Bài tập cắt ghép lò xo có đáp án chi tiết

BÀI TẬP CẮT, GHÉP, GIỮ LÒ XO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT:

Lời giải chi tiết

Chiều dài phần ngắn hơn là $\frac{4}{9}\ell $.

Phần ngắn nhất có độ cứng là ${k}'.\frac{4}{9}\ell =k.\ell \Rightarrow {k}'=\frac{9}{4}k$

Khi đó ${T}'=2\pi \sqrt{\frac{m}{\frac{9}{4}k}}=\frac{2}{3}T$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${\ell }'=\frac{3}{4}\ell \Rightarrow {k}'.\frac{3}{4}\ell =k.\ell \Rightarrow {k}'=\frac{4}{3}k$

Mặt khác ${T}'=2\pi \sqrt{\frac{2m}{\frac{4}{3}k}}=T\sqrt{\frac{3}{2}}$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{k}_{1}}.\ell ={{k}_{2}}\left( \ell -10 \right)={{k}_{3}}\left( \ell -20 \right)=p$

Khi đó ${{T}_{1}}=2\pi \sqrt{\frac{m}{{{k}_{1}}}}=2\pi \sqrt{\frac{m\ell }{p}}$, tương tự  ${{T}_{2}}=2\pi \sqrt{\frac{m\left( \ell -10 \right)}{p}};{{T}_{3}}=2\pi \sqrt{\frac{m\left( \ell -20 \right)}{p}}$

Suy ra $\frac{{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}}=\sqrt{\frac{\ell }{\ell -10}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\Rightarrow 1-\frac{10}{\ell }=\frac{3}{4}\Rightarrow \ell =40cm$.

Lại có  $\frac{{{T}_{1}}}{{{T}_{3}}}=\sqrt{\frac{\ell }{\ell -20}}=\sqrt{\frac{40}{20}}=\sqrt{2}\Rightarrow {{T}_{3}}=\frac{{{T}_{1}}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}=1,41\,s$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Gọi k là độ cứng khi ghép nối tiếp 2 lò xo với nhau

Ta có: $\frac{1}{k}=\frac{1}{{{k}_{1}}}+\frac{1}{{{k}_{2}}}\Rightarrow T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{m\left( \frac{1}{{{k}_{1}}}+\frac{1}{{{k}_{2}}} \right)}$.

Theo giả thiết: ${{T}_{1}}=2\pi \sqrt{\frac{m}{{{k}_{1}}}};{{T}_{2}}=2\pi \sqrt{\frac{m}{{{k}_{2}}}}\Rightarrow {{T}^{2}}=T_{1}^{2}+T_{2}^{2}\Rightarrow T=\sqrt{T_{1}^{2}+T_{2}^{2}}=2\,\,s$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\frac{{{T}'}}{T}=\sqrt{2}=\sqrt{\frac{k}{{{k}'}}}\Rightarrow {k}'=2k=k+k$

Do đó cần 2 lò xo ghép song song và mắc với vật. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Gọi k là độ cứng khi ghép song song 2 lò xo với nhau

Ta có: $k={{k}_{1}}+{{k}_{2}}\Rightarrow T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{m}{{{k}_{1}}+{{k}_{2}}}}$.

Theo giả thiết: ${{T}_{1}}=2\pi \sqrt{\frac{m}{{{k}_{1}}}};{{T}_{2}}=2\pi \sqrt{\frac{m}{{{k}_{2}}}}\Rightarrow \frac{1}{{{T}^{2}}}=\frac{1}{T_{1}^{2}}+\frac{1}{T_{2}^{2}}\Rightarrow T=\frac{{{T}_{1}}{{T}_{2}}}{\sqrt{T_{1}^{2}+T_{2}^{2}}}=0,288\,\,s$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\Rightarrow k\sim \frac{1}{T}$

Khi lò xo có độ cứng ${{k}_{1}}\Rightarrow {{k}_{1}}\sim \frac{1}{T_{1}^{2}}$

Khi lò xo có độ cứng ${{k}_{2}}\Rightarrow {{k}_{2}}\sim \frac{1}{T_{2}^{2}}$

Khi lò xo có độ cứng k với $k=3{{k}_{1}}+2{{k}_{2}}\Rightarrow \frac{1}{{{T}^{2}}}=\frac{3}{T_{1}^{2}}+\frac{2}{T_{2}^{2}}\Leftrightarrow T=0,85\,\,s$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Khi ghép hai lò xo song song $\Rightarrow k=18N/m\Rightarrow {{k}_{1}}+{{k}_{2}}=18\left( 1 \right)$

