Bài tập biểu diễn hình học của số phức có đáp án chi tiết.

Bài tập biểu diễn hình học của số phức có đáp án.

Dưới dây là một số bài tập trắc nghiệm biểu diễn hình học của số phức có Lời giải chi tiết

Lời giải chi tiết

Gọi $z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)$ khi đó ta có: $3\left| x+yi+i \right|=\left| 2\left( x-yi \right)-\left( x+yi \right)+3i \right|$

$\Leftrightarrow 3\left| x+\left( y+1 \right)i \right|=\left| x-\left( 3y-3 \right)i \right|\Leftrightarrow 9{{x}^{2}}+9{{\left( y+1 \right)}^{2}}={{x}^{2}}+9{{\left( y-1 \right)}^{2}}$

$\Leftrightarrow 8{{x}^{2}}+18y=0\Leftrightarrow y=-\frac{4}{9}{{x}^{2}}$ nên tập hợp là Parabol. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Đặt $z=x+yi$ ta có: $\left( z-1 \right)\left( \overline{z}+1 \right)=\left( x+yi-1 \right)\left( x-yi+1 \right)=\left[ \left( x-1 \right)+yi \right]\left[ \left( x+1 \right)-yi \right]$

$=\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)+{{y}^{2}}+\left[ \left( x-1 \right)\left( -y \right)+y\left( x+1 \right) \right]i$ là số thực nên ta có: $-xy+y+xy+y=0$

$\Leftrightarrow y=0$. Vậy điểm biểu diễn số phức $z$ là đường thẳng $y=0$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Đặt $z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \overline{z}=x-yi$

Ta có: $2\left| z-i \right|=\left| z-\overline{z}+2i \right|\Leftrightarrow 2\left| x+\left( y-1 \right)i \right|=\left| 2yi+2i \right|\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}={{\left( y+1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow y=\frac{{{x}^{2}}}{4}$

Tập hợp điểm biểu diễn $z$ là parabol $y=\frac{{{x}^{2}}}{4}$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Đặt $z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)$. Ta có: $\left| z-i \right|=\left| \left( 1+i \right)z \right|\Rightarrow \left| z-i \right|=\left| \left( 1+i \right) \right|\left| z \right|=\sqrt{2}\left| z \right|$

$\Rightarrow \left| x+yi-i \right|=\sqrt{2}\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=2\Rightarrow $ Tập hợp điểm $M$ là đường tròn có bán kính $R=\sqrt{2}$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Đặt $z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)$ ta có: $\left[ x+\left( y+2 \right)i \right]\left[ \left( x-1 \right)-yi \right]$ là số thực $\Rightarrow \left( x-1 \right)\left( y+2 \right)-xy=0$

$\Leftrightarrow xy-y+2x-2-xy=0\Leftrightarrow 2x-y-2=0$

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn $z$ là đường thẳng $2x-y-2=0\left( \Delta  \right)\Rightarrow d\left( O;\Delta  \right)=\frac{2}{\sqrt{5}}$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\left| zi-\left( 2+i \right) \right|=2\Leftrightarrow \left| i \right|.\left| z-\frac{2+i}{i} \right|=2\Leftrightarrow \left| z-1+2i \right|=2$

Do đó tập hợp điểm biểu diễn $z$ là đường tròn ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=4$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Đặt $z=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)$ ta có: $w=\left( \overline{z}+i \right)\left( z+2 \right)=\left( x-yi+i \right)\left( x+yi+2 \right)$

$=\left[ x+\left( 1-y \right)i \right]\left[ \left( x+2 \right)+yi \right]$

Phần thực của số phức $w$ là: ${{x}^{2}}-\left( 1-y \right)y$

Do $w$ là số thuần ảo nên phần thực của nó bằng 0 suy ra

$x\left( x+2 \right)-\left( 1-y \right)y={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-y=0\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{5}{4}$

Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm $I\left( -1;\frac{1}{2} \right)$ bán kính $R=\frac{\sqrt{5}}{2}$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có: $z=\frac{w-i}{3+4i}\Rightarrow \left| z \right|=\left| \frac{w-i}{3+4i} \right|=\frac{\left| w-i \right|}{5}=4\Leftrightarrow \left| w-i \right|=20$ $\Rightarrow $ tập hợp là đường tròn $I\left( 0;1 \right);\,\,r=20$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\left| i\overline{w}-2i \right|=\left| \left( 3-4i \right)z \right|=\left| \left( 3-4i \right) \right|\left| z \right|=5.2=10$

