2{{m}^{2}}{{x}^{2}}+1,$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4{{m}^{2}}x=4x\left[ {{x}^{2}}-{{m}^{2}} \right]\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{       }  \\   {{x}^{2}}={{m}^{2}}\text{   }  \\\end{matrix} \right.$

Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình $y'=0$ có ba nghiệm phân biệt$\Leftrightarrow {{m}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne 0.(*)$

Với $m\ne 0$ thì $y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   {{x}_{1}}=0\Rightarrow {{y}_{1}}=1\text{            }  \\   {{x}_{2}}=m\Rightarrow {{y}_{2}}=1-{{m}^{4}}\text{  }  \\   {{x}_{3}}=-m\Rightarrow {{y}_{3}}=1-{{m}^{4}}  \\\end{matrix} \right.\xrightarrow{{}}A\left( 0;1 \right),B\left( m;1-{{m}^{4}} \right),C\left( -m;1-{{m}^{4}} \right)$

Ta nhận thấy tam giác$\Delta ABC$ luôn cân tại A. Để $\Delta ABC$ vuông cân thì phải vuông cân tại A.

Từ đó suy ra

$AB\bot AC\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\Leftrightarrow \left( m;-{{m}^{4}} \right).\left( -m;-{{m}^{4}} \right)=0\Leftrightarrow -{{m}^{2}}+{{m}^{8}}=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}\left( {{m}^{6}}-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=0\text{  }  \\   m=\pm 1  \\\end{matrix} \right.$

Kết hợp với điều kiện (*) ta được $m=\pm 1$ là các giá trị cần tìm.

Bài tập 3: Cho hàm số $y={{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}-m-1,$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác a)      Có diện tích bằng $4\sqrt{2}.$ b)     Đều. c)      Có một góc bằng ${{120}^{0}}.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=4{{x}^{3}}+4mx=4x\left( {{x}^{2}}+m \right)\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{       }  \\   {{x}^{2}}=-m\text{   }  \\\end{matrix} \right.$

Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình $y'=0$ có ba nghiệm phân biệt, tức là $m<0.(*)$

Với $m<0$ thì

$y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\Rightarrow y=-m-1\text{                }  \\   x=\sqrt{-m}\Rightarrow y=-{{m}^{2}}-m-1\text{  }  \\   x=-\sqrt{-m}\Rightarrow y=-{{m}^{2}}-m-1  \\\end{matrix} \right.\xrightarrow{{}}A\left( 0;-m-1 \right),B\left( \sqrt{-m};-{{m}^{2}}-m-1 \right),C\left( -\sqrt{-m};-{{m}^{2}}-m-1 \right)$

Ta nhận thấy A thuộc Oy, B; C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC cân tại A.

a) Gọi H là trung điểm của $BC\Rightarrow H\left( 0;-{{m}^{2}}-m-1 \right)$ 

Khi đó, ${{S}_{\Delta ABC=}}=\frac{1}{2}AH.BC=4\sqrt{2}\Leftrightarrow AH.BC=8\sqrt{2}\Leftrightarrow A{{H}^{2}}.B{{C}^{2}}=128.\text{    }(1)$

Ta có $\overrightarrow{BC}=\left( -2\sqrt{-m};0 \right);\overrightarrow{AH}=\left( 0;-{{m}^{2}} \right),$ từ đó (1)$\Leftrightarrow -4m.{{m}^{4}}=128\Leftrightarrow {{m}^{5}}=-32\Rightarrow m=-2$

Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy $m=-2$ là giá trị cần tìm.

b) Tam giác ABC đều khi $AB=BC\Leftrightarrow A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}},\text{   }\left( 2 \right)$

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( \sqrt{-m};-{{m}^{2}} \right);\overrightarrow{BC}=\left( -2\sqrt{-m};0 \right),$ từ đó

$(2)\Leftrightarrow -m+{{m}^{4}}=-4m\Leftrightarrow {{m}^{4}}=-3m\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=0\text{     }  \\   m=-\sqrt[3]{3}  \\\end{matrix} \right.$

Đối chiếu với điều kiện (*) ta được $m=-\sqrt[3]{3}$ là giá trị cần tìm.

