Bài tập áp dụng hệ thức độc lập với thời gian có đáp án chi tiết

BÀI TẬP ÁP DỤNG HỆ THỨC ĐỘC LẬP VỚI THỜI GIAN CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Lời giải

Do $\overrightarrow{x}\bot \overrightarrow{v}\Rightarrow {{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}\Rightarrow \left| v \right|=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}=\frac{2\pi }{T}\sqrt{{{10}^{2}}-{{6}^{2}}}=8\pi \text{ cm/s}\text{.}$

Chọn A.

Lời giải

Do $\overrightarrow{x}\bot \overrightarrow{v}\Rightarrow {{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}\Rightarrow A=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}}=\sqrt{(-{{8}^{2}})+{{\left( \frac{8}{4} \right)}^{2}}}=4\sqrt{5}$. Chọn C.

Lời giải

Ta có: ${{A}^{2}}={{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}\Rightarrow \omega =\frac{\left| v \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}}=2\pi \Rightarrow T=\frac{2\pi }{\omega }=1s.$Chọn C.

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow{v}\bot \overrightarrow{a}\Rightarrow {{\left( \frac{v}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{{{a}_{\max }}} \right)}^{2}}=1\Rightarrow {{\left( \frac{v}{\omega A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{{{\omega }^{2}}A} \right)}^{2}}=1$

$\Leftrightarrow \frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}+\frac{{{a}^{2}}}{{{\omega }^{4}}}={{A}^{2}}.$Chọn C.

Lời giải

Do $\overrightarrow{x}\bot \overrightarrow{v}$ suy ra ${{\left( \frac{x}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{v}{-\omega A} \right)}^{2}}=1.$

Theo đề bài ta có: $\left\{ \begin{matrix}{{\left( \frac{{{x}_{1}}}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{v}_{1}}}{\omega A} \right)}^{2}}=1 \\{{\left( \frac{{{x}_{2}}}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{v}_{2}}}{\omega A} \right)}^{2}}=1 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\frac{1}{{{A}^{2}}}+\frac{900}{{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}=1 \\\frac{9}{{{A}^{2}}}+\frac{100}{{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}=1 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\frac{1}{{{A}^{2}}}=\frac{1}{10} \\\frac{1}{{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}=\frac{1}{1000}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}A=\sqrt{10}cm \\\omega =10rad/s \\\end{matrix} \right. \\\end{matrix} \right.$

Chọn A

Lời giải

Do $\overrightarrow{x}\bot \overrightarrow{v}$ suy ra ${{\left( \frac{x}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{v}{-\omega A} \right)}^{2}}=1.$

Theo đề bài ta có: $\left\{ \begin{matrix}{{\left( \frac{{{x}_{1}}}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{v}_{1}}}{\omega A} \right)}^{2}}=1 \\{{\left( \frac{{{x}_{2}}}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{v}_{2}}}{\omega A} \right)}^{2}}=1 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow x_{1}^{2}+\frac{v_{1}^{2}}{{{\omega }^{2}}}=x_{2}^{2}+\frac{v_{2}^{2}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}\Rightarrow {{\omega }^{2}}=\frac{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}$

$\Rightarrow T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}}=2\pi \sqrt{\frac{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}.}$. Chọn B.

Lời giải

Do $\overrightarrow{x}\bot \overrightarrow{v}$ suy ra ${{\left( \frac{x}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{v}{-\omega A} \right)}^{2}}=1$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}{{\left( \frac{{{x}_{1}}}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{v}_{1}}}{\omega A} \right)}^{2}}=1 \\{{\left( \frac{{{x}_{2}}}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{v}_{2}}}{\omega A} \right)}^{2}}=1 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow x_{1}^{2}+\frac{v_{1}^{2}}{{{\omega }^{2}}}=x_{2}^{2}+\frac{v_{2}^{2}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}\Rightarrow {{\omega }^{2}}=\frac{v_{1}^{2}}{{{A}^{2}}-x_{1}^{2}}=\frac{v_{2}^{2}}{{{A}^{2}}-x_{2}^{2}}$