Do đó $\left| i \right|.\left| \overline{w}-2 \right|=10\Leftrightarrow \left| \overline{w}-2 \right|=10$, đặt $w=x+yi\left( x;y\in \mathbb{R} \right)$ thì $\left| x-yi-2 \right|=10$

$\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=100\Rightarrow R=10$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\left| \frac{3-i}{1-2i}z+2 \right|=10\Leftrightarrow \left| \left( 1+i \right)z+2 \right|=10\Leftrightarrow \left| 1+i \right|\left| z+1-i \right|=10\Leftrightarrow \left| z+1-i \right|=5\sqrt{2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Lại có: $z=\frac{\left( 1+i \right)w+1}{i}=\left( 1-i \right)w-i$ thế vào (1) ta được $\left| \left( 1+i \right)w+1-2i \right|=5\sqrt{2}\,$

$\Leftrightarrow \left| \left( 1-i \right) \right|\left| w-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i \right|=5\sqrt{2}\,\Leftrightarrow \left| w-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i \right|=5$. Do đó suy ra $R=5$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\left| 5z+i \right|=\left| 5-iz \right|\Leftrightarrow \left| 5x+\left( 5y+1 \right)i \right|=\left| 5-xi+y \right|\Leftrightarrow 25{{x}^{2}}+{{\left( 5y+1 \right)}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( y+5 \right)}^{2}}$

$\Leftrightarrow 24\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=24\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\Leftrightarrow \left| z \right|=1$

Khi đó $w\left( 1-i \right)=\left( 6-8i \right)z+3i+2\Leftrightarrow w\left( 1-i \right)-3i-2=\left( 6-8i \right)z$

Lấy modun 2 vế ta được $\left| w\left( 1-i \right)-3i-2 \right|=10\Leftrightarrow \left| 1-i \right|\left| w-\frac{3i+2}{i-1} \right|=10$

$\Leftrightarrow \left| w-\left( \frac{-1}{2}+\frac{5}{2} \right)i \right|=5\sqrt{2}$. Do đó tập hợp điểm biểu diễn $z$ là đường tròn tâm $I\left( -\frac{1}{2};\frac{5}{2} \right);R=5\sqrt{2}$ Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\left| \frac{3+i}{1-i}z+4+3i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| \left( 1+2i \right)z+4+3i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| 1+2i \right|\left| z+2-i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| z+2-i \right|=1$

Mặt khác $z=\frac{w-2i}{3+4i}$ suy ra $\left| \frac{w-2i}{3+4i}+2-i \right|=1\Leftrightarrow \frac{\left| w+10+3i \right|}{\left| 3+4i \right|}=1\Leftrightarrow \left| w+10+3i \right|=5$

Do đó phương trình đường tròn biểu diễn $w$ là ${{\left( x+10 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=25$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Đặt $w=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right),\,\,z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$. Ta có: $x+yi=2\left( a+bi \right)+3-i\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x=2a+3 \\  & y=2b-1 \\ \end{align} \right.$

Ta có: ${{\left| 2z+i \right|}^{2}}=3z.\overline{z}+1\Leftrightarrow {{\left| 2a+\left( 2b+1 \right) \right|}^{2}}=3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+1\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}+{{\left( 2b+1 \right)}^{2}}=3{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}+1$

$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+4b=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow {{\left( \frac{x-3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{y+1}{2}+2 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+5 \right)}^{2}}=16$

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn $w$ là đường tròn tâm $I\left( 3;-5 \right)$, bán kính $R=4$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Đặt $w=x+yi$ và $z=a+bi\left( a;b;x;y\in \mathbb{R} \right)$ ta có: $x+yi=\left( 1+2i \right)\left( a+bi \right)=a-2b+\left( 2a+b \right)i$

Mặt khác ${{\left| z+2-i \right|}^{2}}=z\overline{z}\Leftrightarrow {{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}=\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\Leftrightarrow 4a-2b+5=0$