c) Tam giác ABC cân tại A nên để có một góc bằng ${{120}^{0}}$ thì $\widehat{BAC}={{120}^{0}}$

Gọi H là trung điểm của $BC\Rightarrow H\left( 0;-{{m}^{2}}-m-1 \right)$

Trong tam giác vuông HAB có

$\sin \widehat{HAB}=\sin {{60}^{0}}=\frac{BH}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \sqrt{3}AB=2BH=BC\Leftrightarrow 3A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}},\text{   (3)}$

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( \sqrt{-m};-{{m}^{2}} \right);\overrightarrow{BC}=\left( -2\sqrt{-m};0 \right),$ khi đó $(3)\Leftrightarrow 3\left( -m+{{m}^{4}} \right)=-4m\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=0\text{      }  \\   m=-\frac{1}{\sqrt[3]{3}}  \\\end{matrix} \right.$

Đối chiếu với điều kiện (*) ta được $m=-\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$ là giá trị cần tìm.

Bài tập 4: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+m-1,$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4mx=4x\left( {{x}^{2}}-m \right)\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{       }  \\   {{x}^{2}}=m\text{    }  \\\end{matrix} \right.$

Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình $y'=0$ có ba nghiệm phân biệt, tức là $m>0.(*)$

Với $m>0$ thì

$y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\Rightarrow y=m-1\text{                }  \\   x=\sqrt{m}\Rightarrow y=-{{m}^{2}}+m-1\text{  }  \\   x=-\sqrt{m}\Rightarrow y=-{{m}^{2}}+m-1  \\\end{matrix} \right.\xrightarrow{{}}A\left( 0;m-1 \right),B\left( \sqrt{m};-{{m}^{2}}+m-1 \right),C\left( -\sqrt{m};-{{m}^{2}}+m-1 \right)$

Ta nhận thấy A thuộc Oy, B; C đối xứng qua Oy nên tam giác ABC cân tại A.

Gọi H là trung điểm của $BC\Rightarrow H\left( 0;-{{m}^{2}}+m-1 \right)$

Diện tích tam giác ABC là ${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{AH.BC}{2}=\frac{AB.BC.AC}{4R}\Rightarrow R=\frac{A{{B}^{2}}}{2AH},\text{   (1)}$

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( \sqrt{m};-{{m}^{2}} \right);\overrightarrow{AH}=\left( 0;-{{m}^{2}} \right)\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   A{{B}^{2}}=m+{{m}^{4}}  \\   AH={{m}^{2}}\text{       }  \\\end{matrix} \right.$

Khi đó, $(1)\Leftrightarrow 2=\frac{m+{{m}^{4}}}{{{m}^{2}}}\Leftrightarrow {{m}^{3}}-2m+1=0\Leftrightarrow \left( m-1 \right)\left( {{m}^{2}}+m-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=1\text{           }  \\   m=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}  \\\end{matrix} \right.$

Đối chiếu với điều kiện (*) ta được $m=1;m=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ là các giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài tập 5: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+{{m}^{2}}\text{   (1)},$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4\left( m+1 \right)x=4x\left[ {{x}^{2}}-\left( m+1 \right) \right]\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{            }  \\   {{x}^{2}}=m+1\text{    }  \\\end{matrix} \right.$

Hàm số có ba điểm cực trị khi phương trình $y'=0$ có ba nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow m+1>0\Leftrightarrow m>-1.(*)$

Với $m\ne 0$ thì

$y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   {{x}_{1}}=0\Rightarrow {{y}_{1}}={{m}^{2}}\text{                   }  \\   {{x}_{2}}=\sqrt{m+1}\Rightarrow {{y}_{2}}=-2m-1\text{  }  \\   {{x}_{3}}=-\sqrt{m+1}\Rightarrow {{y}_{3}}=-2m-1  \\\end{matrix} \right.\xrightarrow{{}}A\left( 0;{{m}^{2}} \right),B\left( \sqrt{m+1};-2m-1 \right),C\left( -\sqrt{m+1};-2m-1 \right)$

Ta nhận thấy tam giác ABC luôn cân tại A. Để $\Delta ABC$ vuông cân thì phải vuông cân tại A.

