Bài tập biện luận số nghiệm của phương trình bằng bảng biến thiên và đồ thị

Bài tập biện luận số nghiệm của phương trình bằng bảng biến thiên và đồ thị

Bài toán: Biện luận số nghiệm của phương trình: $F\left( x;m \right)=0$ theo tham số $m$ dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số $y=f\left( x \right)$.

Phương pháp giải cho bảng biến thiên tìm số nghiệm của phương trình

§ Bước 1: Biến đổi phương trình $F\left( x;m \right)=0$ về dạng $f\left( x \right)=g\left( m \right)$.

§ Bước 2: Vẽ đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số $y=f\left( x \right)\left( C \right)$ và đường thẳng $d:y=g\left( m \right)$

Đường thẳng $d$ có đặc điểm vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm có tung độ $g\left( m \right)$.

§ Bước 3: Dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình đã cho.

Bài tập trắc nghiệ biện luận số nghiệm của phương trình có đáp án

Lời giải chi tiết

Số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị hàm số $y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}$ và đường thẳng $y=m$. Dựa vào hình vẽ suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm khi $0<m<1$. Chọn C.

 Lời giải chi tiết

Số nghiệm thực của phương trình $f\left( x \right)+3=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=\frac{-3}{2}$ chính là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và đường thẳng $y=-\frac{3}{2}$.

Đường thẳng $y=-\frac{3}{2}$ cắt đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại 4 điểm phân biệt.

Vậy phương trình $2f\left( x \right)+3=0$ có đúng 4 nghiệm thực phân biệt. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Số nghiệm của phương trình đã cho phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị hàm số

$y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\left( C \right)$ và đường thẳng $y=-1$.

Dựa vào đồ thị ta thấy $\left( C \right)$ cắt đường thẳng $y=-1$ tại 3 điểm phân biệt nên phương trình đã cho có 3 nghiệm. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Phương trình ${{x}^{3}}-3x=2m$ là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3x$ và đường thẳng $y=2m$. Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi hai đồ thị có ba giao điểm. Khi đó $-2<2m<2\Leftrightarrow -1<m<1$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có: $3f\left( x \right)+4=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=\frac{-4}{3}$

Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=-\frac{4}{3}$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và đường thẳng $y=-\frac{4}{3}$.

Dựa vào đồ thị hàm số suy ra phương trình $f\left( x \right)=-\frac{4}{3}$ có 3 nghiệm phân biệt. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: PT $\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4m-2=0\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2=4-4m\left( 1 \right)$

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị $\left( C \right)$ và đường thẳng $d:y=4-4m$. Do vậy phương trình (1) có đúng 3 nghiệm khi $d$ cắt $\left( C \right)$ tại đúng 3 điểm phân biệt

$1<4-4m<2\Leftrightarrow \frac{1}{2}<m<\frac{3}{4}$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: PT $\Leftrightarrow {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}=\frac{5-m}{2}\Leftrightarrow {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2=\frac{9-m}{2}\left( 2 \right)$

Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị $\left( C \right)$ và đường thẳng $y=\frac{9-m}{2}$

Do vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm $\Leftrightarrow$ $d$ cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} \frac{9-m}{2}=1 \\  {} \frac{9-m}{2}>2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m=7 \\  {} m<5 \\ \end{array} \right.$

Kết hợp $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\Rightarrow m=\left\{ 1;2;3;4;5;7 \right\}$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Ta có đồ thị hai hàm số như hình bên.

Đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3x+1$ tại 3 điểm phân biệt, trong đó có đúng hai điểm phân biệt có hoành độ dương khi và chỉ khi $-1<m<1$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Ta có đồ thị hai hàm số $y=\frac{1}{2}{{x}^{4}}-{{x}^{2}}+3$ như hình bên. Dựa vào đồ thị ta thấy, đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2}{{x}^{4}}-{{x}^{2}}+3$ tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi giá trị $m$ thuộc đoạn $\left( \frac{5}{2};3 \right)\Leftrightarrow \frac{5}{2}<m<3$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

PT $\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x+1=m+1$. Số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3x+1$ và đường thẳng $y=m+1$.

Dựa vào đồ thị ta thấy, phương trình có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hai đồ thị có ba giao điểm. Khi đó $-1<m+1<3\Leftrightarrow -2<m<2$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

PT $\Leftrightarrow -{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4=2m+4\left( * \right)$. Phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $y=2m+4$ và đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)=-{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4$. PT có 3 nghiệm phân biệt khi hay đồ thị có 3 giao điểm.

Khi đó $0<2m+4<4\Leftrightarrow -2<m<0\Rightarrow m\in \left( -2;0 \right)$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Phương trình  $f\left( x \right)=m$ là phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và đường thẳng $y=m$ song song trục hoành. Phương trình $f\left( x \right)=m$ có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại 4 điểm phân biệt. Khi đó

$-2<m<1\Leftrightarrow m\in \left( 2;-1 \right)$. Chọn C.

Lời giải chi tiết

Phương trình $f\left( x \right)=m$ có 3 nghiệm thực phân biệt khi $m\in \left( -2;2 \right)$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

PT $\Leftrightarrow -{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4=2m+4\left( * \right)$. Phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $y=2m+4$ và đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)=-{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4$. Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi hai đồ thị có 3 giao điểm. Khi đó $0<2m+4<4\Leftrightarrow -2<m<0\Rightarrow m\in \left( -2;0 \right)$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}={{m}^{4}}-2{{m}^{2}}\Leftrightarrow -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+3=-{{m}^{4}}+2{{m}^{2}}+3\left( * \right)$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Phương trình (*) có đúng hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow -{{m}^{4}}+2{{m}^{2}}+3<3\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m<-\sqrt{2} \\  {} m>\sqrt{2} \\ \end{array} \right.$

Kết hợp $\left\{ \begin{array}  {} m\in \left[ -10;10 \right] \\  {} m\in \mathbb{Z} \\ \end{array} \right.\Rightarrow$ có 18 giá trị của tham số $m$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Đồ thị $\left( C \right)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

Khi đó PT ${{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+m=0$ có ba nghiệm phân biệt.

Suy ra PT ${{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x=-m$ có ba nghiệm phân biệt, suy ra đường thẳng $y=-m$ cắt đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x$ tại 3 điểm phân biệt.

Ta có đồ thị hai hàm số như hình bên.

Hai đồ thị có 3 giao điểm khi và chỉ khi $-4<m<0$.

Khi đó $0<{{x}_{1}}<1<{{x}_{2}}<3<{{x}_{3}}<4$. Chọn A.