Bài toán: Biện luận số nghiệm của phương trình: $F\left( x;m \right)=0$ theo tham số $m$ dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số $y=f\left( x \right)$.
§ Bước 1: Biến đổi phương trình $F\left( x;m \right)=0$ về dạng $f\left( x \right)=g\left( m \right)$.
§ Bước 2: Vẽ đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số $y=f\left( x \right)\left( C \right)$ và đường thẳng $d:y=g\left( m \right)$
Đường thẳng $d$ có đặc điểm vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm có tung độ $g\left( m \right)$.
§ Bước 3: Dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình đã cho.
Bài tập 1: Cho hàm số $y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}$ có đồ thị như hình bên.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$để phương trình $-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}=m$ có bốn nghiệm thực phân biệt? A. $m>0$ B. $0\le m\le 1$ C. $0<m<1$ D. $m<1$ |
Lời giải chi tiết
Số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị hàm số $y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}$ và đường thẳng $y=m$. Dựa vào hình vẽ suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm khi $0<m<1$. Chọn C.
Bài tập 2: [Đề thi tham khảo THPT QG năm 2019] Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình $2f\left( x \right)+3=0$ là A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 |
Lời giải chi tiết
Số nghiệm thực của phương trình $f\left( x \right)+3=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=\frac{-3}{2}$ chính là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và đường thẳng $y=-\frac{3}{2}$.
Đường thẳng $y=-\frac{3}{2}$ cắt đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại 4 điểm phân biệt.
Vậy phương trình $2f\left( x \right)+3=0$ có đúng 4 nghiệm thực phân biệt. Chọn A.
Bài tập 3: Cho hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có đồ thị trong hình bên.
Hỏi phương trình $a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d+1=0$ có bao nhiêu nghiệm? A. Phương trình không có nghiệm. B. Phương trình có đúng 1 nghiệm. C. Phương trình có đúng 2 nghiệm. D. Phương trình có đúng 3 nghiệm. |
Lời giải chi tiết
Số nghiệm của phương trình đã cho phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị hàm số
$y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\left( C \right)$ và đường thẳng $y=-1$.
Dựa vào đồ thị ta thấy $\left( C \right)$ cắt đường thẳng $y=-1$ tại 3 điểm phân biệt nên phương trình đã cho có 3 nghiệm. Chọn D.
Bài tập 4: Tìm tất cả các giá trị $m$để phương trình ${{x}^{3}}-3x=2m$ có 3 nghiệm phân biệt
A. $-2<m<2$ B. $-1<m<1$ C. $-2\le m\le 2$ D. $-1\le m\le 1$ |
Lời giải chi tiết
Phương trình ${{x}^{3}}-3x=2m$ là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3x$ và đường thẳng $y=2m$. Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi hai đồ thị có ba giao điểm. Khi đó $-2<2m<2\Leftrightarrow -1<m<1$. Chọn B.
Bài tập 5: [Đề thi THPT QG năm 2018] Cho hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\left( a,b,c,d\in \mathbb{R} \right)$.
Đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)$ như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình $3f\left( x \right)+4=0$ là: A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 |
Lời giải chi tiết
Ta có: $3f\left( x \right)+4=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=\frac{-4}{3}$
Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=-\frac{4}{3}$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và đường thẳng $y=-\frac{4}{3}$.
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra phương trình $f\left( x \right)=-\frac{4}{3}$ có 3 nghiệm phân biệt. Chọn A.
Bài tập 6: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$ có bảng biến thiên như sau:
Giá trị của tham số $m$ để phương trình ${{x}^{3}}-\frac{3}{2}{{x}^{2}}+2m-1=0$ có 3 nghiệm phân biệt là: A. $\frac{1}{2}<m<\frac{3}{4}$ B. $1<m<\frac{3}{2}$ C. $1<m<2$ D. $\frac{1}{2}<m<\frac{3}{2}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: PT $\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4m-2=0\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2=4-4m\left( 1 \right)$
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị $\left( C \right)$ và đường thẳng $d:y=4-4m$. Do vậy phương trình (1) có đúng 3 nghiệm khi $d$ cắt $\left( C \right)$ tại đúng 3 điểm phân biệt
$1<4-4m<2\Leftrightarrow \frac{1}{2}<m<\frac{3}{4}$. Chọn A.