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( \sqrt{m+1};-{{\left( m+1 \right)}^{2}} \right);\overrightarrow{AC}=\left( -\sqrt{m+1};-{{\left( m+1 \right)}^{2}} \right)$

Từ đó suy ra $AB\bot AC\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\Leftrightarrow -\left( m+1 \right)+{{\left( m+1 \right)}^{4}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m+1=0 \\  {} m+1=1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=-1  \\   m=0\text{  }  \\\end{matrix} \right.$

Đối chiếu với điều kiện (*) ta được $m=0$ là các giá trị cần tìm.

Bài tập 6: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+2\left( C \right).$ Tìm $m$ để hàm số có ba điểm cực trị tại A, B, C sao cho $BC=4OA$ trong đó A là điểm cực trị thuộc trục tung.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4\left( m+1 \right)x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\Rightarrow y=2\Rightarrow A\left( 0;2 \right)\text{            }  \\   {{x}^{2}}=m+1\text{                                    }  \\\end{matrix}(1). \right.$

Để hàm số có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow (1)$ có ba nghiệm phân biệt$\Leftrightarrow m+1>0\Leftrightarrow m>-1.$

Khi đó ta có: $x=\pm \sqrt{m+1}\Rightarrow y=-{{\left( m+1 \right)}^{2}}+2=-{{m}^{2}}-2m+1.$

$\Rightarrow B\left( \sqrt{m+1};-{{m}^{2}}-2m+1 \right);C\left( -\sqrt{m+1};-{{m}^{2}}-2m+1 \right).$

Theo giả thiết ta có: $BC=4OA\Leftrightarrow 2\sqrt{m+1}=4.2\Leftrightarrow \sqrt{m+1}=4\Leftrightarrow m=15\left( tm \right).$

Vậy $m=15$ là giá trị cần tìm.

Bài tập 7: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+2{{m}^{2}}+1\left( C \right)$. Tìm $m$ để hàm số có ba điểm cực trị tại A, B, C sao cho tam giác ABC vuông cân.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\Rightarrow y=2{{m}^{2}}+1\Rightarrow A\left( 0;2{{m}^{2}}+1 \right)\text{            }  \\   {{x}^{2}}=m\text{                                                            }  \\\end{matrix}(1). \right.$

Để hàm số có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow (1)$ có ba nghiệm phân biệt$m>0.$

Khi đó ta có: $x=\pm \sqrt{m}\Rightarrow y={{m}^{2}}+1\Rightarrow B\left( \sqrt{m};{{m}^{2}}+1 \right);C\left( -\sqrt{m};{{m}^{2}}+1 \right).$

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( \sqrt{m};-{{m}^{2}} \right);\overrightarrow{AC}=\left( -\sqrt{m};-{{m}^{2}} \right).$ Khi đó $A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}=m+{{m}^{4}}$ do vậy tam giác ABC cân tại A suy ra tam giác ABC vuông cân $\Leftrightarrow $ vuông cân tại $A\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$

$\Leftrightarrow -m+{{m}^{4}}=0\Leftrightarrow m\left( {{m}^{3}}-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=0\left( loai \right)  \\   m=1\text{          }  \\\end{matrix} \right..$

Vậy $m=1$ là giá trị cần tìm.

Bài tập 8: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+2m+1\left( C \right)$. Tìm $m$ để hàm số có ba điểm cực trị tại A, B, C có tung độ là ${{y}_{1}};{{y}_{2}};{{y}_{3}}$ thỏa mãn đẳng thức: ${{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}}=3.$

Lời giải chi tiết

+) Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4mx=4x\left( {{x}^{2}}-m \right)$

+) Để hàm số có 3 cực trị $\Leftrightarrow m>0.$

Khi đó, 3 điểm cực trị của hàm số là $A\left( 0;2m+1 \right),B\left( -\sqrt{m};2m+1-{{m}^{2}} \right),C\left( \sqrt{m};2m+1-{{m}^{2}} \right)$

Ta có: ${{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}}={{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}=-2{{m}^{2}}+6m+3=3\Leftrightarrow m=3.$

Vậy $m=3$ là giá trị cần tìm.

Bài tập 9: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+{{m}^{2}}+m\left( C \right)$. Tìm $m$ để hàm số có ba điểm cực trị tại A, B, C sao cho $2OA+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}=8$ với O là gốc tọa độ và A là điểm cực trị thuộc trục tung.