Khi ghép nối tiếp hai lò xo $\Rightarrow {k}'=4\left( N/m \right)$

$\Rightarrow \frac{1}{{{k}'}}=\frac{1}{{{k}_{1}}}+\frac{1}{{{k}_{2}}}\Leftrightarrow {k}'=\frac{{{k}_{1}}{{k}_{2}}}{{{k}_{1}}+{{k}_{2}}}\Leftrightarrow \frac{{{k}_{1}}{{k}_{2}}}{{{k}_{1}}+{{k}_{2}}}=4\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} {{k}_{1}}=6\left( N/m \right) \\ {} {{k}_{2}}=12\left( N/m \right) \\ \end{array} \right.$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

$l=\frac{{{T}_{AC}}}{{{T}_{CB}}}=\frac{2\pi \sqrt{\frac{{{m}_{AC}}}{{{k}_{AC}}}}}{2\pi \sqrt{\frac{{{m}_{CB}}}{{{k}_{CB}}}}}=\sqrt{\frac{1}{3}\frac{{{k}_{CB}}}{{{k}_{AC}}}}=\sqrt{\frac{1}{3}\frac{AC}{CB}}\Rightarrow AC=3CB\Rightarrow \frac{CB}{AB}=\frac{1}{4}$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

$\left\{ \begin{array}{} \Delta {{\ell }_{o1}}=\Delta {{\ell }_{o2}}=0,05m \\ {} {{k}_{1}}={{k}_{2}}=\frac{{{k}_{o}}{{\ell }_{o}}}{{{\ell }_{1}}}=2{{k}_{o}}=240N/m \\ {} {{F}_{1}}={{k}_{1}}\left( \Delta {{\ell }_{o1}}+x \right)=240.0,08=19,2N \\ \end{array} \right.$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có $k=\frac{mg}{\Delta {{\ell }_{o}}}=\frac{0,2.10}{0,08}=25N/m$ nên $\left\{ \begin{array}{} \Delta {{\ell }_{1}}+\Delta {{\ell }_{2}}=0,22 \\ {} \Delta {{\ell }_{1}}-\Delta {{\ell }_{2}}=\frac{mg}{k}=0,08 \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{} \Delta {{\ell }_{1}}=0,15m \\ {} \Delta {{\ell }_{2}}=0,07m \\ \end{array} \right.$ $\Rightarrow OA=25+15=40cm$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Theo bài ra: ${{\text{W}}_{2}}=0,9{{\text{W}}_{1}}\Leftrightarrow {{k}_{2}}A_{2}^{3}=0,9{{k}_{1}}A_{1}^{2}$

Mặt khác, ngay trước và sau khi giữ cố định độ lớn lực đàn hồi cực đại bằng nhau: ${{k}_{1}}{{A}_{1}}={{k}_{2}}{{A}_{2}}$.

Từ đó suy ra ${{A}_{2}}=0,9{{A}_{1}}$, tức là biên độ giảm 10%. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: $T=\frac{\pi }{5}\left( s \right),\Delta t=T+\frac{T}{6}$ do đó sau khi thả vật $\frac{7\pi }{30}s$ thì $x=\frac{A}{2}$ và ${k}'=2k$.

Cách 1: Li độ mới của vật là ${x}'=\frac{x}{2}=\frac{A}{4}$

Áp dụng công thức liên hệ để ý vận tốc 2 trường hợp là bằng nhau và ${\omega }'=\sqrt{\frac{{{k}'}}{m}}$ ta có:

$\left\{ \begin{array}{} {{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}} \\ {} {{{{x}'}}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{{{\omega }'}}^{2}}}={{{{A}'}}^{2}} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow {{\omega }^{2}}\left( {{A}^{2}}-{{x}^{2}} \right)={{{\omega }'}^{2}}\left( {{{{A}'}}^{2}}-{{{{x}'}}^{2}} \right)\Leftrightarrow {{A}^{2}}-{{\left( \frac{A}{2} \right)}^{2}}=2\left[ {{{{A}'}}^{2}}-{{\left( \frac{A}{4} \right)}^{2}} \right]$

$\Leftrightarrow {A}'=\frac{A\sqrt{7}}{4}=2\sqrt{7}cm$.