$\Leftrightarrow \frac{4x+8y}{5}-\frac{2y-4x}{5}+5=0\Leftrightarrow 8x+6y+25=0$

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là đường thẳng $\left( d \right):8x+6y+25=0$

Do đó $d\left( O;d \right)=\frac{25}{10}=\frac{5}{2}$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có: $w=\left( 2-i \right)z+1\Rightarrow z=\frac{w-1}{2-i}$

Do đó $\left| z-i \right|=\left| z-1+2i \right|\Leftrightarrow \left| \frac{w-1}{2-i}-i \right|=\left| \frac{w-1}{2-i}-1+2i \right|\Leftrightarrow \left| \text{w}-1-i(2-i) \right|=\left| w-1+\left( 2i-1 \right)\left( 2-i \right) \right|$

$\Leftrightarrow \left| w-2-2i \right|=\left| w-1+5i \right|$

Do đó tập hợp điểm biểu diễn của $w$ là trung trực $d$ của $AB$ với $A\left( 2;2 \right);\,\,B\left( 1;-5 \right)$

Ta có: trung điểm của $AB$ là $\left( \frac{3}{2};-\frac{3}{2} \right);\,\,\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}=\left( 1;7 \right)\Rightarrow d:x+7y+9=0$

Khi đó $d$ cắt các trục tọa độ tại $M\left( 0;\frac{-9}{7} \right);\,N\left( -9;0 \right)\Rightarrow {{S}_{OMN}}=\frac{1}{2}OM.ON=\frac{81}{14}$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Gọi ${{F}_{1}}\left( -4;0 \right);\,\,{{F}_{2}}\left( 4;0 \right)$ và  lần lượt là các điểm biểu diễn số phức $-4;4$ và $z$

Ta có: $\left| z+4 \right|+\left| z-4 \right|=10\Leftrightarrow M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}=10>{{F}_{1}}{{F}_{2}}=8$

Khi đó tập hợp điểm $M$ là Elip có $2a=10;2c=8\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & a=5 \\  & c=4 \\  & b=\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=3 \\ \end{align} \right.$

Phương trình Elip là: $\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có $z=16+13i\Rightarrow M\left( 16;13 \right)$ và nằm ở góc phần tư thứ nhất nên ta có

$\cos \varphi =\cos \left( \overrightarrow{OM};\overrightarrow{i} \right)=\frac{16}{\sqrt{{{16}^{2}}+{{13}^{2}}}}=\frac{16}{\sqrt{425}}\Rightarrow \cos 2\varphi =2{{\cos }^{2}}\varphi -1=\frac{87}{425}$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có $z=-1+2i\Rightarrow M\left( -1;2 \right)$ và nằm ở góc phần tư thứ III nên ta có

$\cos \varphi =\cos \left( \overrightarrow{OM};\overrightarrow{i} \right)=\frac{-1}{\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=-\frac{1}{\sqrt{5}}\Rightarrow \tan 2\varphi =\frac{\sin 2\varphi }{\cos 2\varphi }=\frac{4}{3}$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có $P=\left| z_{1}^{2}-4{{\left( i{{z}_{2}} \right)}^{2}} \right|=\left| {{a}^{2}}-4{{b}^{2}} \right|=\left| a-2b \right|.\left| a+2b \right|$. Với $a={{z}_{1}}\Rightarrow \left| a \right|=2;\,\,b=i{{z}_{2}}\Rightarrow \left| b \right|=\sqrt{3}$

Lại có ${{\left| a-2b \right|}^{2}}={{\left| a \right|}^{2}}-4.\left| a \right|.\left| b \right|.cos30{}^\circ +4{{\left| b \right|}^{2}}=4\xrightarrow{{}}\left| a-2b \right|=2$

Và ${{\left| a+2b \right|}^{2}}={{\left| a \right|}^{2}}+4.\left| a \right|.\left| b \right|.cos30{}^\circ +4{{\left| b \right|}^{2}}=28\xrightarrow{{}}\left| a+2b \right|=2\sqrt{7}$

Vậy $P=\left| a-2b \right|.\left| a+2b \right|=2.2\sqrt{7}=4\sqrt{7}$. Chọn B.