Phương trình số phức là gì? Các dạng toán và công thức trọng thay hay thi

Phương trình số phức là gì? Các dạng toán và công thức trọng thay hay thi

1. Căn bậc hai của số phức

l Cho số phức $w$ . Số phức $z$ thỏa mãn ${{z}^{2}}=w$ được gọi là một căn bậc hai của $w$ .

l Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0

l Mỗi số phức khác 0 có căn bậc hai là hai số đối nhau (khác 0).

l Số thực $a>0$ có hai căn bậc hai là $\sqrt{a}$ và $-\sqrt{a}$ .

l Số thực $a<0$ có hai căn bậc hai là $i\sqrt{-a}$ và $-i\sqrt{a}$ .

2. Phương trình phức

Xét phương trình bậc hai $a{{z}^{2}}+b\text{z}+c$ , với $z\in \mathbb{C};a,b,c\in \mathbb{R}$ và $a\ne 0$ .

l Xét biệt thức $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$ .

l Nếu $\Delta \ne 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{z}_{1}}=\frac{-b+\delta }{2a}$ và ${{z}_{2}}=\frac{-b-\delta }{2a}$ , trong đó $\delta $ là một căn bậc hai của $\Delta $ .

l Nếu $\Delta =0$ thì phương trình có nghiệm kép ${{z}_{1}}={{z}_{2}}=-\frac{b}{2\text{a}}$ .

Đặc biệt:

l Khi $\Delta $ là số thực dương thì phương trình có hai nghiệm ${{z}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2\text{a}}$ và ${{z}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2\text{a}}$ .

l Khi $\Delta $ là số thực âm thì phương trình có hai nghiệm ${{z}_{1}}=\frac{-+i\sqrt{-\Delta }}{2\text{a}}$ và ${{z}_{2}}=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta }}{2\text{a}}$ .

þ Nhận xét:

Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc 2 đều có 2 nghiệm (không nhất thiết phân biệt)

þ Định lý Viete: Phương tình bậc hai $a{{z}^{2}}+b\text{z}+c$, với $z\in \mathbb{C};a,b,c\in \mathbb{R}$ và $a\ne 0$ có 2 nghiệm phức

${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$ thì: $\left\{ \begin{array} {} {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=\frac{-b}{a} \\ {} {{z}_{1}}{{z}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{array} \right.$ .

3. Tìm căn bậc 2 của số phức $z=a+bi\left( a;b\in \mathbb{R} \right)$ .

Thao tác: Chuyển máy tính qua chế độ Radian $\left( SHIFT-MODE-4 \right)$ và chế độ số phức CMPLX $\left( SHIFT-MODE-2 \right)$

Khi đó một căn bậc 2 của z là: $\sqrt{\left| a+bi \right|}\angle \frac{\arg \left( a+bi \right)}{2}$ , căn bậc 2 còn lại chính là số đối của số vừa tính được.

Trong đó $\left| {} \right|=SHIFT-hyp;\angle =SHIFT-\left( - \right);\arg =SHIFT-2-1$ .