$\Leftrightarrow v_{1}^{2}{{A}^{2}}-v_{1}^{2}x_{2}^{2}={{A}^{2}}v_{2}^{2}-v_{1}^{2}v_{2}^{2}\Rightarrow A=\sqrt{\frac{v_{1}^{2}x_{2}^{2}-x_{1}^{2}v_{2}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}}=\sqrt{\frac{v_{2}^{2}x_{1}^{2}-v_{1}^{2}x_{2}^{2}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}}$. Chọn A

Lời giải

Ta có: $\omega =\sqrt{\frac{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}{x_{2}^{2}-x_{1}^{2}}}=2\pi \Rightarrow A=\sqrt{x_{1}^{2}+\frac{v_{1}^{2}}{{{\omega }^{2}}}}=6\Rightarrow {{v}_{\max }}=12\pi .$ Chọn A.

Lời giải

Ta có: $a=-{{\omega }^{2}}x\Rightarrow {{\omega }^{2}}=\frac{a}{-x}=4{{\pi }^{2}}\Rightarrow \omega =2\pi \Rightarrow T=\frac{2\pi }{\omega }=1\left( s \right)$

Áp dụng hệ thức độc lập ta có: ${{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}\Leftrightarrow \left( 4\sqrt{3} \right)+\frac{48{{\pi }^{2}}}{4{{\pi }^{2}}}={{A}^{2}}\Rightarrow A=8\left( cm \right)$. Chọn C.

Lời giải

Do $\overrightarrow{v}\bot \overrightarrow{a}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\frac{v_{1}^{2}}{{{\omega }^{2}}}+\frac{a_{1}^{2}}{{{\omega }^{4}}}={{A}^{2}} \\\frac{v_{2}^{2}}{{{\omega }^{2}}}+\frac{a_{2}^{2}}{{{\omega }^{4}}}={{A}^{2}} \\\end{matrix}\Rightarrow {{\omega }^{2}}=\frac{a_{2}^{2}-a_{1}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}\Rightarrow \omega =\sqrt{\frac{a_{2}^{2}-a_{1}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}} \right.$ . Chọn B

Lời giải

Ta có: ${{v}_{1}}={{v}_{\max }}=20\Rightarrow {{a}_{1}}=0$ và ${{v}_{2}}=16;{{a}_{2}}=24.$

Mặt khác: $\left\{ \begin{matrix}\frac{v_{1}^{2}}{{{\omega }^{2}}}+\frac{a_{1}^{2}}{{{\omega }^{4}}}={{A}^{2}} \\\frac{v_{2}^{2}}{{{\omega }^{2}}}+\frac{a_{2}^{2}}{{{\omega }^{4}}}={{A}^{2}} \\\end{matrix}\Rightarrow {{\omega }^{2}}=\frac{a_{2}^{2}-a_{1}^{2}}{v_{1}^{2}-v_{2}^{2}}=\frac{{{\left( 24 \right)}^{2}}}{{{20}^{2}}-{{16}^{2}}}=4\Rightarrow \omega =2 \right.$

$\Rightarrow A=\frac{{{v}_{\max }}}{\omega }=\frac{{{v}_{1}}}{4}=10\left( cm \right)$. Chọn D.

Lời giải

Khi vật ở vị trí biên ta có: ${{a}_{\max }}={{\omega }^{2}}A=36$

Ta có: ${{A}^{2}}={{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}=9+\frac{{{\left( 3\sqrt{7} \right)}^{2}}}{\frac{36}{A}}\Leftrightarrow {{A}^{2}}=9+\frac{7A}{4}\Rightarrow A=4cm.$ Chọn C