Cách 2: Sử dụng định luật bảo toàn cơ năng

Cơ năng ban đầu: ${{\text{W}}_{0}}=\frac{1}{2}k{{A}^{2}}$

Thế năng của lò xo phân bố đều trên cả lò xo nên ta giữ $\frac{1}{2}$ lần chiều dài lò xo thế năng sẽ mất đi $\frac{1}{2}$ lần.

Thế năng bị mất: ${{\text{W}}_{loss}}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}k{{x}^{2}}=\frac{1}{4}.k{{\left( \frac{A}{2} \right)}^{2}}=\frac{\text{W}}{8}$

Suy ra cơ năng còn: ${{\text{W}}_{c}}={{\text{W}}_{0}}-{{\text{W}}_{loss}}=\frac{7{{\text{W}}_{0}}}{8}$ đây sẽ là cơ năng toàn phần của con lắc mới.

Cơ năng của con lắc mới: ${{\text{W}}_{2}}=\frac{1}{2}.{k}'{{{A}'}^{2}}=\frac{1}{2}\left( 2k \right).{{{A}'}^{2}}=k{{{A}'}^{2}}=\frac{7k{{A}^{2}}}{16}\Rightarrow {A}'=2\sqrt{7}cm$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Chiều dài lò xo tại thời điểm giữ vật là ${{\ell }_{0}}$, chiều dài lò xo sau khi giữ vật (từ vật đến điểm bị giữ) là $\ell =\frac{{{\ell }_{0}}}{4}$ suy ra độ cứng ${k}'=4k$

Năng lượng bị mất đi ${{E}_{loss}}=\frac{3}{4}\frac{k{{x}^{2}}}{2}=0$ (do vật ở VTCB nên $x=0$).

Theo định luật bảo toàn năng lượng $\frac{1}{2}k{{A}^{2}}=\frac{1}{2}{k}'{{{A}'}^{2}}\Rightarrow {A}'=A\sqrt{\frac{k}{{{k}'}}}=\frac{A}{2}$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Chiều dài lò xo tại thời điểm giữ vật là ${{\ell }_{0}}$, chiều dài lò xo sau khi giữ vật (từ vật đến điểm bị giữ) là $\ell =0,6{{\ell }_{0}}$ suy ra độ cứng ${k}'=\frac{5}{3}k$.

Năng lượng bị mất đi ${{E}_{loss}}=0,4\frac{k{{x}^{2}}}{2}=0$.

Theo định luật bảo toàn năng lượng $\frac{1}{2}k{{A}^{2}}=\frac{1}{2}k'{{{A}'}^{2}}\Rightarrow {A}'=A\sqrt{\frac{k}{{{k}'}}}=A\sqrt{\frac{3}{5}}=\frac{A\sqrt{15}}{5}$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Chiều dài lò xo tại điểm giữ vật là ${{\ell }_{0}}$, chiều dài lò xo sau khi giữ vật là $\ell =\frac{{{\ell }_{0}}}{3}$. Suy ra độ cứng ${k}'=3k$

Năng lượng bị mất đi ${{E}_{loss}}=\frac{2}{3}{{E}_{t}}=\frac{2}{3}.E=\frac{2E}{3}$.

Năng lượng còn lại ${E}'=\frac{E}{3}.$

Theo định luật bảo toàn năng lượng $\frac{1}{3}.\frac{1}{2}k{{A}^{2}}=\frac{1}{2}{k}'{{{A}'}^{2}}\Rightarrow {A}'=A\sqrt{\frac{k}{{{k}'}}.\frac{1}{3}}=\frac{A}{3}.$ Chọn C.

Lời giải chi tiết

Chú ý đầu cố định là đầu B.

Chiều dài sau đó của lò xo là $\ell =OC=\frac{2{{\ell }_{0}}}{3}$ suy ra độ cứng ${k}'=\frac{3}{2}k.$

Do ${{E}_{}}=\frac{16}{9}{{E}_{t}}\Rightarrow {{E}_{t}}=\frac{9}{25}E$ suy ra thế năng bị mất là $\frac{1}{3}{{E}_{t}}=\frac{9}{25}.\frac{1}{3}E=\frac{9E}{75}.$

