Bài tập 1: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$ cho ba điểm $A\left( 0;1;1 \right);B\left( 0;0;-1 \right);C\left( 1;2;-1 \right)D\left( -1;-2;-3 \right)$và mặt cầu (S) có phương trình ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=4$ . Tìm điểm D trên mặt phẳng (S) sao cho thể tích tứ diện ABCD lớn nhất. |
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu (S) có tâm $I\left( 1;0;-1 \right)$ và bán kính R = 2.
Ta có: ${{V}_{ABCD}}=\frac{1}{3}d\left( D;\left( ABC \right) \right).{{S}_{ABC}}$ lớn nhất $\Leftrightarrow d\left( D;\left( ABC \right) \right)$ lớn nhất
Gọi ${{D}_{1}}{{D}_{2}}$ là đường kính của mặt cầu (S) và vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$
Khi đó$\Leftrightarrow d{{\left( D;\left( ABC \right) \right)}_{\max }}\Leftrightarrow D$ trùng với 1 trong 2 điểm ${{D}_{1}}$ hoặc ${{D}_{2}}$
Đường thẳng ${{D}_{1}}{{D}_{2}}$qua $I\left( 1;0;-1 \right)$ và có VTCP là $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{{{n}_{\left( ABC \right)}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right]=\left( -2;2;-1 \right)$
Phương trình mặt phẳng$\left( ABC \right):2x-2y+z+1=0$.
Suy ra ${{D}_{1}}{{D}_{2}}:\left\{ \begin{array} {} x=1+2t \\ {} y=-2t \\ {} z=-1+t \\ \end{array} \right.$, tọa độ ${{D}_{1}};{{D}_{2}}$là nghiệm của hệ phương trình
${{D}_{1}}{{D}_{2}}:\left\{ \begin{array} {} x=1+2t \\ {} y=-2t \\ {} z=-1+t \\ {} {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=4 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array} {} t=\frac{2}{3} \\ {} t=\frac{-2}{3} \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{D}_{1}}\left( \frac{7}{3};-\frac{4}{3};-\frac{1}{3} \right);{{D}_{1}}\left( -\frac{1}{3};-\frac{4}{3};-\frac{5}{3} \right)$
Do $d\left( {{D}_{1}};\left( ABC \right) \right)>d\left( {{D}_{2}};\left( ABC \right) \right)\Rightarrow D\left( \frac{7}{3};-\frac{4}{3};-\frac{1}{3} \right)$ là điểm cần tìm.
.Bài tập 2: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$ cho điểm $A\left( 1;2;-3 \right)$và mặt phẳng $(P):2x+2y-z+9=0$ . Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng$(Q):3x+4y-4z+5=0$ cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ tại B. Điểm M nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc vuông và độ dài MB lớn nhất. Độ dài MB là:
A. $MB=\sqrt{5}.$ $MB=\sqrt{5}.$ B. $MB=\frac{\sqrt{5}}{2}.$ C. $MB=\frac{\sqrt{41}}{2}.$ D. $MB=\sqrt{41}.$ |
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng d đi qua $A\left( 1;2;-3 \right)$và vuông góc $(Q)$ có phương trình là $\left\{ \begin{array} {} x=1+3t \\ {} y=2+4t \\ {} z=-3-4t \\ \end{array} \right..$
Vì $B=d\cap \left( P \right)\Rightarrow B\left( 1+3t;2+4t;-3-4t \right)\in \left( P \right)$ suy ra $t=-1\Rightarrow B\left( -2;-2;1 \right).$
Ta có $\left\{ \begin{array} {} M\in \left( P \right) \\ {} MA\bot MB \\ \end{array} \right.\Rightarrow M$thuộc đường tròn giao tuyến của $\left( P \right)$và mặt cầu $\left( S \right)$ (tâm I, đường kính AB).
Phương trình mặt cầu$\left( S \right)$ là ${{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=\frac{41}{4}$ và $d\left( I;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2.\left( -\frac{1}{2} \right)+2.0+1+9 \right|}{3}=3$.
Khi đó $BK=\sqrt{I{{B}^{2}}-{{d}^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$, với K là tâm đường tròn giao tuyến của $\left( P \right)$và $\left( S \right)$.
Để MB lớn nhất$\Leftrightarrow $ MB là đường kính đường tròn giao tuyến$\Rightarrow MB=2BK=\sqrt{5}$. Chọn A.