Lời giải chi tiết

+) Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4mx=4x\left( {{x}^{2}}-m \right)$

+) Để hàm số có 3 cực trị $\Leftrightarrow m>0.$

Khi đó, 3 điểm cực trị của hàm số là $A\left( 0;{{m}^{2}}+m \right),B\left( -\sqrt{m};m \right),C\left( \sqrt{m};m \right)$

+) Để $2OA+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}=8\Leftrightarrow 2\left( {{m}^{2}}+m \right)+2\left( m+{{m}^{2}} \right)=8$

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}+m=2\Leftrightarrow m=1\left( do\text{ }m>0 \right).$ Kết hợp điều kiện ta được $m=1$ là giá trị cần tìm.

Bài tập 10: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+{{m}^{2}}+1\left( C \right)$ và điểm $E\left( 0;-1 \right).$ Tìm $m$ để hàm số có cực đại tại A hai điểm cực tiểu tại B và C sao cho $\Delta BCE$ là tam giác đều.

Lời giải chi tiết

+) Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4\left( m+1 \right)x=4x\left[ {{x}^{2}}-\left( m+1 \right) \right]$

+) Để hàm số có 3 cực trị $\Leftrightarrow m+1>0\Leftrightarrow m>-1.$

+) Khi đó, 3 điểm cực trị của hàm số là $A\left( 0;{{m}^{2}}+1 \right),B\left( \sqrt{m+1};-2m \right),C\left( -\sqrt{m+1};-2m \right)$

$B{{C}^{2}}=4\left( m+1 \right);B{{E}^{2}}=m+1+{{\left( 2m-1 \right)}^{2}}=C{{E}^{2}}$

Do $BE=CE$ nên tam giác BCE đều$\Leftrightarrow BE=BC\Leftrightarrow 4\left( m+1 \right)=m+1+{{\left( 2m-1 \right)}^{2}}$

$\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-7m-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=2\text{   }  \\   m=-\frac{1}{4}  \\\end{matrix}\left( t/m \right) \right..$ Vậy $m=2;m=-\frac{1}{4}$ là các giá trị cần tìm.

.Bài tập 11:  Cho hàm số $y={{x}^{4}}-\left( m+1 \right){{x}^{2}}+1$. Giá trị của $m$ để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị là: A. $m>-1.$  B. $m<-1.$ C. $m\ge -1.$ D. $m\le -1.$

Lời giải chi tiết

Hàm số có 3 điểm cực trị $ab=1.\left[ -\left( m+1 \right) \right]<0\Leftrightarrow m>-1.$ Chọn A.

Bài tập 12: Cho hàm số $y={{x}^{4}}+\left( {{m}^{2}}-4m+3 \right){{x}^{2}}+2m-1$. Giá trị của $m$ để hàm số đã cho có một điểm cực trị là: A. $1<m<3.$  B. $1\le m\le 3.$ C. $\left[ \begin{matrix}   m>3  \\   m<1  \\\end{matrix}. \right.$               D. $\left[ \begin{matrix}   m\ge 3  \\   m\le 1  \\\end{matrix}. \right.$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=4{{x}^{3}}+2\left( {{m}^{2}}-4m+2 \right)x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{                         }  \\   {{x}^{2}}=\frac{-\left( {{m}^{2}}-4m+3 \right)}{2}  \\\end{matrix} \right..$

Hàm số có 1 điểm cực trị $ab={{m}^{2}}-4m+3\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m\ge 3  \\   m\le 1  \\\end{matrix} \right..$ Chọn D.

Bài tập 13: Cho hàm số $y=\left( m-1 \right){{x}^{4}}+\left( 2m-1 \right){{x}^{2}}+3$. Giá trị của $m$ để hàm số đã cho có một điểm cực trị là: A. $\frac{1}{2}<m<1.$  B. $\frac{1}{2}\le m<1.$ C. $\left[ \begin{matrix}   m>1  \\   m<\frac{1}{2}  \\\end{matrix} \right..$               D. $\left[ \begin{matrix}   m\ge 1  \\   m\le \frac{1}{2}  \\\end{matrix} \right..$

Lời giải chi tiết

Với $m=1\Rightarrow y={{x}^{2}}+3$ nên hàm số đã cho có một điểm cực trị

Với $m\ne 1$ để hàm số có 1 điểm cực trị$\Leftrightarrow ab=\left( m-1 \right)\left( 2m-1 \right)\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m>1  \\   m\le \frac{1}{2}  \\\end{matrix} \right..$

Kết hợp cả 2 trường hợp ta được $\left[ \begin{matrix}   m\ge 1  \\   m\le \frac{1}{2}  \\\end{matrix} \right.$là giá trị cần tìm. Chọn D.

