Bạn sẽ không thể làm bài nếu chưa đăng nhập. Đăng nhập ngay !

Cho \(d,d'\) là các đường thẳng có VTCP lần lượt là \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ,M \in d,M' \in d'\). Khi đó \(d \equiv d'\) nếu:

Cho \(d,d'\) là các đường thẳng có VTCP lần lượt là \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \). Nếu \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \overrightarrow 0 \) thì:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 3t\\y =  - t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\dfrac{{x - 1}}{{ - 3}} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z - 3}}{2}\).

Vị trí tương đối của \({d_1}\) và \({d_2}\) là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng

\({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y =  - t\\z = 1 + t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\dfrac{{x - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}\).

      Vị trí tương đối của \({d_1}\) và \({d_2}\) là:

Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng cắt nhau là:

Khi xét hệ phương trình giao hai đường thẳng, nếu hệ có nghiệm duy nhất thì:

Cho \(d,d'\) là các đường thẳng có VTCP lần lượt là \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ,M \in d,M' \in d'\). Nếu \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]\overrightarrow {MM'}  e 0\) thì:

Khi xét hệ phương trình giao điểm hai đường thẳng, nếu hệ vô nghiệm và hai véc tơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \) cùng phương thì hai đường thẳng:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng

\({d_1}:\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{1}\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2\\z = 2 + t\end{array} \right.\).

Vị trí tương đối của \({d_1}\) và \({d_2}\) là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng

\({d_1}:\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 3}}\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y =  - 3 - t\\z = 0\end{array} \right.\). Mệnh đề nào sau đây đúng:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y =  - t\\z =  - 2 - t\end{array} \right.\). Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với \(d\)?

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 2}}{2} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 1}}{2}\). Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào song song với \(d\)?

Công thức tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(d'\) đi qua điểm \(M'\) và có VTCP \(\overrightarrow {u'} \) là:

Cho hình vẽ dưới đây, công thức nào không dùng để tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(d'\)?

Khoảng cách từ điểm \(M\left( {2;0;1} \right)\) đến đường thẳng $\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}$ là:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2\\z =  - t\end{array} \right.\).

Khoảng cách từ \(A\left( {0; - 1;3} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta \) bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{2}\). Khoảng cách từ $A\left( {1;0;3} \right)$ đến \(\Delta \) bằng:

Cho hai điểm \(A\left( {1; - 2;0} \right),B\left( {0;1;1} \right)\), độ dài đường cao \(OH\) của tam giác \(OAB\) là:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm $A\left( {1; - 1;0} \right),\,\,B\left( {1;0; - 2} \right),$ $C\left( {3; - 1; - 1} \right)$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $BC$.

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng

\({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 0\\z =  - 5 + t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 4 - 2t'\\z = 5 + 3t'\end{array} \right.\).

Phương trình đường vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) là:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {2; - 1;1} \right)\) và hai đường thẳng \({d_1}:\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 1}}{2}\), \({d_2}:\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y + 3}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 1}}\). Đường thẳng \(\Delta \) cắt \({d_1}\), \({d_2}\) lần lượt tại \(A\) và \(B\) sao cho \(M\) là trung điểm của \(AB\) có phương trình:

Cho hình lập phương \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {1;0;0} \right),D\left( {0;1;0} \right),A'\left( {0;0;1} \right)\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,CD\). Khoảng cách giữa \(MN\) và \(A'C\) là:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm $A\left( {1;1;1} \right)$, $B\left( {2; - 1;3} \right)$, $C\left( { - 1; - 1; - 2} \right)$ và $D\left( { - 3;5; - 3} \right)$.

      Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y =  - 1 + t\\z = 1\end{array} \right.,{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1 + t\\z = 3 - t\end{array} \right.\) là:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1}:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{3},{d_2}:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 2}}\) là:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng

\({d_1}:\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 3}}{1}\), \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 1 + 2t\\z =  - 1 + t\end{array} \right.\) và điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\).

Đường thẳng \(\Delta \) qua \(A\), vuông góc với \({d_1}\) và cắt \({d_2}\) có phương trình là:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( {1;0;2} \right)\) và đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{2}\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A,\) vuông góc và cắt \(d\).