Bài tập 3: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$ cho điểm $A\left( 1;2;-3 \right)$và mặt phẳng $(P):2x+2y-z+9=0$ . Đường thẳng d đi qua A và có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left( 3;4;-4 \right)$cắt $\left( P \right)$ tại điểm B. Điểm M thay đổi trong $\left( P \right)$sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới góc $90{}^\circ $. Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các điểm sau?
A. $J\left( -3;2;7 \right).$ B. $K\left( 3;0;15 \right).$ C. $H\left( -2;-1;3 \right).$ D. $I\left( -1;-2;3 \right).$ |
Lời giải chi tiết:
Phương trình đường thẳng $d:\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{4}=\frac{z+3}{-4}$. Vì $B\in d\Rightarrow B\left( 3b+1;4b+2;-4b-3 \right).$
Mà$B=d\cap \left( P \right)$ suy ra $2\left( 3b+1 \right)+2\left( 4b+2 \right)+4b+3+9=0\Leftrightarrow b=-1\Rightarrow B\left( -2;-2;1 \right).$
Gọi là hình chiếu của A trên $\left( P \right)$$\Rightarrow A{A}':\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+3}{-1}\Rightarrow {A}'\left( -3;-2;-1 \right).$
Theo bài ra, ta có $M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}\Leftrightarrow M{{B}^{2}}=A{{B}^{2}}-M{{A}^{2}}\le A{{B}^{2}}-A{{{A}'}^{2}}={A}'{{B}^{2}}.$
Độ dài MB lớn nhất khi $M\equiv {A}'\Rightarrow MB:\left\{ \begin{array} {} x=-2+t \\ {} y=-2 \\ {} z=1+2t \\ \end{array} \right.\Rightarrow I\left( -1;-2;3 \right)\in MB$. Chọn D.
Bài tập 4: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$ cho mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ có tâm $I\left( 2;1;1 \right)$ bán kính bằng 4 và mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right)$có tâm$J(2;1;5)$ bán kính bằng 2. $\left( P \right)$là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right),\left( {{S}_{2}} \right)$. Đặt M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm O đến $\left( P \right)$. Giá trị M + m bằng
A. 8. B. $8\sqrt{3}.$ C. 9 D. $\sqrt{15}.$ |
Lời giải chi tiết:
Do $IJ=4>{{R}_{1}}+{{R}_{2}}$ nên 2 mặt cầu cắt nhau.
Giả sử $IJ$cắt $\left( P \right)$tại M ta có $\frac{MJ}{MI}=\frac{{{R}_{2}}}{{{R}_{1}}}=2\Rightarrow $J là trung điểm của MI
Suy ra $M\left( 2;1;9 \right)$ . Khi đó $\left( P \right):a\left( x-2 \right)+b\left( y-1 \right)+c\left( z-9 \right)=0\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0 \right)$
Mặt khác $d\left( I;\left( P \right) \right)=4\Leftrightarrow \frac{\left| 8c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=4\Leftrightarrow \frac{\left| 2c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=1$
Do đó $c\ne 0$ chọn $c=1\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=3$
Đặt $a=\sqrt{3}\sin t;b=\sqrt{3}\cot t\Rightarrow d\left( O;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2a+b+9 \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{\left| 2a+b+9 \right|}{2}=\frac{\left| 2\sqrt{3}\sin t+\sqrt{3}\cot t+9 \right|}{2}$
Mặt khác $\begin{array} {} -\sqrt{12+3}\le 2\sqrt{3}\sin t+\sqrt{3}\cot t\le \sqrt{12+3}\Rightarrow \frac{9-\sqrt{15}}{2}\le {{d}_{0}}\le \frac{\sqrt{15}+9}{2}\Rightarrow M+m=9. \\ {} \\ \end{array}$ Chọn C.
Bài tập 5: (Đề thi thử nghiệm Bộ GD{}ĐT 2017) Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z-3=0$ và mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y-2z+5=0$ . Giả sử điểm $M\in \left( P \right)$và $N\in \left( S \right)$sao cho $\overrightarrow{MN}$cùng phương với véc tơ $\overrightarrow{u}\left( 1;0;1 \right)$ và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN.