Ví dụ 14: Tìm các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=m{{x}^{4}}+\left( 2m-1 \right){{x}^{2}}+m-2$ chỉ có một cực đại và không có cực tiểu. A. $\left[ \begin{matrix}   m\le 0  \\   m\ge \frac{1}{2}  \\\end{matrix} \right..$     B. $m\le 0$     C. $\left[ \begin{matrix}   m\le 0  \\   m>\frac{1}{2}  \\\end{matrix} \right..$                        D. $m\le \frac{1}{2}.$

Lời giải

TH1: Với $m=0,$ ta có $y=-{{x}^{2}}-2\Rightarrow x=0$ là điểm cực đại của hàm số.

TH2: Với $m\ne 0,$ ta có $y'=4m{{x}^{3}}+\left( 2m-1 \right)x=x\left( 4m{{x}^{2}}+2m-1 \right);\forall x\in \mathbb{R}.$

Phương trình $y'=0\Leftrightarrow x\left( 4m{{x}^{2}}+2m-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{              }  \\   4m{{x}^{2}}=1-2m  \\\end{matrix} \right..$

Để hàm số có một cực đại và không có cực tiểu$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   m<0\text{      }  \\   1-2m>0  \\\end{matrix}\Leftrightarrow m<0. \right.$ Vậy $m\le 0$. Chọn B.

Ví dụ 15: Cho hàm số $y=\left( {{m}^{2}}-2m \right){{x}^{4}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}+1$. Số giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ -100;100 \right]$ để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị là: A. 103.                               B. 100.                                    C. 101.                               D. 102.

Lời giải

Với ${{m}^{2}}-2m=0$ thì hàm số đã cho không thể có 3 điểm cực trị

Với ${{m}^{2}}-2m\ne 0$ để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị thì $ab=f\left( x \right)=\left( {{m}^{2}}-2m \right)\left( m-1 \right)<0.$

Lập bảng xét dấu cho $f\left( m \right)$ ta được $f\left( m \right)<0\Leftrightarrow m\in \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 1;2 \right).$

Kết hợp $\left\{ \begin{matrix}   m\in \mathbb{Z}\text{              }  \\   m\in \left[ -100;100 \right]  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $ có 100 giá trị nguyên của m. Chọn B.

Ví dụ 16: Cho hàm số $y=\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{4}}+\left( 2m-1 \right){{x}^{2}}+2m+1$. Giá trị của $m$ để hàm số có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu là A. $\frac{1}{2}<m<1.$    B. $-1<m<1.$                         C. $\left[ \begin{matrix}   m<-1\text{   }  \\   \frac{1}{2}<m<1  \\\end{matrix} \right..$                      D. $\left[ \begin{matrix}   -1<m<\frac{1}{2}  \\   m>1\text{        }  \\\end{matrix} \right..$

Lời giải

Hàm số có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   a={{m}^{2}}-1<0\text{                  }  \\   ab=\left( {{m}^{2}}-1 \right)\left( 2m-1 \right)<0  \\\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   {{m}^{2}}-1<0  \\   2m-1>0  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \frac{1}{2}<m<1.$ Chọn A.

Ví dụ 17: Cho hàm số $y=m{{x}^{4}}+\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{2}}+m-1$. Giá trị của $m$ để hàm số có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại là: A. $-1<m<1.$                    B. $-1<m<0.$                         C. $0<m<1.$                     D. $m<-1.$

Lời giải

Hàm số đã cho có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại khi

$\left\{ \begin{matrix}   m>0\text{                     }  \\   ab=m\left( {{m}^{2}}-1 \right)<0  \\\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   m>0\text{       }  \\   {{m}^{2}}-1<0  \\\end{matrix} \right. \right.\Leftrightarrow 0<m<1.$ Chọn C.