Bài tập 7: Cho hàm số $y=f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2$ có bảng biến thiên như sau:
Số giá trị nguyên của $m$ để phương trình $2{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+m-5=0$ có đúng 2 nghiệm A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 |
Lời giải chi tiết
Ta có: PT $\Leftrightarrow {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}=\frac{5-m}{2}\Leftrightarrow {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2=\frac{9-m}{2}\left( 2 \right)$
Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị $\left( C \right)$ và đường thẳng $y=\frac{9-m}{2}$
Do vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm $\Leftrightarrow $ $d$ cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} \frac{9-m}{2}=1 \\ {} \frac{9-m}{2}>2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=7 \\ {} m<5 \\ \end{array} \right.$
Kết hợp $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\Rightarrow m=\left\{ 1;2;3;4;5;7 \right\}$. Chọn D.
Bài tập 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ sao cho đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3x+1$ tại 3 điểm phân biệt, trong đó có đúng hai điểm phân biệt có hoành độ dương.
A. $-1<m<3$ B. $1<m<3$ C. $-1<m<1$ D. $m=1$ |
Lời giải chi tiết
Ta có đồ thị hai hàm số như hình bên.
Đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3x+1$ tại 3 điểm phân biệt, trong đó có đúng hai điểm phân biệt có hoành độ dương khi và chỉ khi $-1<m<1$. Chọn C.
Bài tập 9: Các giá trị $m$ để đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2}{{x}^{4}}-{{x}^{2}}+3$ tại 4 điểm phân biệt là
A. $\frac{5}{2}<m<3$ B. $\frac{1}{2}<m<3$ C. $m>3$ D. $\frac{1}{2}<m<\frac{5}{2}$ |
Lời giải chi tiết
Ta có đồ thị hai hàm số $y=\frac{1}{2}{{x}^{4}}-{{x}^{2}}+3$ như hình bên. Dựa vào đồ thị ta thấy, đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2}{{x}^{4}}-{{x}^{2}}+3$ tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi giá trị $m$ thuộc đoạn $\left( \frac{5}{2};3 \right)\Leftrightarrow \frac{5}{2}<m<3$. Chọn A.
Bài tập 10: Đồ thị sau đây là của hàm số $y={{x}^{3}}-3x+1$.
Tìm $m$ để phương trình ${{x}^{3}}-3x-m=0$ có ba nghiệm phân biệt A. $-1<m<3$ B. $-2<m<2$ C. $-2\le m<2$ D. $-2<m<3$ |
Lời giải chi tiết
PT $\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x+1=m+1$. Số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3x+1$ và đường thẳng $y=m+1$.
Dựa vào đồ thị ta thấy, phương trình có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hai đồ thị có ba giao điểm. Khi đó $-1<m+1<3\Leftrightarrow -2<m<2$. Chọn B.
Bài tập 11: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=-{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4$ có bảng biến thiên như sau
Phương trình ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2m=0$, với $m$ là tham số thực, có 3 nghiệm thực phân biệt khi $m$ thuộc tập hợp nào dưới đây? A. $\left[ -2;0 \right]$ B. $\left( -2;0 \right)$ C. $\left[ -3;-2 \right]$ D. $\left[ -2;0 \right]$ |
Lời giải chi tiết
PT $\Leftrightarrow -{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4=2m+4\left( * \right)$. Phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $y=2m+4$ và đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)=-{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4$. PT có 3 nghiệm phân biệt khi hay đồ thị có 3 giao điểm.
Khi đó $0<2m+4<4\Leftrightarrow -2<m<0\Rightarrow m\in \left( -2;0 \right)$. Chọn B.