A. $MN=3.$ B. $MN=1+2\sqrt{2}.$ C. $MN=3\sqrt{2}.$ D. $MN=14.$ |
Lời giải chi tiết:
Ta có: $(P):x-2y+2z-3=0$và $\left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1$
Gọi $\overrightarrow{MN}=k\left( 1;0;1 \right)\Rightarrow \sin \left( \widehat{MN;\left( P \right)} \right)=\cos \left( \overrightarrow{{{u}_{MN}}};\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right)=\frac{\left| 1+2 \right|}{\sqrt{2}.\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \widehat{MN;\left( P \right)}=45{}^\circ $
Gọi H là hình chiếu của M trên $\left( P \right)$ khi đó $MN\sin 45{}^\circ =MH$
Do đó $MN=MH\sqrt{2}$lớn nhất $\Leftrightarrow M{{H}_{\max }}=d\left( I;\left( P \right) \right)+R=2+1=3$
Suy ra $M{{N}_{\max }}=3\sqrt{2}$ . Chọn C.
Bài tập 6: Trong không gian hệ tọa độ $Oxyz$cho mặt phẳng $(P):x+y-z-3=0$ và hai điểm $A\left( 1;1;1 \right);B\left( -3;-3;-3 \right)$. Mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với $\left( P \right)$ tại điểm C. Biết rằng C luôn thuộc đường tròn cố định. Tính bán kính đường tròn đó.
A. $R=4.$ B. $R=6.$ C. $R=\frac{2\sqrt{33}}{3}.$ D. $R=\frac{2\sqrt{11}}{3}.$ |
Lời giải chi tiết:
Phương trình đường thẳng AB là: $\left\{ \begin{array} {} x=t \\ {} y=t \\ {} z=t \\ \end{array} \right..$
Suy ra $M\left( 3;3;3 \right)$ là giao điểm của AB và mặt phẳng $\left( P \right)$khi đó MC là tiếp tuyến của mặt cầu $\left( S \right)$ .
Theo tính chất phương tích ta có: $MA.MB=M{{C}^{2}}\Rightarrow M{{C}^{2}}=2\sqrt{3}.6\sqrt{3}=36$
Do đó tập hợp điểm C là đường tròn tâm $M\left( 3;3;3 \right)$ bán kính $R=6.$ . Chọn B.
Bài tập 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$cho mặt phẳng $(P):x+2y+2z+18=0$ , M là điểm di chuyển trên mặt phẳng $\left( P \right)$; N là điểm nằm trên tia OM sao cho $\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}=24$. Tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ N đến mặt phẳng $\left( P \right)$.
|
Lời giải chi tiết:
Gọi $N\left( a;b;c \right)$ thì $ON=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$
Nên $OM=\frac{24}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\frac{24}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.\overrightarrow{ON}=\frac{24}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\left( a;b;c \right)$
Lại có $M\in \left( P \right)\Rightarrow 24\left[ \frac{a}{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}+\frac{2b}{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}+\frac{2c}{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)} \right]+18=0$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+\frac{4a}{3}+\frac{8b}{3}+\frac{8c}{3}=0\Rightarrow N\in \left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+\frac{4x}{3}+\frac{8y}{3}+\frac{8z}{3}=0;$
$\Rightarrow I\left( \frac{-2}{3};\frac{-4}{3};\frac{-4}{3} \right);R=2$. Khi đó $d{{\left( N;\left( P \right) \right)}_{\min }}=d\left( N;\left( P \right) \right)-R=2$. Chọn C.
Bài tập 8: Cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=9$ . Điểm $M\left( 1;0;1 \right)$ di động trên $\left( S \right)$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| 2x+2y-z+16 \right|.$
A. 6. B. 3. C. 24. D. 2. |
Lời giải chi tiết:
Mặt cầu $\left( S \right)$có tâm$I\left( 2;-1;3 \right)$ , bán kính R = 3. Xét mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y-z+16=0$
Đường thẳng $\Delta $ qua I và vuông góc với $\left( P \right)$ có phương trình $x=2+2t,y=-1+2t,z=3-t$
Cho $\Delta \cap \left( S \right)\Rightarrow \Delta $ và $\left( S \right)$ cắt nhau tại 2 điểm: $A\left( 0;-3;4 \right);B\left( 4;1;2 \right).$
Ta có $d\left( A,\left( P \right) \right)=2,d\left( B,\left( P \right) \right)=8$
Lấy $M\left( x;y;z \right)\in \left( S \right)\Rightarrow d\left( M;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2x+2y-z+16 \right|}{3}=\frac{1}{3}P$
Ta có: $d\left( A;\left( P \right) \right)\le d\left( M;\left( P \right) \right)\le d\left( B;\left( P \right) \right)\Leftrightarrow 2\le \frac{P}{3}\le 8\Leftrightarrow 6\le P\le 24$.
Vậy ${{P}_{\min }}=6$ khi $x=0,y=-3,z=4$. Chọn A.