Ví dụ 18: Cho hàm số $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+2\left( a\ne 0 \right)$. Giá trị của a và b để đồ thị hàm số đạt cực trị tại điểm $A\left( 1;-2 \right)$ là: A. $a=4;b=-8.$                  B. $a=2;b=-6.$                       C. $a=-4;b=8.$                  D. $a=2;b=-4.$

Lời giải

Ta có $y'=4a{{x}^{3}}+2bx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\Rightarrow y=c  \\   {{x}^{2}}=\frac{-b}{2a}\text{        }  \\\end{matrix} \right..$

Hàm số đạt cực trị tại điểm $A\left( 1;-2 \right)$nên $\left\{ \begin{matrix}   \frac{-b}{2a}=1\text{          }  \\   a+b+2=-2  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   b=-2a\text{   }  \\   a+b=-4  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   a=4\text{  }  \\   b=-8  \\\end{matrix} \right..$ Chọn A.

Ví dụ 19: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số $y={{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}+1$có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân. A. $m=-\frac{1}{\sqrt[3]{9}}.$                                       B. $m=-1.$                        C. $m=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}.$                                             D. $m=1.$

Lời giải

Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{     }  \\   {{x}^{2}}=-m  \\\end{matrix} \right.$

Điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị là $-m>0\Leftrightarrow m<0.$

Khi đó ta có tọa độ 3 điểm cực trị là $A\left( 0;1 \right),B\left( \sqrt{-m};-{{m}^{2}}+1 \right),C\left( -\sqrt{-m};-{{m}^{2}}+1 \right)$

Do$A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}=-m+{{m}^{4}}$ nên tam giác ABC luôn cân tại A.

Do ABC luôn cân suy ra nó vuông cân tại A. Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\Leftrightarrow m+{{m}^{4}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=0\left( loai \right)  \\   m=-1\text{       }  \\\end{matrix} \right..$

Cách 2: Sử dụng công thức tính nhanh với $\widehat{BAC}={{90}^{0}}$ ta có: ${{\tan }^{2}}\frac{A}{2}=\frac{-8a}{{{b}^{3}}}\Leftrightarrow \frac{-8}{8{{m}^{3}}}=1\Leftrightarrow m=-1.$

Chọn B.

Ví dụ 20: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số $y={{x}^{4}}-2{{m}^{2}}{{x}^{2}}+1$có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân. A. $m=\pm \frac{1}{\sqrt[3]{9}}.$                                 B. $m=\pm \frac{1}{2}.$ C. $m=\pm 1.$           D. $m=\pm \frac{1}{\sqrt[3]{3}}.$

Lời giải

Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4{{m}^{2}}x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{   }  \\   {{x}^{2}}={{m}^{2}}  \\\end{matrix} \right.$

Điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị là ${{m}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne 0.$

Khi đó ta có tọa độ 3 điểm cực trị là $A\left( 0;1 \right),B\left( m;1-{{m}^{4}} \right),C\left( m;1-{{m}^{4}} \right)$

Do$A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}=-m+{{m}^{8}}$ nên tam giác ABC luôn cân tại A.

Do ABC luôn cân suy ra nó vuông cân tại A.

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\Leftrightarrow -m+{{m}^{6}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=0\left( l \right)\text{            }  \\   {{m}^{2}}=1\Leftrightarrow m=\pm 1  \\\end{matrix} \right..$ Chọn C.

Ví dụ 21: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+{{m}^{2}}\text{   }\left( C \right).$Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác vuông. A. $m=-1.$                        B. $m=0.$                              C. $m=1.$                         D. $m=2.$

Lời giải

Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4\left( m+1 \right)x=4x\left( {{x}^{2}}-m-1 \right)$

+) Để hàm số có 3 cực trị $\Leftrightarrow m+1>0\Leftrightarrow m>-1.$

Khi đó, 3 điểm cực trị của hàm số là $A\left( 0;{{m}^{2}} \right),B\left( -\sqrt{m+1};-2m-1 \right),C\left( \sqrt{m+1};-2m-1 \right)$

$\overrightarrow{AB}=\left( -\sqrt{m+1};-{{\left( m+1 \right)}^{2}} \right);\overrightarrow{AC}=\left( \sqrt{m+1};-{{\left( m+1 \right)}^{2}} \right)$

+) Do$AB=AC$ nên tam giác ABC vuông $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{4}}-\left( m+1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=-1\left( loai \right)  \\   m=0\left( t/m \right)\text{ }  \\\end{matrix} \right.$

Vậy $m=0$ là giá trị cần tìm. Chọn B.