Bài tập 12: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây
Tập hợp các giá trị của tham số $m$để phương trình $f\left( x \right)=m$ có bốn nghiệm phân biệt là A. $\left( -2;+\infty \right)$ B. $\left[ -2;-1 \right]$ C. $\left( -2;-1 \right)$ D. $\left( -\infty ;-1 \right)$ |
Lời giải chi tiết
Phương trình $f\left( x \right)=m$ là phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và đường thẳng $y=m$ song song trục hoành. Phương trình $f\left( x \right)=m$ có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ tại 4 điểm phân biệt. Khi đó
$-2<m<1\Leftrightarrow m\in \left( 2;-1 \right)$. Chọn C.
Bài tập 13: Hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ -1;1 \right\}$, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $f\left( x \right)=m$ có 3 nghiệm thực phân biệt. A. $m\in \left( 2;+\infty \right)$ B. $m\in \left( -\infty ;-2 \right)$ C. $m\in \left[ -2;2 \right]$ D. $m\in \left( -2;2 \right)$ |
Lời giải chi tiết
Phương trình $f\left( x \right)=m$ có 3 nghiệm thực phân biệt khi $m\in \left( -2;2 \right)$. Chọn D.
Bài tập 14: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=-{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4$ có bảng biến thiên như sau
Phương trình ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2m=0$, với $m$ là tham số thực, có 3 nghiệm thực phân biệt khi $m$ thuộc tập hợp nào dưới đây? A. $\left[ -2;0 \right]$ B. $\left( -2;0 \right)$ C. $\left[ -3;-2 \right]$ D. $\left[ -2;0 \right]$ |
Lời giải chi tiết
PT $\Leftrightarrow -{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4=2m+4\left( * \right)$. Phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $y=2m+4$ và đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)=-{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4$. Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi hai đồ thị có 3 giao điểm. Khi đó $0<2m+4<4\Leftrightarrow -2<m<0\Rightarrow m\in \left( -2;0 \right)$. Chọn B.
Bài tập 15: Cho đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+3$ như hình vẽ.
Số các giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -10;10 \right]$ để phương trình ${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}={{m}^{4}}-2{{m}^{2}}$ có đúng 2 nghiệm phân biệt là A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${{x}^{4}}-2{{x}^{2}}={{m}^{4}}-2{{m}^{2}}\Leftrightarrow -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+3=-{{m}^{4}}+2{{m}^{2}}+3\left( * \right)$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Phương trình (*) có đúng hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow -{{m}^{4}}+2{{m}^{2}}+3<3\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m<-\sqrt{2} \\ {} m>\sqrt{2} \\ \end{array} \right.$
Kết hợp $\left\{ \begin{array} {} m\in \left[ -10;10 \right] \\ {} m\in \mathbb{Z} \\ \end{array} \right.\Rightarrow $ có 18 giá trị của tham số $m$. Chọn B.
Bài tập 16: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+m$ (với $m$ là tham số thực) có đồ thị $\left( C \right)$. Giả sử $\left( C \right)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}},\,\,{{x}_{3}}$ (với ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}$). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $0<{{x}_{1}}<1<{{x}_{2}}<3<{{x}_{3}}<4$ B. $1<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}<3<{{x}_{3}}<4$ C. $1<{{x}_{1}}<3<{{x}_{2}}<4<{{x}_{3}}$ D. ${{x}_{1}}<0<1<{{x}_{2}}<3<{{x}_{3}}<4$ |
Lời giải chi tiết
Đồ thị $\left( C \right)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Khi đó PT ${{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+m=0$ có ba nghiệm phân biệt.
Suy ra PT ${{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x=-m$ có ba nghiệm phân biệt, suy ra đường thẳng $y=-m$ cắt đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x$ tại 3 điểm phân biệt.
Ta có đồ thị hai hàm số như hình bên.
Hai đồ thị có 3 giao điểm khi và chỉ khi $-4<m<0$.
Khi đó $0<{{x}_{1}}<1<{{x}_{2}}<3<{{x}_{3}}<4$. Chọn A.
TOÁN LỚP 12