Bài tập 9: Trong không gian hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( 0;1;1 \right),B\left( 3;0;-1 \right),C\left( 0;21;-19 \right)$và mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1$ . $M\left( a;b;c \right)$ là điểm thuộc mặt cầu $\left( S \right)$sao cho biểu thức $T=3M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a + b + c.
A. $a+b+c=0.$ B. $a+b+c=12.$ C. $a+b+c=\frac{12}{5}.$ D. $a+b+c=\frac{14}{5}.$ |
Lời giải chi tiết:
Gọi $I\left( x;y;z \right)$ là điểm thỏa mãn $3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$
Khi đó: $\left\{ \begin{array} {} 3\left( 0-{{x}_{1}} \right)+2\left( 3-{{x}_{1}} \right)+\left( 0-{{x}_{1}} \right)=0 \\ {} 3\left( 1-{{y}_{1}} \right)+2\left( 0-{{y}_{1}} \right)+\left( 21-{{y}_{1}} \right)=0 \\ {} 3\left( 1-{{z}_{1}} \right)+2\left( -1-{{z}_{1}} \right)+\left( -19-{{z}_{1}} \right)=0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow I\left( 1;4;-3 \right)$
Ta có: $T=3M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=3{{\overrightarrow{MA}}^{2}}+2{{\overrightarrow{MB}}^{2}}+{{\overrightarrow{MC}}^{2}}$
$\Rightarrow T=3{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MC}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}=6M{{I}^{2}}+2\overrightarrow{MI}\left( 3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC} \right)+3I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}$
$=6M{{I}^{2}}+3I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}+I{{C}^{2}}$nhỏ nhất $\Leftrightarrow $MI nhỏ nhất.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $K\left( 1;1;1 \right)$ $\Rightarrow I:\left\{ \begin{array} {} x=1 \\ {} y=1+3t \\ {} z=1-4t \\ \end{array} \right.$. Cho $KI\cap \left( S \right)\Rightarrow \left[ \begin{array} {} {{M}_{1}}\left( 1;\frac{8}{5};\frac{1}{5} \right) \\ {} {{M}_{2}}\left( 1;\frac{2}{5};\frac{9}{5} \right) \\ \end{array} \right.$
Tính ${{M}_{1}}I=4;{{M}_{2}}I=6\Rightarrow {{M}_{1}}$ là điểm thỏa mãn yêu cầu nên $a+b+c=\frac{14}{5}.$ Chọn D.
Bài tập 10: Trong không gian hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right)$với $a\ge 4,b\ge 5,c\ge 6$ và mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính bằng $\frac{3\sqrt{10}}{2}$ ngoại tiếp tứ diện OABC. Khi tổng $OA+OB+OC$ đạt giá trị nhỏ nhất thì mặt cầu $\left( S \right)$ tiếp xúc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?
|
Lời giải chi tiết:
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $O.ABC$ là $R=\frac{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}{2}=\frac{3\sqrt{10}}{2}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=90.$
Ta có $P=OA+OB+OC=a+b+c$. Đặt $m=a-4\ge 0,n=b-5\ge 0,p=c-6\ge 0.$
Khi đó ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{\left( m+4 \right)}^{2}}+{{\left( n+5 \right)}^{2}}+{{\left( p+6 \right)}^{2}}={{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{p}^{2}}+8m+10n+12p+77=90.$
$T={{\left( m+n+p \right)}^{2}}+12\left( m+n+p \right)={{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{p}^{2}}+8m+10n+12p+2\left( mn+np+pm+2m+n \right).$
Vì ${{m}^{2}}+{{n}^{2}}+{{p}^{2}}+8m+10n+12p=13$và $m,n,p\ge 0$nên ${{\left( m+n+p \right)}^{2}}+12\left( m+n+p \right)-13\ge 0.$
$\Leftrightarrow m+n+p\ge 1\Leftrightarrow a+b+c\ge 16\Rightarrow {{\left\{ OA+OB+OC \right\}}_{\min }}=16.$ Dấu “ = ” xảy ra $\Leftrightarrow a=4,b=5,c=7$.
Tâm của mặt cầu $\left( S \right)$ là $I\left( \frac{a}{2};\frac{b}{2};\frac{c}{2} \right)\Rightarrow I\left( 2;\frac{5}{2};\frac{7}{2} \right)\Rightarrow d\left( I;{{\left( P \right)}_{D}} \right)=\frac{3\sqrt{10}}{2}.$Chọn D.
TOÁN LỚP 12