Năng lượng còn lại ${E}'=0,88E.$

Theo định luật bảo toàn năng lượng: $0,88.\frac{1}{2}k{{A}^{2}}=\frac{1}{2}{k}'{{{A}'}^{2}}\Rightarrow {A}'=A\sqrt{0,88\frac{k}{{{k}'}}}=0,766A.$ Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có tốc độ v không thay đổi: ${{v}^{2}}={{\omega }^{2}}\left( {{A}^{2}}-{{x}^{2}} \right)={{{\omega }'}^{2}}\left( {{{{A}'}}^{2}}-{{{{x}'}}^{2}} \right)$

Do $T=\sqrt{2}{T}'\Rightarrow {\omega }'=\sqrt{2}\omega \Rightarrow {k}'=2k\Rightarrow \ell =\frac{1}{2}{{\ell }_{0}}\Rightarrow {x}'=\frac{x}{2}.$

Do đó ${{8}^{2}}-{{x}^{2}}=2\left[ {{\left( 2\sqrt{7} \right)}^{2}}-\frac{{{x}^{2}}}{4} \right]\Leftrightarrow {{x}^{2}}=16\Leftrightarrow x=4\,cm.$

Khi đó: $v=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}=2\pi \sqrt{{{8}^{2}}-{{4}^{2}}}=43\,m/s.$ Chọn D.

Lời giải chi tiết

$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=0,2s;\omega =\frac{2\pi }{T}=10\pi \,rad/s\Rightarrow A=\frac{{{v}_{cb}}}{\omega }=4\,cm$

$t=\frac{1}{30}s=\frac{T}{6}\Rightarrow x=\frac{A\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\,cm$

Phần thế năng bị nhốt: ${{\text{W}}_{nhot}}=\frac{{{\ell }_{2}}}{\ell }\frac{k{{x}^{2}}}{2}$

Cơ năng còn lại: $\text{{W}'}=\text{W}-{{\text{W}}_{nhot}}\Leftrightarrow \frac{{{k}_{1}}A_{1}^{2}}{2}=\frac{k{{A}^{2}}}{2}-\frac{{{\ell }_{2}}}{\ell }\frac{k{{x}^{2}}}{2}\Rightarrow {{A}_{1}}=\sqrt{\frac{k}{{{k}_{1}}}{{A}^{2}}-\frac{{{\ell }_{2}}}{\ell }\frac{k}{{{k}_{1}}}{{x}^{2}}}$

Lại có $\left\{ \begin{array}{} \frac{k}{{{k}_{1}}}=\frac{{{\ell }_{1}}}{\ell }=\frac{1}{2} \\ {} \frac{{{\ell }_{2}}}{\ell }=\frac{1}{2} \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{A}_{1}}=\sqrt{\frac{1}{2}{{4}^{2}}-\frac{1}{2}\frac{1}{2}{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}}=\sqrt{5}\,cm.$ Chọn A.

Lời giải chi tiết

Tốc độ của con lắc tại vị trí lò xo đi được 2 cm: ${{v}_{1}}=\sqrt{\frac{k}{m}}\sqrt{{{A}^{2}}-x_{1}^{2}}$

Sau khi cố định C phần lò xo gắn với con lắc có độ cứng ${{k}_{1}}=\frac{4}{3}k,$ khi đó lò xo chỉ dãn

$\Delta {{\ell }_{1}}=\frac{3}{4}\left( A-S \right)=6\,cm$

Biên độ dao động của con lắc lúc này ${{A}_{1}}=\sqrt{\Delta \ell _{1}^{2}+{{\left( \frac{{{v}_{1}}}{{{\omega }_{1}}} \right)}^{2}}}=\sqrt{\Delta l_{1}^{2}+{{\left( \frac{\sqrt{\frac{k}{m}}\sqrt{{{A}^{2}}-x_{1}^{2}}}{\sqrt{\frac{4k}{3m}}} \right)}^{2}}}=3\sqrt{7}\,cm$

+ Tại vị trí động năng bằng 3 lần thế năng ta lại thả điểm C, vị trí này vật đang có li độ ${{x}_{1}}=\frac{{{A}_{1}}}{2}$

Khi đó ${{E}_{d}}=\frac{3}{4}{{k}_{1}}A_{1}^{2},\,{{E}_{t}}=\frac{1}{2}k{{\left( \frac{{{A}_{1}}}{2} \right)}^{2}}$

Áp dụng bảo toàn cơ năng $\frac{1}{2}kA_{2}^{2}=\frac{3}{4}{{k}_{1}}A_{1}^{2}+\frac{1}{2}k{{\left( \frac{{{A}_{1}}}{2} \right)}^{2}}\Rightarrow {{A}_{2}}=10\,cm.$ Chọn A.