Lời giải

Biên độ dao động của vật là: $A=\frac{\ell }{2}=8\left( cm \right).$

Ta có: $\overrightarrow{v}\bot \overrightarrow{a}\Rightarrow {{\left( \frac{v}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{{{a}_{\max }}} \right)}^{2}}=1\Rightarrow {{\left( \frac{v}{\omega A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{{{\omega }^{2}}A} \right)}^{2}}=1$

$\Leftrightarrow \frac{{{40}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}+\frac{{{\left( 400\sqrt{3} \right)}^{2}}}{{{\omega }^{4}}}=64\xrightarrow{t=\frac{1}{{{\omega }^{2}}}}1600t+480000{{t}^{2}}=64\Rightarrow t=\frac{1}{100}\Rightarrow \omega =10rad/s.$

Do đó: $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{\pi }{5}s$. Chọn B.

Lời giải

Khi chất điểm ở vị trí cân bằng ta có: $v={{v}_{\max }}=\omega A=4cm/s.$

Do $\overrightarrow{v}\bot \overrightarrow{a}\Rightarrow {{\left( \frac{v}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{{{a}_{\max }}} \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \frac{{{2}^{2}}}{{{4}^{2}}}+\frac{{{\left( 8\sqrt{3} \right)}^{2}}}{a_{\max }^{2}}=1\Rightarrow {{a}_{\max }}=16cm/{{s}^{2}}$

Mặt khác $\left\{ \begin{matrix}{{v}_{\max }}=\omega A \\{{a}_{\max }}={{\omega }^{2}}A \\\end{matrix}\Rightarrow A=\frac{v_{\max }^{2}}{{{a}_{\max }}} \right.=1cm.$ Chọn C.

Lời giải

Ta có: $\frac{v_{1}^{2}}{v_{\max }^{2}}=1-\frac{x_{1}^{2}}{{{A}^{2}}}=1-\frac{x_{1}^{2}}{{{\left( \frac{{{v}_{\max }}}{\omega } \right)}^{2}}}=1-\frac{{{\omega }^{2}}x_{1}^{2}}{v_{\max }^{2}}\Rightarrow v_{1}^{2}=v_{\max }^{2}-{{\omega }^{2}}x_{1}^{2}$. Chọn C.

Lời giải

Ta có: $\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{{{v}^{2}}}{16}=4\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{v}^{2}}}{64}=1=\frac{{{x}^{2}}}{{{A}^{2}}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\left( \omega A \right)}^{2}}}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}A=4cm \\\omega A=8\Rightarrow \omega =2rad/s \\\end{matrix} \right.$ Chọn B.

Lời giải

Ta có: $v=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}$ . Do đó $\frac{{{v}_{1}}}{{{v}_{2}}}=\frac{{{\omega }_{1}}\sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}}{{{\omega }_{2}}\sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}}=\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=2$. Chọn B.

Lời giải

Ta có: Do $\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{v}\Rightarrow {{\left( \frac{a}{{{a}_{\max }}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{v}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}=1\Rightarrow {{v}_{\max }}=80\left( cm/s \right)$

Khi đó $A=\frac{v_{\max }^{2}}{{{a}_{\max }}}=20cm$. Chọn A

Lời giải

Ta có: ${{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}}$. Trong đó $A=\frac{\ell }{2}=10cm\Rightarrow \frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}=75\Rightarrow \omega =\pi \left( rad/s \right).$

Do đó $T=\frac{2\pi }{\omega }=2s.$Chọn B

Lời giải

Vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 20 cm

=> Biên độ dao động của vật là A = 10 cm

Khi vật có li độ x = 5cm và vận tốc $v=10\pi \sqrt{3}\left( cm/s \right).$

Áp dụng hệ thức độc lập ${{x}^{2}}+{{\left( \frac{v}{\omega } \right)}^{2}}={{A}^{2}}\Leftrightarrow \omega =\sqrt{\frac{{{v}^{2}}}{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}}=2\pi \left( rad/s \right)$