Ví dụ 22: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+2m+{{m}^{4}}$. Điều kiện để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác đều là: A. $m=1.$                         B. $m=\pm \sqrt[3]{3}.$       C. $m=\sqrt[3]{3}.$          D. $m=\pm 1.$

Lời giải

Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{  }  \\   {{x}^{2}}=m  \\\end{matrix} \right.$

Điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị là $m>0.$

Khi đó ta có tọa độ 3 điểm cực trị là:$A\left( 0;2m+{{m}^{4}} \right),B\left( \sqrt{m};{{m}^{4}}-{{m}^{2}}+2m \right),C\left( -\sqrt{m};{{m}^{4}}-{{m}^{2}}+2m \right)$

Do$A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}=m+{{m}^{4}}$ nên tam giác ABC luôn cân tại A.

Tam giác ABC đều $\Leftrightarrow AB=BC\Leftrightarrow m+{{m}^{4}}=4m\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=\sqrt[3]{3}\text{      }  \\   m=0\left( loai \right)  \\\end{matrix} \right..$

Cách 2: Sử dụng công thức nhanh với $\widehat{BAC}={{60}^{0}}$ ta có: ${{\tan }^{2}}\frac{A}{2}=\frac{-8a}{{{b}^{3}}}\Leftrightarrow \frac{-8}{-8{{m}^{3}}}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow m=\sqrt[3]{3}.$

Chọn C.

Ví dụ 23: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+2{{m}^{2}}-4$. Giá trị của m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng $S=1$ là: A. $m=1.$                         B. $m=\pm \sqrt[3]{3}.$        C. $m=\sqrt[3]{3}.$          D. $m=\pm 1.$

Lời giải

Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{  }  \\   {{x}^{2}}=m  \\\end{matrix} \right.$

Điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị là: $m>0.$

Khi đó ta có tọa độ 3 điểm cực trị là:$A\left( 0;2{{m}^{2}}-4 \right),B\left( \sqrt{m};{{m}^{2}}-4 \right),C\left( -\sqrt{m};{{m}^{2}}-4 \right)$

Trung điểm của BC là $H\left( 0;{{m}^{2}}-4 \right).$ Do đó $S=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}\left| {{y}_{A}}-{{y}_{H}} \right|.\left| {{x}_{B}}-{{x}_{C}} \right|.$

$=\frac{1}{2}.\left| {{m}^{2}} \right|.2\sqrt{m}=1\Leftrightarrow {{m}^{2}}\sqrt{m}=1\Leftrightarrow m=1.$

Cách 2: Sử dụng công thức nhanh với ${{S}^{2}}=\frac{-{{b}^{5}}}{32{{a}^{3}}}={{m}^{5}}=1\Leftrightarrow m=1.$ Chọn A.

Ví dụ 24: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+2{{m}^{2}}-2$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích S thỏa mãn $1<S<2018.$ A. 19.                                 B. 20.                                      C. 2018.                             D. 2017.

Lời giải

Ta có: ${{S}^{2}}=\frac{-{{b}^{5}}}{32{{a}^{3}}}={{m}^{5}}\Rightarrow S={{m}^{2}}\sqrt{m}.$

Khi đó: $1<S<2018\Leftrightarrow 1<{{m}^{2}}\sqrt{m}<2018\Leftrightarrow 1<{{m}^{5}}<{{2018}^{2}}\Leftrightarrow 1<m<20,98$

Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ có 19 giá trị nguyên của tham số m. Chọn A.