Góc giữa hai đường thẳng có các VTCP lần lượt là \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \) thỏa mãn:

Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz , tính góc giữa hai đường  thẳng \({d_1}:\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 1}}{2}\)  và \({d_2}:\dfrac{{x + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 3}}{1}\)

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng

\({d_1}:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\) và \({d_2}:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 3}}{1}\).

      Tính \({\rm{cosin}}\) của góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng

${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y =  - \sqrt 2 t\\z = 2 + t\end{array} \right.$ và ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + \sqrt 2 t\\z = 2 + mt\end{array} \right.$.

      Để hai đường thẳng hợp với nhau một góc bằng ${60^0}$ thì giá trị của $m$ bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng

${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - t\\y =  - 1 + 4t\\z = 3t\end{array} \right.$ và ${d_2}:\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 8}}{{ - 4}} = \dfrac{{z + 3}}{{ - 3}}$.

Xác định góc giữa hai đường thẳng ${d_1}$ và \({d_2}\).

Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\,\,\dfrac{{x - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{z - 3}}{2}\) và \({\Delta _2}:\,\,\dfrac{{x + 3}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 4}}.\) Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1},\,\,{\Delta _2}\) bằng:

Cho hai đường thẳng \(\Delta ,\Delta '\) có VTCP lần lượt là \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \) và đi qua các điểm \(M,M'\). Khi đó:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {0;0;2} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(C\left( {2;2;0} \right)\) và \(D\left( {0;m;0} \right)\). Điều kiện cần và đủ của \(m\) để khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) bằng \(2\) là:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình là

${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2\\z =  - t\end{array} \right.$ và ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - t\\y = 4 + t\\z = 4\end{array} \right.$.

Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng ${d_1}$ và $\,{d_2}$ bằng:

Trong  không  gian với   hệ  tọa  độ $Oxyz$,  cho đường  thẳng $d$ có phương trình \(\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{y + 2}}{2} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 4}}\) và \(d':\dfrac{{x + 1}}{4} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{2}\)  . Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng $d$ nhưng thuộc đường thẳng \(d'\)?

Giao điểm của hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + 2t\\y =  - 2 + 3t\\z = 6 + 4t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t'\\y =  - 1 - 4t'\\z = 20 + t'\end{array} \right.\) có tọa độ là 

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình

\({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + at\\y = t\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + 2t\\z = 3 - t\end{array} \right.\).

Với giá trị nào của \(a\) thì \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau?

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{2}\) và điểm $M(1;2;-3)$. Toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm $M$  lên đường thẳng $d$ là

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {2; - 6;3} \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y =  - 2 - 2t\\z = t\end{array} \right.\). Tọa độ hình chiếu vuông góc của \(M\) lên \(d\) là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho 2 đường thẳng $d:\dfrac{{x - 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 2}}$ và $d':\dfrac{x}{6} = \dfrac{{y - 4}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 2}}{4}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  - 2 + 3t\\z = 6 - 4t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\dfrac{{x + 4}}{6} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z + 5}}{3}\). Mệnh đề nào sau đây đúng:

Trong không gian \(Oxyz,\)  cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 3 + 2t\\z =  - 1 - t\end{array} \right.\)  và\({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + 3s\\y = 1 - s\\z = 5 - s\end{array} \right.\) . Khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho bằng

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 3\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 7t\\z = 3 + t\end{array} \right.\). Phương trình đường phân giác của góc nhọn giữa \({d_1}\) và \({d_2}\) là:

Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(M\left( { - 2; - 2;1} \right),A\left( {1;2; - 3} \right)\) và đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 5}}{2} = \dfrac{z}{{ - 1}}.\) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua \(M,\) vuông góc với đường thẳng \(d,\) đồng thời cách điểm \(A\) một khoảng bé nhất. Khoảng cách bé nhất đó là

Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y - 4}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{1}\) và 2 điểm \(A\left( {6;3; - 2} \right)\); \(B\left( {1;0; - 1} \right)\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(B\), vuông góc với \(d\) và thỏa mãn khoảng cách từ \(A\) đến \(\Delta \) là nhỏ nhất. Một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) có tọa độ :