Lũy thừa là gì? Lý thuyết và công thức lũy thừa tóm tắt ngắn gọn

Lũy thừa là gì? Lý thuyết căn bậc n, lũy thừa với số mũ nguyên, hữu tỷ, vô tỷ

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Cho $a\in \mathbb{R}$ và $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$. Khi đó ${{a}^{n}}=a.a.a....a$ (n thừa số a).

Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0

Cho $a\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ và $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$. Ta có: ${{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}};{{a}^{0}}=1$.

Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Chú ý: ${{0}^{0}}$ và ${{0}^{-n}}\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$ không có nghĩa.

2. Căn bậc n

Cho số thực b và số nguyên dương $n\ge 2$.

Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu ${{a}^{n}}=b$.

Khi n lẻ, $b\in \mathbb{R}$: Tồn tại duy nhất một căn bậc n của số b là $\sqrt[n]{b}$.

Khi n chẵn và $b<0$ thì không tồn tại căn bậc n của số b.

Khi n chẵn và $b=0$ thì có duy nhất một căn bậc n của số b là $\sqrt[n]{0}=0$.

Khi n chẵn và $b>0$ có 2 căn bậc n của số thực b là $\sqrt[n]{b}$ và $-\sqrt[n]{b}$.

3. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ

Cho số thực $a>0$ và số hữu tỷ $r=\frac{m}{n}$, trong đó $m\in \mathbb{Z};\text{ }n\in \mathbb{N},\text{ }n\ge 2$. Khi đó ${{a}^{r}}={{a}^{\frac{m}{n}}}=\sqrt[n]{{{a}^{m}}}$.

4. Lũy thừa với số mũ vô tỷ

Giả sử a là một số dương và $\alpha $ là một số vô tỷ và $\left( {{r}_{n}} \right)$ là một dãy số hữu tỷ sao cho $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{r}_{n}}=\alpha $. Khi đó $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}^{{{r}_{n}}}}={{a}^{\alpha }}$.