Chu kỳ dao động của vật là: $T=\frac{2\pi }{\omega }=1\left( s \right)$. Chọn B

Lời giải

Tần số gốc của vật $\omega =\frac{2\pi }{T}=\pi \left( rad/s \right)$

Khi có vận tốc $v=2,5\pi \left( cm/s \right)$. Áp dụng hệ thức độc lập ta có:

${{\left( \frac{v}{{{v}_{\max }}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{{{a}_{\max }}} \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow {{\left( \frac{v}{\omega A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{{{\omega }^{2}}A} \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow a={{\omega }^{2}}A\sqrt{1-{{\left( \frac{v}{\omega A} \right)}^{2}}}=25\sqrt{3}\left( cm/{{s}^{2}} \right)$ Chọn C.

Lời giải

Tần số góc của vật là: $\omega =2\pi f=4\pi \left( rad/s \right)$

Pha dao động tại thời điểm t bằng $\frac{\pi }{3}\Rightarrow x=A\cos \varphi =\frac{A}{2}$

Gia tốc tại thời điếm này là $a=-{{\omega }^{2}}x=-\frac{{{\omega }^{2}}A}{2}\Leftrightarrow A=0,05m=5cm$

Tốc độ của vật khi qua li độ $x=2,5\sqrt{2}\left( cm \right)$ là $v=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}=20\sqrt{5}\left( cm/s \right)$. Chọn C.

Lời giải

Áp dụng hệ thức độc lập thời gian:

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{1}^{2}+\frac{v_{1}^{2}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}} \\x_{2}^{2}+\frac{v_{2}^{2}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}} \\\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{{5}^{2}}+{{\left( \frac{10\pi \sqrt{3}}{\omega } \right)}^{2}}={{A}^{2}} \\{{\left( 5\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{10\pi \sqrt{2}}{\omega } \right)}^{2}}={{A}^{2}} \\\end{matrix} \right. \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}A=10cm \\\omega =2\pi \\\end{matrix} \right.$. Chọn B

Lời giải

x₁ và x₂ ngược pha ta có mối quan hệ:

$\frac{{{x}_{1}}}{{{A}_{1}}}=-\frac{{{x}_{2}}}{{{A}_{2}}}\Rightarrow \frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}=-\frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}$ tỉ số li độ tức thời của 2 dao động luôn bằng hằng số

$\Rightarrow {{\left( \frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}} \right)}_{t1}}={{\left( \frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}} \right)}_{t2}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{5}{-3\sqrt{3}} \right)}_{t1}}={{\left( \frac{-2}{{{x}_{2}}} \right)}_{t2}}\Rightarrow {{\left( {{x}_{2}} \right)}_{t2}}=1,2\sqrt{3}\text{ cm}\text{.}$Chọn A.

Lời giải

Cách 1: Đạo hàm theo t hai vế pt: $4x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=25\text{ c}{{\text{m}}^{2}}\left( 1 \right)$, được:

$4.2{{x}_{1}}.{{v}_{1}}+2{{x}_{2}}.{{v}_{2}}=0\Leftrightarrow 4{{x}_{1}}{{v}_{1}}+2{{x}_{2}}{{v}_{2}}=0\Rightarrow 4\left| {{x}_{1}} \right|.\left| {{v}_{1}} \right|=\left| {{x}_{2}} \right|\left| {{v}_{2}} \right|$ (2)

Khi ${{x}_{1}}=2\text{ cm}$thay vào $\left( 1 \right)\Rightarrow \left| {{x}_{2}} \right|=3$

Thay vào (2) ta được $4.2.6=3.\left| {{v}_{2}} \right|\Rightarrow \left| {{v}_{2}} \right|=16\text{ cm/s}\text{.}$

Cách 2:Chia 2 vế (1) cho 25, được $\frac{x_{1}^{2}}{\frac{25}{4}}+\frac{x_{2}^{2}}{25}=1\Rightarrow {{x}_{1}},{{x}_{2}}$ vuông pha $A_{1}^{2}=\frac{25}{4};A_{2}^{2}=25$