Ví dụ 25: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+2m\left( C \right)$. Giá trị ${{m}_{0}}$ của tham số m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tại $A,B,C$ sao cho tam giác ABC có một góc bằng ${{120}^{0}}$ thỏa mãn: A. ${{m}_{0}}\in \left( 0;\frac{1}{2} \right).$              B. ${{m}_{0}}\in \left( \frac{1}{2};1 \right).$  C. ${{m}_{0}}\in \left( 1;2 \right).$                                    D. ${{m}_{0}}\in \left( 2;3 \right).$

Lời giải

Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{  }  \\   {{x}^{2}}=m  \\\end{matrix} \right.$

Để hàm số có CĐ,CT $\Leftrightarrow m>0.$  Khi đó gọi$A\left( 0;2m \right)B\left( \sqrt{m};2m-{{m}^{2}} \right),C\left( -\sqrt{m};2m-{{m}^{2}} \right)$

Gọi H là trung điểm của BC ta có$H\left( 0;2m-{{m}^{2}} \right).$ Dễ thấy tam giác ABC cân tại A.

$\Rightarrow \widehat{BAC}={{120}^{0}}$ có đường trung tuyến AH do đó: $\widehat{BAH}={{60}^{0}}.$

Khi đó ta có: $\tan \widehat{BAH}=\frac{BH}{AH}=\left| \frac{\sqrt{m}}{{{m}^{2}}} \right|=\frac{1}{m\sqrt{m}}=\sqrt{3}\Rightarrow {{m}^{3}}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow m=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}.$

Vậy $m=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\in \left( \frac{1}{2};1 \right)$ là giá trị cần tìm. Chọn B.

Ví dụ 26: Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+1-m$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực tâm. A. $m=0.$                         B. $m=2.$                              C. $m=1.$                         D. Không tồn tại m.

Lời giải

Ta có: $y'=4{{x}^{3}}-4mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{  }  \\   {{x}^{2}}=m  \\\end{matrix} \right.$. Để hàm số có ba điểm cực trị thì $m>0\text{   (1)}$

Khi đó, tọa độ các điểm cực trị là:$A\left( 0;1-m \right),B\left( \sqrt{m};-{{m}^{2}}-m+1 \right),C\left( -\sqrt{m};-{{m}^{2}}-m+1 \right)$

Ta có: $\overrightarrow{OA}\left( 0;1-m \right),\overrightarrow{OB}\left( \sqrt{m};-{{m}^{2}}-m+1 \right),\overrightarrow{BC}\left( -2\sqrt{m};0 \right),\overrightarrow{AC}\left( -\sqrt{m};-{{m}^{2}} \right)$

Vì O là trực tâm nên $\left\{ \begin{matrix}   \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{BC}=0  \\   \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{AC}=0  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   0=0\text{                                                   }  \\   \sqrt{m}.\left( -\sqrt{m} \right)+\left( -{{m}^{2}}-m+1 \right)\left( -{{m}^{2}} \right)=0  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m=0;m=\pm 1\text{  (2)}$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow m=1.$ Chọn C.

Ví dụ 27: Đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+m$có 3 điểm cực trị và đường tròn đi qua 3 điểm cực trị này có bán kính bằng 1 thì giá trị của m là A. $m=1;m=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}.$                          B. $m=-1;m=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}.$      C. $m=1;m=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}.$                                    D. $m=1;m=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}.$

Lời giải

Hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+m=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\Rightarrow a=1;b=-2m;c=m.$

Ta có $y'=4{{x}^{3}}-4mx;y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=0\text{  }  \\   {{x}^{2}}=m  \\\end{matrix} \right.$. Để hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi $m>0$

Sử dụng công thức giải nhanh ${{R}_{\Delta ABC}}={{R}_{0}}$ với ${{R}_{0}}=\frac{{{b}^{3}}-8a}{8\left| a \right|b}\Rightarrow 1=\frac{-8{{m}^{3}}-8}{-16m}\Leftrightarrow {{m}^{3}}-2m+1=0.$

Cách 2: $A\left( 0;m \right),B\left( -\sqrt{m};m-{{m}^{2}} \right),C\left( \sqrt{m};m-{{m}^{2}} \right)\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}=\frac{\left( {{m}^{4}}+m \right).2\sqrt{m}}{4.m\sqrt{m}}=1\Leftrightarrow {{m}^{2}}+1=2m.$

Kết hợp với điều kiện $m>0\Rightarrow m=1;m=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ là giá trị cần tìm. Chọn C.