Bạn sẽ không thể làm bài nếu chưa đăng nhập. Đăng nhập ngay !

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} \). Tính đạo hàm của hàm số tại điểm \({x_0} = 1\)

Khi tính đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 5x - 3\) tại điểm \({x_0} = 2\), một học sinh đã tính theo các bước sau:

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3 - \sqrt {4 - x} \,\,\,khi\,\,x e 0\\1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\) . Khi đó \(f'\left( 0 \right)\) là kết quả nào sau đây?

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x \,\,\,khi\,\,x > 1\\{x^2}\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 1\end{array} \right.\). Tính \(f'\left( 1 \right)\) ?

Tính tỷ số \(\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) của hàm số \(y = 2{x^3}\) theo \(x\) và \(\Delta x.\)

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 1\\\dfrac{{{x^3} + 2{x^2} - 7x + 4}}{{x - 1}}\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\). Giá trị của \(f'\left( 1 \right)\) bằng:

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^3} - 4{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 3x + 2}}\,\,\,khi\,\,x e 1\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.\). Giá trị của \(f'\left( 1 \right)\) bằng:

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + \left| {x + 1} \right|}}{x}\). Tính đạo hàm của hàm số tại \({x_0} =  - 1\).

Xét hai câu sau:

(1) Hàm số \(y = \dfrac{{\left| x \right|}}{{x + 1}}\) liên tục tại $x = 0.$

(2) Hàm số \(y = \dfrac{{\left| x \right|}}{{x + 1}}\) có đạo hàm tại $x = 0.$

Trong 2 câu trên:

Tìm $a$ để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\,\,khi\,\,x e 1\\a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.\) có đạo hàm tại $x = 1.$

Tìm $a, b$ để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}}\,\,khi\,\,x \ge 0\\ax + b\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\)  có đạo hàm tại điểm $x = 0.$

Với hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x\sin \dfrac{\pi }{x}\,\,khi\,\,x e 0\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\) . Để tìm đạo hàm \(f'\left( 0 \right)\) một học sinh lập luận qua các bước sau:

Bước 1: \(\left| {f\left( x \right)} \right| = \left| x \right|\left| {\sin \dfrac{\pi }{x}} \right| \le \left| x \right|\)

Bước 2: Khi \(x \to 0\) thì \(\left| x \right| \to 0\)  nên \(\left| {f\left( x \right)} \right| \to 0 \Rightarrow f\left( x \right) \to 0\)

Bước 3: Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 0\)  nên hàm số liên tục tại $x = 0.$

Bước 4: Từ $f(x)$ liên tục tại \(x = 0 \Rightarrow f\left( x \right)\) có đạo hàm tại $x = 0.$

Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số trên \(\mathbb{R}\) định bởi $f\left( x \right) = {x^2}$ và ${x_0} \in \mathbb{R}$. Chọn câu đúng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại ${x_0}$. Đạo hàm của \(f\left( x \right)\) tại ${x_0}$ là

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4}}&{{\rm{khi}}\;\;x e 0}\\{\dfrac{1}{4}}&{{\rm{khi}}\;\;x = 0}\end{array}} \right..$ Tính $f'\left( 0 \right).$

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên $\left( {0; + \infty } \right)$ bởi $f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}$. Đạo hàm của \(f\left( x \right)\) tại ${x_0} = \sqrt 2 $ là

Tính tỷ số $\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ của hàm số \(y = \dfrac{1}{x}\) theo \(x\) và \(\Delta x.\)

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{x^2} - 3x + 2}}\,\,\,khi\,\,x e 1\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.\). Giá trị của \(f'\left( 1 \right)\) bằng:

Tìm tham số thực \(b\) để hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2}}&{{\rm{khi}}\;\;x \le 2}\\{ - \dfrac{{{x^2}}}{2} + bx - 6}&{{\rm{khi}}\;\;x > 2}\end{array}} \right.$ có đạo hàm tại \(x = 2.\)

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m{x^2} + 2x + 2}&{{\rm{khi}}\;\;x > 0}\\{nx + 2}&{{\rm{khi}}\;\;x \le 0}\end{array}} \right.$. Tìm tất cả các giá trị của các tham số $m,{\rm{ }}\;n$ sao cho $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm $x = 0$.

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{{x^2}}}{2}}&{{\rm{khi}}\;\;x \le 1}\\{ax + b}&{{\rm{khi}}\;\;x > 1}\end{array}} \right.$. Tìm tất cả các giá trị của các tham số $a,{\rm{ }}\;b$ sao cho $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm $x = 1$.