Khi ${{x}_{1}}=2$ cm, thay vào $\left( 1 \right)\Rightarrow \left| {{x}_{2}} \right|=3.$

Hai chất điểm dao động cùng tần số

$\omega =\frac{\left| {{v}_{1}} \right|}{\sqrt{A_{1}^{2}-x_{1}^{2}}}=\frac{\left| {{v}_{2}} \right|}{\sqrt{A_{2}^{2}-x_{2}^{2}}}\Leftrightarrow \frac{6}{\sqrt{\frac{25}{4}-{{2}^{2}}}}=\frac{\left| {{v}_{2}} \right|}{\sqrt{25-{{3}^{2}}}}\Rightarrow \left| {{v}_{2}} \right|=16\text{ cm/s}\text{.}$ Chọn C.

Lời giải

Do ${{v}_{2}}=-20{{x}_{1}}\Rightarrow {{v}_{2}}$và x₁ ngược pha: $\frac{{{v}_{2}}}{\omega {{A}_{2}}}=-\frac{{{x}_{1}}}{{{A}_{1}}}\Rightarrow {{v}_{2}}=-\frac{\omega {{A}_{2}}}{{{A}_{1}}}{{x}_{1}}$

Đồng nhất hệ số: $\frac{\omega {{A}_{2}}}{{{A}_{1}}}=20\Rightarrow \frac{{{A}_{2}}}{{{A}_{1}}}=\frac{1}{2}\text{ }\left( 1 \right)$

${{x}_{1}}$ ngược pha với ${{v}_{2}}$, mà ${{v}_{2}}$ vuông pha với ${{x}_{2}}\Rightarrow {{x}_{1}}$vuông pha ${{x}_{2}}$:

${{\left( \frac{{{x}_{1}}}{{{A}_{1}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{x}_{2}}}{{{A}_{2}}} \right)}^{2}}=1\Rightarrow {{\left( \frac{5}{{{A}_{1}}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{-2,5\sqrt{3}}{{{A}_{2}}} \right)}^{2}}=1\text{ }\left( 2 \right).$

Từ (1) và (2) ta được: ${{A}_{1}}=5cm,\text{ }{{\text{A}}_{2}}=10\text{ cm}\Rightarrow {{\text{A}}_{1}}+{{A}_{2}}=15\text{ cm}\text{.}$ Chọn A.

Lời giải

Từ đồ thị tìm được A = 10 cm và khi x = 6 cm thì v = 80 cm/s.

Do tại cùng một thời điểm v,x vuông pha, nên ta có

${{\left( \frac{x}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{v}{A\omega } \right)}^{2}}=1\Rightarrow {{\left( \frac{6}{10} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{80}{10\omega } \right)}^{2}}=1\Rightarrow \omega =10rad/s$

${{a}_{\max }}={{\omega }^{2}}A={{10}^{2}}.10=1000\text{ cm/}{{\text{s}}^{2}}$. Chọn D.

Lời giải

${{v}_{0}}={{v}_{\max }}\text{ cm/}{{\text{s}}^{2}};\text{ }{{\text{a}}_{N}}=10\text{cm/}{{\text{s}}^{2}}$ và có $a=-{{\omega }^{2}}x$

I trung điểm MN: ${{x}_{1}}=\frac{{{x}_{N}}+{{x}_{M}}}{2}\Rightarrow {{x}_{N}}=2{{x}_{1}}-{{x}_{M}};$

Nhân cả 2 vế cho $-{{\omega }^{2}}:$$-{{\omega }^{2}}{{x}_{N}}=2\left( -{{\omega }^{2}}{{x}_{1}} \right)-\left( -{{\omega }^{2}}{{x}_{M}} \right)$

$\Leftrightarrow {{a}_{N}}=2{{a}_{1}}-{{a}_{M}}$

$\Rightarrow {{a}_{N}}=2.10-20=0\text{ cm/}{{\text{s}}^{2}}$. Chọn D.